精品解析：吉林省长春市绿园区长春市第八十九中学2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

长春市第八十九中学11月份大练习（初三）数学试卷 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 1. 下列关系式中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在正方形网格中，的各个顶点均为格点，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）． A. 泉州明天会下大雨 B. 在369个人中，一定有两个人在同日出生 C. 打开电视机，正好在播新闻 D. 小明这学期数学期末考试得分是146 4. 已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如果在中，点、、分别为边、、的中点，，，，那么的面积为（ ） A. B. 15 C. 30 D. 60 7. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 9. 已知，则锐角______ 10. 如图所示，为的弦，，则的度数为______． 11. 将二次函数转化成的形式是__________． 12. 某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率都为x，根据题意可列方程________． 13. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O、A、B都在格点上，则tan∠AOB的值为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数)的顶点为过点作轴的平行线与抛物线交于点.抛物线的顶点为连接则的面积为_____． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 在不透明的袋子中有2个红球和1个黑球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球后放回并搅匀，小华再从中随机摸出一个球，用画树状图（或列表）的方法，求两人摸出相同颜色的球的概率． 18. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． （1）请求出以上两个函数的解析式； （2）求点B的坐标； 19. 如图，某数学兴趣小组为了测量学校旗杆AB的高度，他们在旗杆对面的实验楼的顶部C处测得旗杆顶端A的仰角为46°，测得旗杆底端B的俯角为32°，同时测量了旗杆底端与实验楼的地面距离BD长为9.5米．求旗杆AB的高．（结果精确到0.1米）． 【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62，sin46°=0.72，cos46°=0.69，tan46°=1.04】 20. 在一次高尔夫训练中，某球员从山坡下的点打出一球，该球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．如果不考虑空气阻力，球的落点距离点的水平距离为12米时，垂直距离为米． （1）求关于的函数关系式． （2）求该球飞行过程中的最大垂直高度． 21. 已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应值如表： … 0 1 … … 1 … （1）写出二次函数图象的对称轴． （2）求二次函数的表达式． （3）当时，写出函数值的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点、分别在轴、轴的正半轴上．抛物线经过、两点，点为抛物线的顶点，连结、、． （1）求、的值． （2）求点的坐标． （3）求四边形的面积． 23. 在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1． （1）感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）； （2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF； （3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．点是轴上方抛物线上一动点（不落在轴上），过点作轴交轴于点，轴交轴于点．设点的横坐标为，矩形的周长为． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式． （2）当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，求的值． （3）求与之间的函数关系式． （4）设直线与矩形的边交于点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第八十九中学11月份大练习（初三）数学试卷 一、选择题（共8题，每小题3分，共24分） 1. 下列关系式中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义进行解答即可． 【详解】符合二次函数的定义，故A符合题意； 中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故B不符合题意； 是一次函数，故C不符合题意； 中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 2. 如图，在正方形网格中，的各个顶点均为格点，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】在Rt△ABC中之间运用正切函数的定义计算即可 【详解】由图可知△ABC为直角三角形，且AC=2，BC=1 故选：C 【点睛】本题考查计算正切值，正确理解正切的概念是关键 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）． A. 泉州明天会下大雨 B. 在369个人中，一定有两个人在同日出生 C. 打开电视机，正好在播新闻 D. 小明这学期数学期末考试得分是146 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可． 【详解】解：A．泉州明天会下大雨是随机事件； B．在369个人中，一定有两个人在同日出生是必然事件； C．打开电视机，正好在播新闻是随机事件； D．小明这学期数学期末考试得分是146是随机事件． 故选B． 4. 已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦为直径，即可求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长的弦长直径是． 故选：D 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：B． 6. 如果在中，点、、分别为边、、的中点，，，，那么的面积为（ ） A. B. 15 C. 30 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得到，求出的周长和面积，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 的周长， ∴， ∴， ∴ ∵点、、分别为边、、的中点， ∴ ∴，且相似比为， ∴的周长， 故选：A． 7. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点问题，弄清根的判别式的意义是解本题的关键． 根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴ ∴． 故选：B． 8. 如图，已知直线，且相邻两平行线间的距离均相等，等腰直角三角形中，．若点在上，点在上，点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，由锐角的余弦定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， 设相邻两平行线间的距离为， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 9. 已知，则锐角______ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角函数值求角的度数．根据特殊角的三角函数值，，且为锐角，因此． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴． 故答案为：． 10. 如图所示，为的弦，，则的度数为______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握这些知识是解本题的关键． 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：为的弦， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 将二次函数转化成的形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是把二次函数的一般式化为顶点式．利用配方法把二次函数的一般式化成顶点式即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率都为x，根据题意可列方程________． 【答案】. 【解析】 【分析】因为每次下降的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1－x），第二次降价后的售价是原来的（1－x）2，再根据题意列出方程即可. 【详解】解：因为每次下降的百分率为x，根据题意，得：. 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键是掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为. 13. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O、A、B都在格点上，则tan∠AOB的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】连接AC,可得出三角形AOC为等腰直角三角形,利用锐角三角函数定义求出所求即可. 【详解】解：连接AC，可得OC＝AC＝， ∵OA＝， ∴OA2＝OC2+AC2， ∴∠ACO＝90°， 在Rt△AOC中，tan∠AOB＝1， 故答案为1. 【点睛】掌握在直角三角形中求正切值的方法，正确画辅助线是解题关键. 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线为常数)的顶点为过点作轴的平行线与抛物线交于点.抛物线的顶点为连接则的面积为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】由两个抛物线的解析式可以得出顶点A、C的坐标，将x＝2代入中得出B点的坐标，根据A、B、C三点的坐标即可得出AB的长以及点C到直线AB的距离h，结合三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】∵抛物线y＝a（x−2）2＋1（a为常数）的顶点为A， ∴点A的坐标为（2，1）， ∵抛物线， ∴点C的坐标为（−2，）． 令x＝2，则有， ∴点B的坐标为（2，−4）， ∴AB＝1−（−4）＝5，点C到直线AB的距离h＝2−（−2）＝4， △ABC的面积S＝AB•h＝×5×4＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、三角形的面积公式以及点到直线的距离，解题的关键是找出A、B、C三点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将二次函数解析式变化成顶点式，找出点的坐标是关键． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项，得， 方程两边再时除以2，得， 配方，得， ∴， 开方，得， ∴，． 17. 在不透明的袋子中有2个红球和1个黑球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球后放回并搅匀，小华再从中随机摸出一个球，用画树状图（或列表）的方法，求两人摸出相同颜色的球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图,根据概率公式算出即可. 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有5种情况， ∴P（两人摸出相同颜色的球）＝． 【点睛】本题考查树状图的画法及概率求法,关键在于熟记相关基础知识. 18. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． （1）请求出以上两个函数的解析式； （2）求点B的坐标； 【答案】（1）一次函数表达式为，二次函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点B的坐标． （1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像相过点， ∴，解得， ∴一次函数表达式为， ∵过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得，， ． 19. 如图，某数学兴趣小组为了测量学校旗杆AB的高度，他们在旗杆对面的实验楼的顶部C处测得旗杆顶端A的仰角为46°，测得旗杆底端B的俯角为32°，同时测量了旗杆底端与实验楼的地面距离BD长为9.5米．求旗杆AB的高．（结果精确到0.1米）． 【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62，sin46°=0.72，cos46°=0.69，tan46°=1.04】 【答案】15.8米； 【解析】 【分析】作于E，则四边形BDCE是矩形，分别解直角三角形，求出AE、BE即可解决问题 【详解】作于E，则四边形BDCE是矩形， ∴CE=DB=9.5（米）， 答：旗杆AB的高为15.8米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是构造直角三角形. 20. 在一次高尔夫训练中，某球员从山坡下的点打出一球，该球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．如果不考虑空气阻力，球的落点距离点的水平距离为12米时，垂直距离为米． （1）求关于的函数关系式． （2）求该球飞行过程中的最大垂直高度． 【答案】（1） （2）12米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识． （1）根据已知条件得到，把A点代入得到，于是得到结论； （2）把配方得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：点A距离点O的水平距离为12米时，垂直距离为米， ∴， 把A点代入得， 解得， ∴y关于x的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴该球飞行过程中的最大垂直高度是12米． 21. 已知二次函数，函数值与自变量之间的部分对应值如表： … 0 1 … … 1 … （1）写出二次函数图象的对称轴． （2）求二次函数的表达式． （3）当时，写出函数值的取值范围． 【答案】（1）x=2；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）二次函数是轴对称图形，而（-4，-2），（0，-2）关于对称轴对此，利用中点坐标公式可求， （2）求二次函数解析式，可知b,c待定，但（-4，-2），（0，-2）只能取一点，取两点坐标（-1，1），（0，-2）代入解之即可， （3）由于对称轴与x轴交点横坐标，在，说明x=-4与x=-1取值不是最大值，为此x=-4与x=-1对应的函数值的最小值与x=-2时函数值即可． 【详解】解：（1）∵二次函数是轴对称图形，、时的函数值相等，都是，对称轴是（-4，-2），（0，-2）两点连结的中垂线， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）由点（-1，1），（0，-2）在抛物线上 将，代入， 得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （3）∵， ∴当时，取得最大值2， 由表可知当时，当时， ∴当时，． 【点睛】本题考查利用列表求对称轴表示式，二次函数解析式，函数值范围，关键利用数形结合思想，掌握二次函数的性质，函数值的求法，抛物线最值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点、分别在轴、轴的正半轴上．抛物线经过、两点，点为抛物线的顶点，连结、、． （1）求、的值． （2）求点的坐标． （3）求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） （3）12 【解析】 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及正方形的性质、待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积等知识． （1）由正方形的性质可求得B、C的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值； （2）把抛物线解析式化为顶点式可求得D点坐标； （3）由可求得四边形的面积． 【小问1详解】 解：∵正方形的边长为4， ∴， ∴，， ∵抛物线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点； 【小问3详解】 解：∵， ∴D到的距离为， ∴． 23. 在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1． （1）感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）； （2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF； （3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为________． 【答案】（1） ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D=∠C=90°， ∴∠DAE+∠DEA=90°， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF=90°， ∴∠DEA+∠FEC=90°， ∴∠DAE=∠FEC， ∵DE=1，CD=4， ∴CE=3， ∵AD=3， ∴AD=CE， ∴△ADE≌△ECF（ASA） （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D=∠C=90°， ∴∠DPE+∠DEP=90°， ∵EF⊥PE， ∴∠PEF=90°， ∴∠DEP+∠FEC=90°， ∴∠DPE=∠FEC， ∴△PDE∽△ECF （3）2 【解析】 【分析】（1）先利用矩形性质得: ∠D=∠C=90°,再利用同角的余角相等得: ∠DAE=∠FEC,根据已知边的长度计算出AD=CE=3,则由ASA证得: △ADE≌△ECF; （2）利用两角相等证明△PDE∽△ECF; （3）作辅助线,构建如图②一样的相似三角形,利用探究得: △PDE∽△EGF,则,所以, 再利用△PEF的面积是3,列式可得:PE·EF=6,两式结合可求得PE的长,利用勾股定理求PD,从而得出AP的长. 【详解】（1）略． （2）略． （3）如图③，过F作FG⊥DC于G， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴FG=BC=3， ∵PE⊥EF， ∴S△PEF=PE•EF=3， ∴PE•EF=6， 同理得：△PDE∽△EGF， ∴， ∴， ∴EF=3PE， ∴3PE2=6， ∴PE=± ∵PE＞0， ∴PE=， 在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD==1， ∴AP=AD﹣PD=3﹣1=2. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定和性质，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．点是轴上方抛物线上一动点（不落在轴上），过点作轴交轴于点，轴交轴于点．设点的横坐标为，矩形的周长为． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式． （2）当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，求的值． （3）求与之间的函数关系式． （4）设直线与矩形的边交于点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）将和代入建立方程组求出b和c的值即可； （2）当矩形的面积被抛物线的对称轴平分时，点P、D关于抛物线的对称轴对称，由抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴为，结合点D的横坐标为0，即可得出m的值； （3）因为点P的横坐标为m，且点P在图象上，所以可以求出点P的纵坐标，由矩形的性质进而求出点D和点C的坐标，又因为点P的位置不确定，所以要分两种情况分别讨论L和m的函数关系①当点P在第一象限时②当点P在第二象限时； （4）画出函数图象，分两种情形考虑即可①Q在边上，②Q在边上．分别求解即可． 【小问1详解】 解：将和代入得： ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点P的横坐标为m，且点P在图象上， ∴，， ∵矩形的面积被抛物线的对称轴平分， ∴P、D关于对称轴对称， ∴， ∴时，矩形的面积被抛物线的对称轴平分； 【小问3详解】 解：由题意，，， 分以下两种情况： ①当点P在第一象限时，， ∴，， ∴， ∴； ②当点P在第二象限时，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，； 【小问4详解】 解：由，解得或（舍弃）， ∴， 分以下两种情况： 如图，当Q在边上时， 由图象可知，当时，是等腰直角三角形； 如图，当Q在边上时， 此时，即时，是等腰直角三角形， 解得或， ∵点P在x轴上方， ∴满足条件的m的值为或． 综上所述，当或时，是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的确定方法、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一元二次方程的运用，题目的（3）和（4）两问中需要分类讨论的数学思想，防止遗漏问题的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $