第1-3单元易错精练卷2026-2027学年数学九年级上册北师大版

第1-3单元易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．美术课上制作矩形画框，外框为矩形，两条对角装饰线、相交于点．测量发现由画框边和装饰线围成的的周长比的周长大，画框外框周长为，则画框边的长为（     ）． A． B． C． D． 3．由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（     ） A．3 B．5 C．4 D． 5．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，，，则的长为（     ） A． B． C．9 D． 9．如图玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（）时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 二、填空题 11．在中，，添加一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是______．（只写一个） 12．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 13．如图，中，为中点，在上，且．若，则的长度是__________． 14．如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______． 15．如图，在中，点E是边的中点，交对角线于点F，若，则_______． 16．关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．如图，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且， (1)求证：； (2)若点G在上，且，求证：． 19．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，. (1)当时，求m的值； (2)若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求m的值． 20．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出10盒． (1)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； (2)该商场每天所获得的利润是否能达到3400元？若能，求出此时每盒的售价；若不能，请说明理由． 21．如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 23．在中，，点和点分别在边和边上． (1)如图1，将沿翻折至，求证：； (2)将沿翻折至，且点是中点； ①如图2，若，直线与的延长线交于点，求的比值； ②直线与直线交于点，若线段和线段这两条线段中，有一条线段是另一条线段的两倍时，求的比值． 24．【问题探究】 (1)如图1，在矩形中，点E、F分别是、边上的动点，连接，点M是的中点，连接、．若，． ①的长为______； ②求的最小值． 【问题解决】 (2)如图2，矩形是某农场的示意图，是一条小路，的中点O处有一口灌溉水井，现要在该农场内修一个蔬菜储藏室P，再沿、分别修两条小路，沿铺设地下水管，要求，且地下水管的长度尽可能地短．已知，，求地下水管长度的最小值．（小路、地下水管的宽度和水井、储藏室的大小均忽略不计） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1-3单元易错精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A B A B B A A 1．D 【分析】根据形如的方程是一元二次方程，判断解答即可. 【详解】解：对选项A．∵ 展开等式左边得，右边得，移项合并得，最高次数为1， ∴ 不是一元二次方程. 对选项B．∵ 方程含，是分式方程， ∴ 不是一元二次方程. 对选项C．∵ 未明确，若则方程最高次数不为2， ∴ 不一定是一元二次方程. 对选项D．∵ 方程是整式方程，只含未知数，二次项系数为，最高次数为2， ∴ 一定是一元二次方程. 2．B 【分析】先得出，再得出，，联立求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴①， ∵画框外框矩形的周长为， ∴， ∴②， 联立①②得：，． 3．C 【详解】解：∵当时，， 当时，，且， ∴方程的一个根的范围是． 4．A 【分析】设，先利用勾股定理求出，结合折叠有，根据，，，即可作答． 【详解】解：设， ∵矩形中，，， ∴，， ∴，， 由折叠可知，，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 5．B 【分析】根据的定义分区间讨论，去掉取整符号后转化为一元二次方程求解，验证解的有效性． 【详解】解：，，即， 又， ． 当时，，方程化为，解得，符合要求． 当时，，方程化为，解得（负根舍去），符合区间要求． 当时，，方程化为，解得（负根舍去），符合要求． 当时，，且，，即，方程无解． 综上，方程共有3个解． 6．A 【分析】根据黄金分割的意义，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ． 7．B 【分析】先得出，，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 8．B 【分析】先在中由勾股定理求出，通过同角的余角相等推出，结合公共角证明，得到，根据设、则，代入求出，最后在里用勾股定理算出． 【详解】解：，， 在中，， ，， ， 又， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 9．A 【分析】根据黄金比列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴． 10．A 【分析】用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 【详解】解：点从到运动时间为：，点从到运动时间为：， 设点P，Q运动的时间为， ∴, ∴, 解得：或（舍去）． 11．（答案不唯一） 【分析】由已知条件可得是菱形，根据正方形的判定定理，写出符合要求的条件即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， 因此添加，可判定四边形为正方形，符合要求．（也可添加等条件．） 12． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，代入待求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 13． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出长，根据勾股定理求出，最后再求解即可； 【详解】解：， ， ，为中点， ， 在中， ， 由勾股定理得：； 在中， ，， 由勾股定理得． 14． 【分析】根据题意得到与相似，且相似比为，利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵与关于原点O位似，且位似比是， ∴与相似，且相似比为， ∴与的面积比为． 15．12 【分析】由已知易得，由此可得，从而可得，这样即可由解得，，从而可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．1，2 【分析】根据题意得出，整理得，设方程的两个根为s，t，根据根与系数的关系可得出，，表示出两个不动值的差的平方，根据整数，a为正整数求得合适的a的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 设方程的两个根为s，t， 则，， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∴或． 17．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 18．(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）利用正方形的性质得出，证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）由全等三角形的性质得出，由角的和差关系得出，证明，由全等三角形的性质，由即可得出． 【详解】（1）略； （2）略. 19．(1)0 (2) 【分析】（1）根据根与系数的关系得出，，然后代入求解即可； （2）根据已知得出，变形后代入求出即可． 【详解】（1）解：根据一元二次方程根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 解得， 当时，，方程有两个实数根，符合题意， ∴； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：，， ∵、是矩形两邻边，对角线长为， 由勾股定理得：， 即：， ∴， 解得， 当时，，方程有两个实数根，符合题意， 此时，，则，均为正数，也符合题意， ∴. 20．(1)当月饼每盒售价为164元或168元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； (2)解：该商场每天所获得的利润不能达到3400元，理由如下： 设每盒月饼降价y元， 由题意得， 整理得， ∴， ∴原方程无解， ∴该商场每天所获得的利润不能达到3400元． 【分析】（1）设每盒月饼降价x元，根据题意列出方程求解即可； （2）每盒月饼降价y元，根据题意列出方程，验证方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设每盒月饼降价x元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∴或 答：当月饼每盒售价为164元或168元时，每天的销售利润恰好能达到3360元； （2）略 21．(1)证明：∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）结合垂直的定义和矩形的性质，证明，，即可证明； （2）根据题意，设，则，利用勾股定理解得；根据相似三角形的性质以及，可求得的值，进而获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴可设， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴． 22．(1)米 (2)米 【分析】（1）证明，，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解即可； （2）根据可推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，将标杆向右平移到点处， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴标杆与“真身宝塔”的距离的值为米； （2）解：由（1）知：，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴“真身宝塔”的高度是米． 23．(1)证明：∵， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)①；②或或 【分析】（1）先利用等腰三角形和翻折的性质证明 ；进而得出 ，再结合和即可得证． （2）①利用含的直角三角形性质，设，用含的代数式表示出等线段；在和中分别利用勾股定理列方程求出和；最后利用平行线分线段成比例，求出的比值； ②先根据点的不同位置进行分类讨论，设，，，利用勾股定理求出和的表达式，再通过相似三角形建立比例关系，解方程求出参数值，进而得出的比值． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过作，交的延长线于，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交延长线于， 设， 点是中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ∵，， 同理可得，， 由翻折可知，， ， 在中， ，即， 解得， ， ， ，， ， ， ， 在中， ，即， 解得， ， ， ，即， ， ， 化简得， ． ②如图，当点在的延长线上，时， 过作，交的延长线于，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交的延长线于，过作，交延长线于， 设， 点是中点， ， 由翻折性质得：，． 设线段， 在中，由勾股定理：， 则 ，， 在 中，由勾股定理： 代入得， 解得 ．则 ， ． 设，则． 在 中，由勾股定理：， ， ，即是的中位线， ， ，，，． 在 中，由勾股定理：， 代入得，解得． 则 ， ． ，， ， ，即． ，，，   在中，由勾股定理：， 代入得， 展开化简得， ， ， ，， ，， 两式消去 ，得， ， ，代入得， 解得． ，， ，， ，即， ， ， ． 如图，当点在的延长线上，时， 过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交延长线于， 设，，， 同理可得，，，， 在 中，由勾股定理： 代入得， 解得 ．则， ． 同理可得，． ，， ， ，即． ，，，   在中，由勾股定理：， 代入得， 展开化简得， ， 同理可得， ， ， 代入得， 解得． ，， 同理，即， ， ． 如图，当点在的延长线上，时， 过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交延长线于， 设，，， 同理可得，，，， ， 同理可得，， ， ，代入得， 解得． ，， 同理，即， ， ， ． 综上，或或． 24．(1)①17；②的最小值为13 (2)地下水管长度的最小值为 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线，斜边中线定理及三角形三边不等关系，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，三角形中位线，斜边中线定理及三角形三边不等关系是解题的关键； （1）①由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解； ②连接，由题意易得，则有，然后根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当三点共线时取等号，进而问题可求解； （2）取的中点，连接，由题意易得，，，则根据三角形中位线可得，然后可得，根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当三点共线时取等号，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，， ∴， ∴； ②连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当三点共线时取等号， ∴的最小值为13； （2）解：取的中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当三点共线时取等号， ∴地下水管长度的最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $