专题01勾股定理及逆定理期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题01勾股定理及逆定理期中复习讲义 1.掌握勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；能分清直角边、斜边，在直角三角形中已知两边长，求第三边长度。 2.理解勾股定理的探索思路，掌握割补法验证勾股定理的原理；会利用勾股定理求解简单几何图形线段长、解决实际生活问题（梯子、航海、折叠等模型）。 3.掌握勾股定理逆定理（直角三角形判定）：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中最长边c所对的角为直角。 4.认识勾股数：理解勾股数定义（满足a2+b2=c2的三个正整数）；能判断一组数是否为勾股数，熟记常见勾股数（3,4,5；5,12,13；6,8,10 等）。 5.能够综合运用勾股定理及其逆定理：先用逆定理判定三角形是不是直角三角形，再用勾股定理计算线段、面积；能在网格图形中判断直角三角形。 6.掌握分类讨论思想：已知直角三角形两边，没有指明斜边时，要分情况计算，避免漏解。 7.厘清高频易错点： 勾股定理只适用于直角三角形，非直角三角形不能使用； 运用公式时找准最长边，逆定理必须是两短边平方和等于最长边平方； 勾股数要求三个数必须是正整数，小数、分数不属于勾股数。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★★★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型八 勾股树（数）问题 ★★ 题型九 判断三边能否构成直角三角形 ★ 题型十 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十一 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:勾股定理完整定义 定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 专属说明 1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立； 2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。 知识点02:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点03:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形， 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点04:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点05:勾股数 1. 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 必备条件：① 均为正整数；② 满足 a2+b2=c2。 2. 常用基础勾股数（熟记，解题提速） 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 倍数规律：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，所得三组数仍是勾股数。 例：3,4,5 扩大 2 倍得 6,8,10，依旧为勾股数。 知识点06:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 题型一：用勾股定理解三角形 1．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 【答案】 【分析】利用勾股定理列等式求解，再根据边长为正数取正根即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为， ∴由勾股定理得， 整理得， ∵三角形边长为正数， ∴． 2．如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点C处时．测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形．则点C处踏板离地的垂直高度的长为______． 【答案】 【分析】由题意可知：，，由勾股定理得出，再根据计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，， ∴． 3．新考法[数学文化]我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，我国古代数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，，则此勾股形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】通过设未知数，利用勾股定理建立方程，求出相关线段长度，进而根据直角三角形面积公式计算勾股形的面积． 【详解】解：如图， 设阴影部分的直角三角形的未知边长为，则，，． 由勾股定理，得，即， 解得． ． ∴此勾股形的面积为． 4．嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题： 如图，中，，，，D，E分别是，边上的动点，，以为直径的交于P，Q两点，求线段的最大值． 嘉嘉：当点D，E分别在，上移动时，点O到点A的距离为定值； 淇淇：当为的直径时，线段PQ的长最大． 关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（   ） A．两人的说法都正确，线段的最大值为52 B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段长度的最大值为48 C．淇淇的说法有问题，当时，线段PQ的长度最大 D．这道题目有问题，的长度只有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得的值，故点在圆上，当点距离边最近时，最大，连接，过点作交于点，通过勾股定理求得和的值，即可求得． 【详解】解：如图，过点作 ，连接 ，， ∵，是直径， ∴，故嘉嘉的说法正确． 在中，为定值，故当最小时，最大． ∵， ∴， ∴最大时，最大． 过点作，垂足为, 在中，，， ∴, ∵，即， ∴, ∵， ∴, ∴ 点，，共线时，最小，最小为， 此时， ∴， ∴长度的最大值为，此时不是的直径， 故淇淇的说法错误． 故选B． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 5．如图，两个较大正方形的面积分别为，，中间所夹三角形为直角三角形，则字母所代表的正方形的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中间所夹的三角形为直角三角形，根据勾股定理解答即可， 【详解】解：因为中间所夹的三角形为直角三角形， 两个已知正方形的面积是斜边的平方和长直角边的平方， 所以字母所代表的正方形的面积． 6．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】由勾股定理得，即，再由求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ∴ ， 由图形可知，阴影部分的面积． 7．如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， ∵在中，，即， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴． 题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 8．在中，斜边，则________． 【答案】18 【分析】由直角三角形结合勾股定理得到的值，即可得出结果． 【详解】解：∵中，斜边， ∴， ∴． 9．在△ABC中，AC＝5，BC＝，AB边上的高为3，则△ABC的面积为 __________________． 【答案】或 【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ACD与直角三角形BCD中，利用勾股定理求出AB的长即可求出△ABC的面积；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理求出AB的长即可求出△ABC的面积． 【详解】解：分两种情况考虑： ∵AC＝5，BC＝，AB边上的高CD＝3， 如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，    在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD＝＝4； 在Rt△CBD中，根据勾股定理得：DB＝＝5， ∴AB＝AD+BD＝4+5＝9， ∴＝＝； 如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，    同理可得：AD＝4，DB＝5， ∴AB＝DB﹣AD＝5﹣4＝1， ∴＝＝； 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形面积的运算，利用分类讨论的思想构造等式是解题的关键． 10．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系 11．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 13．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 题型五：勾股定理的证明方法 14．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为______ ．    【答案】1 【分析】结合图形，求出的值，再利用完全平方公式计算即可得出． 【详解】解：根据题意得：，，即， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，采用数形结合的方法是解题的关键． 15．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大正方形的面积4个全等直角三角形的总面积小正方形面积，列式解答即可； 【详解】解：图中大正方形的边长为直角三角形两条直角边的和，因此大正方形的面积可表示为， 以斜边为边的小正方形面积是， 4个全等直角三角形的总面积为， ∴， 展开化简后可得， 其余选项：A是错误的边长关系； B是勾股定理的最终结论，不是该图的验证过程等式； C是另一种勾股定理验证图的面积等式，和本题图形不符； D符合题意． 16．“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形_______可知；勾股定理成立； ②由图形_______可知；完全平方公式成立； ③由图形_______可知；平方差公式成立； ④由图形_______可知；公式成立． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式与图形面积、勾股定理等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键．图形：方法一：利用正方形的面积公式求出大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，由此即可得；图形：方法一：利用长方形的面积公式可得四个小长方形的面积；方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用梯形的面积公式可得两个直角梯形的面积；方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用正方形的面积公式求出中间小正方形的面积；方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，由此即可得． 【详解】解：图形：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以完全平方公式成立； 图形：方法一：四个小长方形的面积为， 方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则四个小长方形的面积为， 所以公式成立； 图形：方法一：两个直角梯形的面积为， 方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则两个直角梯形的面积为， 所以平方差公式成立； 图形：方法一：中间小正方形的面积为， 方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 则中间小正方形的面积为， 所以勾股定理成立； 故答案为：①；②；③；④． 题型六：以弦图为背景的计算题 17．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________． 【答案】 【分析】设两直角边分别为x，，表示出大正方形的面积和小正方形面积，根据针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比求解． 【详解】解：∵四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为， ∴设两直角边分别为x，， ∴大正方形的面积为，小正方形的边长为， ∴小正方形面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 18．我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为__________． 【答案】 30 【分析】设正方形左侧直角三角形的水平直角边长为x，根据题意和图形特征，表示出大直角三角形的三边长，利用勾股定理建立方程求出x，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：设正方形左侧部分的水平直角边长为x， 由题意及图形可知，大直角三角形的竖直直角边长为，水平直角边长为，斜边长为， ，， ∴竖直直角边长为，水平直角边长为，斜边长为， 根据勾股定理，得， 解得， ∴水平直角边长， ∴勾股形的面积． 19．意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（   ） A．12 B．10 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质得到、、，根据全等三角形的性质证得、，设，证得四边形是菱形，，推出四边形是正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，根据六边形的面积为，列方程求解得出四边形的面积即可． 【详解】解：四边形、四边形是正方形 、、 在和中， 同理可证、、和四个三角形全等 、 设 四边形是菱形， 、 四边形是正方形 设正方形的面积为，正方形的面积为 、 六边形的面积为 四边形的面积为， 故选：B． 题型七：用勾股定理构造图形解决问题 20．如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，再由即可求解． 【详解】解：中，， ， ， ， 故答案为：． 21．我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是 _______尺． 【答案】12 【分析】本题本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深x尺，芦苇尺， 根据题意：， 由勾股定理：， 解得：， 故答案为：12． 22．如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理，可得另一直角边长为， 则需购买红地毯的长为， 又因为红地毯的宽，即台阶的宽为， 所以共需购买红地毯． 故选：A． 题型八：勾股树（数）问题 23．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是________． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 24．如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________． 3 5 7 9 11 … 4 12 24 40 … 5 13 25 41 … 【答案】60 【分析】先理解题意，再依据表中的规律，得出，，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：依据表中的规律，得出，， 即 ∴ 解得． 25．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了“勾股树”中的规律问题，找出第代勾股树中所有正方形的面积和为，即可求解． 【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为， 第２代勾股树中所有正方形的面积和为， 第３代勾股树中所有正方形的面积和为， 第代勾股树中所有正方形的面积和为， 第2026代勾股树中所有正方形的面积和为， 故选：B． 题型九：判断三边能否构成直角三角形 26．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】勾股数就是能构成直角三角形三边的三个正整数‌，它们要同时满足“是正整数”和“符合勾股定理”这两个条件． 【详解】解：A、，，不全是正整数，故不是勾股数； B、，，，故，，不是勾股数； C、，，不是正整数，故不是勾股数； D、，，均为正整数，且，，故，D选项是勾股数． 27．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理逐一分析即可. 【详解】解：选项A， 展开等式得，整理得， 根据勾股定理逆定理，是直角三角形，故选项A不符合题意． 选项B， 设，则，， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意． 选项C ，∵，，， ， 是直角三角形，故选项C不符合题意． 选项D ，，， ∴ ， ， ， 不是直角三角形，故选项D符合题意． 28．已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】Ａ、因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； B、移项得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，该命题为真命题； C、设，，，，是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； D、是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题． 题型十：在网格中判断直角三角形 29．在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为（    ） A．30° B．40° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】连，可得是等腰直角三角形，过点C作，则有，即，，解题即可． 【详解】连，过点C作， 则， ∴，， 由网格可知：，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 30．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（　　） A．30° B．42° C．45° D．50° 【答案】C 【分析】在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF，证明得，从而得，再证明是等腰直角三角形即可得到结论． 【详解】解：在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF， ∵BF=CF=3，FG=ED=1，BG=CD= ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴是等腰直角三角形，且 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，证明是解答此题的关键． 31．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 题型十一：利用勾股定理的逆定理求解 32．中，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据题意可得为直角三角形，． 【详解】解：中， ， 为直角三角形， ， 如图： 故答案为：． 33．如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 34．如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理得，即得，进而得到是直角三角形，且，再根据绿地的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴这块绿地的面积， 故答案为：． 解答题 35．阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)；；；；发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数 (2) ① ② (3) 当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，（为正整数，为非负整数） 则： 为奇数，又 是偶数． 综上所述，是偶数． 【分析】（1）观察规律发现各组勾股数之和为偶数； （2）①将，代入计算即可求解；②代入，，即可求解； （3）仿照例题证明即可． 【详解】（1）解：；； ；； 发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数； （2）略； （3）略． 36．如图，在中，，E是上的一点，，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即． (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即可得出． （2）由（1）得出，设，则，在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴是直角三角形． 设， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即． 37．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． 38．如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 【答案】26 【分析】先根据勾股定理求出的长，再证明是直角三角形，再将与的面积求和即可得四边形的面积． 本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：， 中，， ∵、， ， 又∵在中， ，，， ， 是直角三角形，， ． 39．根据勾股定理知识迁移，完成下列问题． (1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，请写出它们的面积，，，之间满足的等量关系并说明理由； (2)如图2，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)解：，理由如下： 如图，设直角三角形的三边长分别为，则：， ， ； (2) 【分析】（1）设直角三角形的三边长分别为，根据半圆的面积公式判断即可； （2）利用勾股定理求出的长，阴影部分面积半圆半圆直角三角形面积半圆，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图： 在中，，， ∴， 则 ． 40．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是5，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由； (2)若一个直角三角形是平方倍三角形，直角边长为，，斜边为c，求：：的值； (3)如图，ABC中，BC＝2，CD为ABC的中线，且CD＝AB．若是平方倍三角形，求ABC的面积． 【答案】(1) 结论：这个三角形是“平方倍三角形”．理由如下： ∵，， ∴， ∴这个三角形是“平方倍三角形”． (2) (3)或 【分析】(1)根据“一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍”即可判断； (2)根据勾股定理得到；再由三角形是平方倍三角形得到或，解方程组即可求解； (3)证明△ABC为直角直角三角形，然后再由是平方倍三角形分AD²+CD²=3AC²和AD²+AC²=3CD²两种情况讨论即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵三角形为直角三角形，且直角边长为a和b，斜边为c， ∴由勾股定理可知：， ∵三角形是平方倍三角形， ∴或者， 当时：由①、②两式得到：， 整理得到：，即：， 再代入①中得到：， ∴； 当时：由①、③两式得到：， 整理得到：，即：， 再代入①中得到：， ∴； 综上所述：． （3）解：如下图所示： ∵CD为ABC的中线， ∴AD=BD=AB， 由已知CD＝AB， ∴AD=CD=BD， ∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠DBC， 又△ABC内角和为180°， ∴∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°， ∴2∠DCA+2∠DCB=180°， ∴∠DCA+∠DCB=90°，即∠ACB=90°， ∴△ABC为直角三角形， 由已知条件是平方倍三角形可知： 设AD=CD=DB=x(x>0)， 情况一：当AD²+CD²=3AC²时：得到3AC²=2x²， ∴， 在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC²+BC²=AB²，代入数据： ，解出(负值舍去)， ∴， ∴； 情况二：当AD²+AC²=3CD²时：得到AC²=2x²， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC²+BC²=AB²，代入数据： ，解出(负值舍去)， ∴， ∴； 综上所述：△ABC的面积为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键． 41．回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （3）解：如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 42．【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 (1)如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； (2)如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 (3)n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 【答案】(1)，，结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2) (3)①，；② 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，从而得出，即可得出结论； （2）由图可得行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为，按斜线计数每线棋子分别为，，，，，，，，，，，，，由两种方法的棋子数相等得出答案； （3）根据画出图形探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论． 【详解】（1）解：由图形可得，， ∴， ∴， ∴， 结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）解：行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为， 按下图的斜线的棋子数相加得， ∴； （3）解：当，时，如图，； 当，时，； 个三角形，共条边，其中边形的每边都只使用一次，其他边各使用两次，故边形内部共有条线段； 边形内部有个点时，其内部共有条线段，共分成个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，故边形内部有个点时，其内部共有条线段； 由， 化简得． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01勾股定理及逆定理期中复习讲义 1.掌握勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；能分清直角边、斜边，在直角三角形中已知两边长，求第三边长度。 2.理解勾股定理的探索思路，掌握割补法验证勾股定理的原理；会利用勾股定理求解简单几何图形线段长、解决实际生活问题（梯子、航海、折叠等模型）。 3.掌握勾股定理逆定理（直角三角形判定）：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中最长边c所对的角为直角。 4.认识勾股数：理解勾股数定义（满足a2+b2=c2的三个正整数）；能判断一组数是否为勾股数，熟记常见勾股数（3,4,5；5,12,13；6,8,10 等）。 5.能够综合运用勾股定理及其逆定理：先用逆定理判定三角形是不是直角三角形，再用勾股定理计算线段、面积；能在网格图形中判断直角三角形。 6.掌握分类讨论思想：已知直角三角形两边，没有指明斜边时，要分情况计算，避免漏解。 7.厘清高频易错点： 勾股定理只适用于直角三角形，非直角三角形不能使用； 运用公式时找准最长边，逆定理必须是两短边平方和等于最长边平方； 勾股数要求三个数必须是正整数，小数、分数不属于勾股数。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★★★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型八 勾股树（数）问题 ★★ 题型九 判断三边能否构成直角三角形 ★ 题型十 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十一 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:勾股定理完整定义 定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 专属说明 1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立； 2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。 知识点02:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点03:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形， 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点04:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点05:勾股数 1. 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 必备条件：① 均为正整数；② 满足 a2+b2=c2。 2. 常用基础勾股数（熟记，解题提速） 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 倍数规律：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，所得三组数仍是勾股数。 例：3,4,5 扩大 2 倍得 6,8,10，依旧为勾股数。 知识点06:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 题型一：用勾股定理解三角形 1．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．则________ 2．如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点C处时．测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形．则点C处踏板离地的垂直高度的长为______． 3．新考法[数学文化]我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，我国古代数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，，则此勾股形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题： 如图，中，，，，D，E分别是，边上的动点，，以为直径的交于P，Q两点，求线段的最大值． 嘉嘉：当点D，E分别在，上移动时，点O到点A的距离为定值； 淇淇：当为的直径时，线段PQ的长最大． 关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（   ） A．两人的说法都正确，线段的最大值为52 B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段长度的最大值为48 C．淇淇的说法有问题，当时，线段PQ的长度最大 D．这道题目有问题，的长度只有最小值，没有最大值 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 5．如图，两个较大正方形的面积分别为，，中间所夹三角形为直角三角形，则字母所代表的正方形的面积为（     ）． A． B． C． D． 6．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 7．如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则(     ) A． B． C． D． 题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 8．在中，斜边，则________． 9．在△ABC中，AC＝5，BC＝，AB边上的高为3，则△ABC的面积为 __________________． 10．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系 11．已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 13．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五：勾股定理的证明方法 14．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为______ ．    15．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（     ） A． B． C． D． 16．“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形_______可知；勾股定理成立； ②由图形_______可知；完全平方公式成立； ③由图形_______可知；平方差公式成立； ④由图形_______可知；公式成立． 题型六：以弦图为背景的计算题 17．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________． 18．我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为__________． 19．意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（   ） A．12 B．10 C．5 D．4 题型七：用勾股定理构造图形解决问题 20．如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是______． 21．我国古代数学著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”这道题的意思是说：有一个边长为10尺的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的处（如图），则水深是 _______尺． 22．如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（    ）   A． B． C． D． 题型八：勾股树（数）问题 23．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是________． 24．如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________． 3 5 7 9 11 … 4 12 24 40 … 5 13 25 41 … 25．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 题型九：判断三边能否构成直角三角形 26．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 27．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D．，， 28．已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 题型十：在网格中判断直角三角形 29．在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为（    ） A．30° B．40° C．45° D．60° 30．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（　　） A．30° B．42° C．45° D．50° 31．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 题型十一：利用勾股定理的逆定理求解 32．中，若，则______． 33．如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 34．如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为______． 解答题 35．阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 36．如图，在中，，E是上的一点，，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 37．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 38．如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 39．根据勾股定理知识迁移，完成下列问题． (1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，请写出它们的面积，，，之间满足的等量关系并说明理由； (2)如图2，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，求图中阴影部分的面积． 40．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是5，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由； (2)若一个直角三角形是平方倍三角形，直角边长为，，斜边为c，求：：的值； (3)如图，ABC中，BC＝2，CD为ABC的中线，且CD＝AB．若是平方倍三角形，求ABC的面积． 41．回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 42．【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 (1)如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； (2)如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 (3)n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $