精品解析：北京市中关村中学2026-2027学年学高三上学期10月月考数学试题

2026北京中关村中学高三10月月考 数 学 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数与函数（）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知，，则“存在使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（ ） A. 物理方向的男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生 C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生 9. 在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足（），为的前项积，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，是等比数列 B. 当时，存在，使得当时 C. 当时， D. 当时， 二、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分． 11. 函数的定义域是__________． 12. 已知等差数列的前项和为，，则__________． 13. 已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为__________. 14. 已知函数的图象上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． （1）若函数是“切线支撑”函数，写出一组点，的坐标__________． （2）已知为“切线支撑”函数，则实数的取值范围是__________． 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为______. 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 17. 已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定. （1）求的值； （2）若不等式在区间内有解，求的取值范围. 条件①：； 条件②：的图象可由的图象平移得到； 条件③：在区间内无极值点，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知函数 （1）当时， ①求的单调区间； ②求在区间上的最小值与最大值； （2）若在区间上不单调，求的取值范围． 19. 如图，测绘无人机执行野外勘察任务，规划航线为折线，先从飞向航线拐点，抵达后转向沿继续飞行，两段航线，夹角.在实际飞行中，无人机飞行至点时，测得在距离点的点处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），其半径逐步扩张.为避开危险，无人机立刻在点转向，临时调整为沿直线飞往航线上的点降落避险.已知避险航线与原航线的夹角为，无人机以的速度从点出发在航线上飞行到达点. （1）若无人机从观测，两点，测得视角，求的值； （2）已知高压气旋半径.规定：视为安全飞行.试通过计算判断无人机在避险航线上能否全程安全飞行. 20. 已知函数，，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 21. 已知m为大于0的偶数，集合．给定项数为的有限数列，对于集合中任意元素，记． （1）若，数列，写出的所有可能值． （2）对于各项均为正数的数列，证明：存在，使得． （3）对于各项均为正数的数列和，证明：存在，使得同时成立． 注：表示中最大的数，表示中最小的数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京中关村中学高三10月月考 数 学 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，所以， 所以. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知，所以. 3. 已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数图象判断即可. 【详解】对于A选项：如图，不符， 对于B选项：如图，符合， 对于C选项：如图，不符， 对于D选项：如图，不符， 故选：B. 4. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得. 【详解】由，故，故， 由对勾函数性质可得， ，且， 综上所述，有. 故选：C. 5. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】 . 故选：D 6. 函数与函数（）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个函数的对称性，研究定义域左半部分的交点个数，即可得到答案. 【详解】令： 将其变形为， 我们可以发现，该函数图像是由反比例函数向右平移1个单位得到的， 其对称中心为；。 令： ， ， 所以，所以该函数也关于点中心对称； 因为两个函数的图像都关于点对称，所以它们的交点也必然关于点对称， 因为不在函数的定义域里， 所以所有的交点必然是成对出现的，且每一对交点的横坐标之和为. 我们只需要找出在区间内有多少对交点， 由于对称性，我们只需分析区间上的情况， 在上， ，，且在单调递增， ，，且在单调递增， 故两函数图像在此区间有1个交点； 在上， ，，且在单调递增， ，且在单调递减， 故两函数图像在此区间有1个交点； 在上，，而， 故两函数图像在此区间没有交点； 在上，，而， 故两函数图像在此区间没有交点； 综上所述，两函数图像在上共有2个交点. 当时： 根据对称性，在上也必有2个交点， 每一对交点的横坐标之和为， 总共有对交点。 所以所有交点的横坐标之和等于. 7. 已知，，则“存在使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】从充分性，必要性两方面举反例说明即可. 【详解】令为“存在使得”，为“”， 先判断充分性： 取，，则，此时满足条件， 但，结论不成立， 条件不能推出结论， 故不是的充分条件； 再判断必要性： 取，， 此时：，成立； 但：需要存在使得， 若为偶数，，无整数解， 若为奇数，，无整数解， 因此，条件不成立， 故不是的必要条件； 综合上述分析， 因此，“存在使得”是“”的既不充分也不必要条件. 8. 某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（ ） A. 物理方向的男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生 C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论. 【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为， 根据题意可得，所以， 即，故物理方向的男生多于历史方向的女生. 故选：D. 9. 在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒，代入解得，再根据量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，代入求解即可. 【详解】因为当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒， 所以，即，解得. 当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒， 则，解得. 10. 已知数列满足（），为的前项积，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，是等比数列 B. 当时，存在，使得当时 C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】对于A选项直接将代入算出每一项，再根据等比数列的定义进行求证；对于B选项判断出的单调性；对于C先计算前几项找出周期，再计算出的值，最后进行代入求出结果；对于D选项运用二倍角公式求出，再运用余弦连乘公式求出. 【详解】对于A，因为，所以， 同理可得，故， 即公比，所以A选项正确； 对于B，当时，，所以，依次有， 故，故，故为递增数列. 而， 结合则有， 当时，， 故存在正整数（）， 使得时，，故B选项正确； 对于C，，，，， 所以， 因此， ，， ，故C选项正确； 对于D，， ， 同理， ， ，故D错误. 二、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分． 11. 函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，解不等式组即可得结果. 【详解】要使函数有意义， 则， 解得， 即函数的定义域是，故答案为． 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、对数不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 12. 已知等差数列的前项和为，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式计算. 【详解】因为为等差数列，，所以， 即，则. 13. 已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为__________. 【答案】0（答案不唯一，取值范围为） 【解析】 【分析】设，，可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，根据数量积的坐标运算结合圆的性质分析求解. 【详解】设，，即，则， 因为，即，可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆， 可得，所以的一个取值为0. 14. 已知函数的图象上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． （1）若函数是“切线支撑”函数，写出一组点，的坐标__________． （2）已知为“切线支撑”函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先将函数化简为正弦型形式，求出最小值及取最小值时的自变量值，根据定义判断并找出一组满足条件的点； （2）先根据导数的单调性判断切点必然分布在轴两侧，分别设出切点坐标并写出两条切线方程，利用切线重合建立参数关系， 再通过构造函数研究单调性得到参数范围，最后验证所有点处函数值均不小于切线值. 【详解】（1） 显然，； 令，得，即， 所以是的极小值点，且为曲线的一条切线， 所以可取. （2）当时，，所以在上单调递增，所以切点不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上单调递增， 所以切点不可能都在轴的左侧， 所以切点必在轴的两侧，不妨设. 当 时，，所以点处的切线方程为，即； 当时，，所以点处的切线方程为，即； 因为两点处的切线重合，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 又当时，， 所以，即. 设点处的切线方程为，设， 则， 所以当时，，在内单调递减； 当时，， 在上单调递增，所以，所以. 设点处的切线方程为， 则， 即， 所以为“切线支撑”函数. 综上可得，实数的取值范围为. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】①取特殊值，根据导数与函数的单调性的关系即可判断； ②对进行分类讨论，即可判断； ③结合①②的情况进行判断即可. 【详解】对于①，当时，，则，存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时，，则在上单调递增； 当时，,,,则在上没有最小值； 当时，,,,则在上没有最小值； 故②正确； 对于③，结合①②，当时，在的零点，最大的①中的，， 当时， 当时，存在零点， 所以这两个零点距离大于，故③错误； 对于④，， 因为是对勾函数，可以取到，，所以可以取到,故④正确. 故答案为：②④. 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项. （2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 ，，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此 【小问2详解】 ，因此 17. 已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定. （1）求的值； （2）若不等式在区间内有解，求的取值范围. 条件①：； 条件②：的图象可由的图象平移得到； 条件③：在区间内无极值点，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选条件②或③，； （2）. 【解析】 【分析】（1）选条件①，由的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可. （2）由（1）求出函数的解析式，再借助不等式有解列式求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 选条件①，由，得，即， 于是或，显然的值不唯一， 因此函数不唯一，不符合题意. 选条件②，的图象可由的图象平移得到， 因此的最小正周期为函数的最小正周期，而，则， 所以. 选条件③，在区间内无极值点，且， 则，即函数分别在时取得最大值､最小值， 于是的最小正周期， 由在区间内无极值点，得的最小正周期， 因此，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 由不等式在区间内有解，即在区间内有解， 则有，解得， 所以的取值范围是. 18. 已知函数 （1）当时， ①求的单调区间； ②求在区间上的最小值与最大值； （2）若在区间上不单调，求的取值范围． 【答案】（1）①单调递减区间为，单调递增区间为.②最小值为，最大值为. （2） 【解析】 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可判断其单调区间，②先求函数在区间上的单调区间，然后根据单调区间求取最值. （2）将函数单调时对应的的范围去掉，剩下的范围为不单调的范围. 【小问1详解】 当时，， ①， ， ，当时，，当时，. 函数的单调递减区间为，单调递增区间为. ②由①知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 又， ， ，. 【小问2详解】 由题知，又. 由恒成立，恒成立，. 当时，恒成立，此时函数在区间上单调递增. 由恒成立，恒成立，. 当时，恒成立，此时函数在区间上单调递减. 当时，函数在区间上不单调. 若在区间上不单调，则的取值范围为. 19. 如图，测绘无人机执行野外勘察任务，规划航线为折线，先从飞向航线拐点，抵达后转向沿继续飞行，两段航线，夹角.在实际飞行中，无人机飞行至点时，测得在距离点的点处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），其半径逐步扩张.为避开危险，无人机立刻在点转向，临时调整为沿直线飞往航线上的点降落避险.已知避险航线与原航线的夹角为，无人机以的速度从点出发在航线上飞行到达点. （1）若无人机从观测，两点，测得视角，求的值； （2）已知高压气旋半径.规定：视为安全飞行.试通过计算判断无人机在避险航线上能否全程安全飞行. 【答案】（1） （2） 不能全程安全飞行 【解析】 【分析】（1）先在中利用三角形内角和求出，确定为等腰三角形，再结合已知求出，在中利用正弦定理求解的长度，结合无人机速度即可求出的值. （2）将安全飞行条件转化为二次不等式恒成立问题，通过求解二次函数在定义域内的最小值，判断不等式是否恒成立即可得到结论. 【小问1详解】 ∵ 在中，，， ∴ ，即， ∴为等腰三角形，. ∵ 在航线上，故三点共线，， 又，∴ . 在中，. 由正弦定理得， 代入数值：，，， ∴ . ∵ 无人机速度为，飞行时间为，故， ∴ ，解得. 【小问2详解】 由题意，安全飞行的条件为对任意恒成立，即恒成立. 由余弦定理得， ∴ 不等式化为，即. 令，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 的最小值为， 即存在时，，不满足的安全条件， ∴ 无人机不能在避险航线上全程安全飞行. 20. 已知函数，，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）利用导数，分情况讨论，求函数的单调性. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 【小问1详解】 当时，. 因为， ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为：即. 【小问2详解】 ，. 当时，由，此时，函数在上单调递减； 当时，由， 此时由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上可知，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 因为. 若，则函数的定义域为，此时，即， 所以在上单调递增. 因为. 设，. 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以恒成立，所以在不可能恒成立. 若，则函数的定义域为，此时， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要想在上恒成立，需要. 设，. 则. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即当时，. 所以为所求. 21. 已知m为大于0的偶数，集合．给定项数为的有限数列，对于集合中任意元素，记． （1）若，数列，写出的所有可能值． （2）对于各项均为正数的数列，证明：存在，使得． （3）对于各项均为正数的数列和，证明：存在，使得同时成立． 注：表示中最大的数，表示中最小的数． 【答案】（1） （2） 记，， 对于集合中元素可采用天平法的思想构造， 将数列从大到小排序为， 对应的，按照从大到小的顺序交替分配，（因为为偶数，这种分配就可以完成）， 此时， 即存在使得. （3） 对数列重新排列使得， 令， 易得， 对重排使得， 当为奇数时，对使用数学归纳法证明且， ①时，取，， ， ②，设，符合条件，时， 记， ， 由归纳假设， ， 令， 则，从而，， ， ， 若，则， ，令即可，同理若，则 ，令即可， 综上为奇数的情形得证. 若为偶数，令，其中， 则，使得，， 令， 则且满足，同时成立， 综上，为大于0的偶数时，存在使得同时成立. 【解析】 【分析】（1）根据时集合中元素的所有可能情况，结合的定义求出所有可能值； （2）通过合理构造来证明存在性； （3）通过合理构造并结合数学归纳法即可证明. 【小问1详解】 当时，集合. 中的元素有以下几种情况： 当时，数列，根据，则. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以的所有可能值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：1.求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.2.对于新型数列，首先要了解数列的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将新定义的数列类比已经学习了的等比、等差数列求解.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $