吉林省长春市第八十七中学2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测试题(1—13班)

九年数学学科（1-13班） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A. 和2 B. 和 C. 和 D. 2和 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，若，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知反比例函数（，）的图像与线段有公共点，其中点B在y轴上，轴，点A是x轴上一点，连接、，若的面积为3，则k的值可能为（ ） A. 8 B. 7 C. 6.5 D. 5 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：___________． 10. 因式分解：__________． 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 12. 一组数据的方差计算如下：，则这组数据的总和等于______． 13. 如图，、、是正十二边形的三条边，四边形是正方形，则的度数为________． 14. 如图，在中，，，在上取一点，连结，使．点是上一动点，连结，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③； ④在点的运动过程中，的最小值是． 上述结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题 15. 先化简，再求值，其中． 16. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为500千米，B、C两城的路程为450千米，甲车比乙车的速度快10千米／时，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度． 17. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，函数值的取值范围是___________． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中以为边画一个面积为8的； （2）在图②中以为边画一个面积为4的菱形； （3）在图③中以为边画一个面积最大的矩形． 19. 如图，在中，，点在的延长线上，且． 求证：四边形是矩形． 20. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分·数段，如表所示： 成绩 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______；______； （2）小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是______（填“七”或“八”）年级的学生； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 21. 周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）小轩减速前的速度为___________米/分钟； （2）求小轩减速后与之间的函数关系式； （3）当小轩爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是多少米？ 22. 【问题背景】小明有一天看到这样一道数学题：如图1，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题探究】小明发现，可利用构造全等三角形的方法将线段的位置进行转移，使得动点和动点合并，进而将双动点的问题转化为单动点的问题，再根据“两点之间线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图2，延长至点，使得，连接． 证明过程缺失 ∴ ∴ （1）请你帮小明补全上述证明过程． （2）【问题解决】的最小值为______________________． （3）【拓展提升】小刚同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法解决类似的问题：如图3，点在对角线上，，请直接写出的最小值___________． 23. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转并延长到点，使线段，以线段、为邻边作矩形． （1）线段的长为___________； （2）当点为边的中点时，求矩形的面积： （3）当时，求点到直线的距离； （4）当时，直接写出的长． 24. 如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线，点是直线上一点，其横坐标为，连接． （1）点的坐标___________，点的坐标___________，点C的坐标___________． （2）当点落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； （3）以为邻边构造， ①当抛物线的对称轴将的面积分为两部分时，直接写出的值； ②当内的抛物线所对应的函数值随增大而增大时，直接写出的取值范围． 九年数学学科（1-13班） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（每小题3分，共18分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】#### 【12题答案】 【答案】16 【13题答案】 【答案】##120度 【14题答案】 【答案】①②④ 三、解答题 【15题答案】 【答案】，7． 【16题答案】 【答案】甲车的速度为100千米/时，乙车的速度为90千米/时. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 如图①中，平行四边形即为所求； （2） 如图②中，菱形即为所求； （3） 如图③中，矩形即为所求． 【19题答案】 【答案】 证明：在中，有， ∵，， ∴， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【20题答案】 【答案】（1）2；78.5；80 （2）七 （3）60人 【21题答案】 【答案】（1）20 （2） （3）当小轩爬了1小时时，他距离山脚出发地的路程是840米 【22题答案】 【答案】（1） 证明：如图2，延长至点，使得，连接． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （3） 【23题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【24题答案】 【答案】（1），， （2） （3）①或；②或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $