精品解析：贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市都匀湘才学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

都匀湘才学校2025-2026学年度第一学期第一次月考 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A 8 B. C. D. 3 已知，则（ ） A. 64 B. 8 C. 6 D. 12 4. 在直三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，且，则（ ） A. -5 B. C. 4 D. 6. 在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. 1或 B. 2或 C. 1或 D. 2或 8. 给出下列四个命题，其中正确的有（ ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 11. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 三、填空题 12. 已知，若，其中为虚数单位，则__________. 13. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则等于__________. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的有______. ①与平面所成角的正弦值为 ②与所成角的余弦值为 ③点到直线的距离为 ④和平面的距离为 四、解答题 15. 在棱长为1正方体中，，，分别是，，的中点 （1）求与所成角余弦值； （2）点到平面的距离． 16. 已知是正四棱柱. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． （1）设向量，，，用、、表示向量、； （2）求证：、、 三点共线． 18. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设． （1）试用 表示向量，， （2）求； （3）求证： 19. 如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点. （1）求证：； （2）若平面平面，求直线与平面所成角正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 都匀湘才学校2025-2026学年度第一学期第一次月考 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再求得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. 64 B. 8 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，进而根据同底数幂的乘法计算即可. 【详解】 故选：B. 4. 在直三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】因为. 故选：B 5. 已知 ，且，则（ ） A. -5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解. 【详解】因为 ，且， 所以，解得. 故选：D. 6. 在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 7. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. 1或 B. 2或 C. 1或 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标运算法则结合条件即得. 【详解】，， ，解得或. 故选：A 8. 给出下列四个命题，其中正确的有（ ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，再结合模的坐标表示求解判断A；先求出，再根据空间向量数量积的坐标表示判断B；根据空间向量数量积的坐标表示判断D；结合，即可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，选项A错误； 对于B，因为，所以， 则，选项B正确； 对于D，因为，所以，选项D正确． 对于C，因为，，，且平面， 所以是平面的一个法向量，选项C正确. 故选：BCD 11. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】A：根据向量平行的坐标关系即可判断；B：根据向量模的公式即可计算并且作出判断；C：根据向量数量积进行判断；D：根据投影向量计算公式进行计算即可． 【详解】A：由题意得，，而，∴两向量不平行，A错误； B：∵，，∴，B正确； C：∵，∴两向量不垂直，C错误； D：在上的投影向量为，D正确． 故选：BD． 三、填空题 12. 已知，若，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则等于__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式计算得解. 【详解】由，得，从而，即，解得. 故答案为：4 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的有______. ①与平面所成角的正弦值为 ②与所成角的余弦值为 ③点到直线的距离为 ④和平面的距离为 【答案】②③④ 【解析】 【分析】通过建系，求出相关点的坐标，相关直线的方向向量、相关平面的法向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式以及点到直线、点到平面的距离公式分别计算即可逐一判断. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则 对于①，平面的法向量可取为，， 设与平面所成角为，则，故①错误； 对于②，，， 设与所成角为，则，故②正确； 对于③，因，与同方向的单位向量为， ，则点到直线的距离为，故③正确； 对于④，设平面的法向量为，， 则，故可取， 由可得平面，则和平面距离即点到平面的距离， 由，则点到平面的距离为，故④正确. 故答案为：②③④ 四、解答题 15. 在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点 （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出对应的一个方向向量，应用向量法求异面直线的夹角； （2）根据（1），求出、平面对应的一个方向向量、法向量，应用向量法求点面距. 【小问1详解】 如图建系，，，，，， 则，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为，则，令，则， 点到平面的距离. 16. 已知是正四棱柱. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先得到，⊥，从而平面，进而证明面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，得到各个点的坐标，求出两平面的法向量，求出两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 由题意，平面，因为平面， 所以，在正方形中，⊥， 因为平面且，所以平面， 又平面，所以有平面平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴建立直角坐标系， 所以有， 则有， 设平面的法向量为，则有， 取法向量为， 又平面的法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 17. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． （1）设向量，，，用、、表示向量、； （2）求证：、、 三点共线． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明∥即可得. 【小问1详解】 因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； 【小问2详解】 因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 18. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设． （1）试用 表示向量，， （2）求； （3）求证： 【答案】（1），； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为， 所以， ，     ，  所以. 【小问3详解】 因为． 所以. 19. 如图，在三棱锥中，，，，点E为中点. （1）求证：； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，由题意可证，，进而可证平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出直线AC的方向向量与平面BCE的法向量，利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 取中点，连接，则， 因为，所以， 因为为中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以． 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又平面，所以， 由（1）知，所以两两垂直． 以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的一个法向量，则有，即， 令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $