2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中模拟检测卷

2026-2027学年九年级数学上学期 期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一章~第四章。 评卷人 得分 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（     ） A． B． C． D． 2．下列命题中，真命题的是（） A．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B．两组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 3．如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 4．手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 5．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，与相交于点，则为(     ) A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，且，于点E，则的长是（    ） A． B．2 C． D．2 7．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 8．下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C．，且 D．，且 9．如图，和是位似三角形，，的周长为6，则的周长为（    ）． A．12 B．6 C．16 D．18 10．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（     ） A．不存在使得成立 B．的值为或 C．的值为 D．的值为 评卷人 得分 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则________． 12．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 13．如图，在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，使点恰好落在边的点处，则的长为________． 14．如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 15．如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、，．若，则的长为________． 16．如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…，依此规律，则第（12）个几何体的表面积是______个平方单位． 评卷人 得分 三、解答题（本题共9小题，共72分） 17．如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 18．阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．， ∴ ，即时，的值最小，最小值为． (1)用配方法将因式分解； (2)用配方法求：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，；动点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． (1)________，________，________，________（用含的代数式表示） (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为________时，能够使四边形成为菱形，说明理由． 20．关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 21．在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； (3)在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 22．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，该几何体的体积是_____，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加_____个小正方体． 23．数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 24．定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”， 如图1，在四边形中，，，则四边形为“单邻等补四边形”． (1)下列图形一定为单邻等补四边形的是________． A． B． C． D． 【特例探究】 (2)如图，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． 解：过D作交于点E，过D作交的延长线于点F，由题意得：________°． 易证：（________）（选择填写：、、、、） 补全求解过程…… 【归纳分析】 (3)如图，在单邻等补四边形中，，延长，交于点E，连接，若，请你求出和，之间的关系． 【灵活应用】 (4)如图，在中，，，，在射线或射线上存在一点F，当四边形为“单邻等补四边形”时，请直接写出此时的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B D A C D D D 1．C 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看看到的图形是一个长方形，靠近左右两侧分别有一条竖线，靠近中间左右两侧分别有两条竖线，即看到的图形如下： 故选项C符合题意． 2．C 【分析】判定特殊四边形时，需先明确是否具备平行四边形的前提条件，再结合附加条件判断． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，该命题为假． B．两组邻边相等的四边形不一定是菱形，该命题为假． C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该命题为真． D．有一个角是直角且对角线相等的四边形，不满足平行四边形前提时无法判定为矩形，该命题为假． 3．A 【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】解：，， ， 由镜面反射，可知， ， ， ，，， ， . 故路灯的高度为. 4．B 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示手影，则，作于点，延长交于，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，如下图： 即， 又， ∴， ∴， 即， ∴光源与小明的距离应减小米． 5．D 【分析】利用正方形和等边三角形性质证，求出，再利用三角形外角性质求解. 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， 是的外角， . 6．A 【分析】根据，和菱形对角线的性质可求长，进而求出菱形面积，再用等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 7．C 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数非零、根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上，的取值范围是且． 8．D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 9．D 【详解】解：∵和是位似三角形，， ∴， ∵的周长为6， ∴， 解得：， 即的周长为18． 10．D 【分析】先利用判别式求出m的取值范围，再结合根与系数的关系和已知条件建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴ ． 整理得，即． 由根与系数的关系，得，． ∵ ， ∴ ． 代入得， 整理得， 解得． ∵ ，不符合题意，舍去， ∴ ． 11． 【分析】根据根与系数的关系可得，，把代入原方程可得，将代入得，进行整理计算即可． 【详解】解：，n分别为一元二次方程的两个实数根， ， 把代入原方程得，， ， ． 12． 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据与的相似比为，得到，，进而得到，． 【详解】解：如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵与的相似比为，点是位似中心，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】根据矩形性质得出，，利用折叠性质得出，，在中利用勾股定理求出，进而求出，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿着折叠，使点恰好落在边的点处， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的长为． 14．或或 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：答案一：添加， 又∵， ∴； 答案二：添加， 又∵， ∴； 答案三：添加， 又∵， ∴． 15．4 【分析】根据菱形的性质，可得，再根据相似三角形的判定，可得，可以得到，计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．468 【分析】根据题意，找到个数与面积之间的规律：表面积为，即可计算第12个几何体的面积． 【详解】解：第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，可以写成： ， 第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，可以写成： ， 第（3）个几何体的表面积为36个平方单位，可以写成： ， 第（4）个几何体的表面积为60个平方单位，可以写成： ， 第（n）个几何体的表面积可以写成： ， 则第（12）个几何体的表面积可以写成： ， 现在，用表示总面积，则， 再写成的形式， 则， 解得， 所以第（12）个几何体的表面积为468个平方单位． 17．证明：∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 【分析】证明四边形是平行四边形即可． 【详解】略 18．(1) (2)当时，代数式的最小值为． 【分析】（1）根据配方法，把二次三项式配成完全平方式与常数的差，再利用平方差公式分解因式； （2）先提取二次项系数，对含的部分配方，利用平方的非负性求出代数式的最小值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ， ， ． 19．(1)，，， (2) (3)单位/秒 【分析】（1）根据点的运动速度和即可求出结果． （2）矩形中，即，一组对边平行，只需满足，四边形就是平行四边形． （3）菱形需要两个条件：①首先是平行四边形（）；②邻边相等，矩形竖直距离固定，利用勾股定理求出边长等式，联立求解速度． 【详解】（1）解：矩形，，， ∴，， 又动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动， ，，，； （2）解：如图， 四边形是矩形， ，即． 则当时，四边形是平行四边形． ， ， ， 当时，四边形是平行四边形； （3）解：如图， 设点运动速度为每秒个单位长度， 则，，． 满足平行四边形：，即①； 满足邻边相等：，，，由勾股定理： ， 则②； ， ， 解得， 代入①中有， ， 当的速度为单位/秒时，能够使四边形成为菱形． 20．(1)证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴判别式． ∵对任意实数，，即， ∴该方程总有实数根． (2)的值为或． 【分析】（1）求出根的判别式判断即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵、为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴解得，即的值为或． 21．(1)如图， (2)如图， (3) 【分析】（1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似变换的知识，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）结合图形，由位似变换的性质，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：图略， （2）略 （3）解：以原点为位似中心，相似比为，在同一侧的位似点坐标规律：点，对应点坐标为． 22．(1)，， (2) (3)4 【分析】（1）先数出这个几何体中小正方体的个数，再计算体积，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，据此可画出图形； （2）求出不含地面的表面积即可求解； （3）保持主视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体；第3列后面的几何体上放1个小正方体． 【详解】（1）解：由图可知，这个几何体是由10个小正方体组成， 体积为：； （2）解：这个几何体的表面有个正方形，去掉地面上的个，个面需要喷上红色的漆，∴表面积为，（克） ∴共需克漆； （3）解：如果保持主视图和左视图不变，最多可以再添加个． 23．(1)C (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； (3) 【分析】（1）（2）根据中心投影的特点可得，接着证明，利用相似三角形对应边成比例推出，然后由、、均为定值即可得出结论； （3）证明，，再根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例推出，，代入数据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （2）略 （3）解：∵，，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴此时投影的长度为． 24．(1)A (2)60；；补全求解过程见解析 (3) (4)或 【详解】（1）解：A、图中，且只有一组邻边相等，，所以四边形为“单邻等补四边形”，符合题意； B、因为四边形的所有邻边都相等，所以四边形不是“单邻等补四边形”； C、因为四边形中没有邻边相等，所以四边形不是“单邻等补四边形”； D、，， 四边形不是“单邻等补四边形”； （2）解：过D作交于点E，过D作交， 在单邻等补四边形中，，， ， ， ， ， ， ； （3）解：过D作于点G，于点F， 在单邻等补四边形中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， （4）解：或．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 当点F在射线上时，，，， ，， ， 过点B作于点G，于点H， 由（3）知，， ， ， ， ， ， 又由（3）知，， ，， ， ， 解得， 在中，， ； 当点F在射线上时，，，， ，， ， 过点D作于点G，于点H，延长，相交于点K， 由（3）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由（3）知，， ， 解得， ， ， ， ； 综上所述，或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $