北京市北京大学附属中学预科部2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

北大附中预科部2026-2027学年度10月月考 数学 2026.10 本试卷共4页，满分150分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束，交回答题卡． 一、本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则 A． B． C． D． 3．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是 A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．若将角的终边逆时针旋转得到角的终边，则 A． B． C． D． 5．函数的图象可能是 A． B． C． D． 6．二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法．他指出，人的心理感受强度（用表示）与物理刺激强度（用表示）可以通过如下对数形式的表达式来刻画：，其中，均为正的常数．已知当物理刺激强度从15个单位增大到60个单位时，增加4；则当物理刺激强度从60个单位增大到480个单位时，增加 A．4 B．6 C．8 D．10 7．为了得到函数图象，只需 A．把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 8．已知函数函数在上是奇函数，函数在上是偶函数，则“，”是“函数的图象与函数的图象有公共点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知函数，．若的最大值为2，则的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知符号函数，，，且，，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11．函数的定义域是________ 12．在中，，，，则________ 13．已知命题：若，且，则．能说明命题为假命题的一个值为________． 14．已知函数，若，则的极值点为________；若的值域为，则的取值范围为________． 15．若定义在的函数同时满足（i）；（ii）； （iii），当时，．给出下列四个结论： ①； ②； ③在上单调递增； ④函数在上没有零点． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数在上的取值范围． 17．（本小题14分） 已知函数． （Ⅰ）若的图象上相邻对称中心之间的距离为，求的最大值以及相应的值； （Ⅱ）若将的图象以轴为对称轴翻转，得到函数的图象，且在上有且只有一个极值点，求此时的单调递增区间． 18．（本小题14分） 已知满足且． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上的中线长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题14分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的零点个数； （Ⅲ）若关于的不等式恒成立且在某个处等号成立，直接写出的最小值． 20．（本小题15分） 已知函数的定义域是，，导函数： （Ⅰ）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值； （Ⅱ）设，当时，判断函数是否存在极值点，并说明理由； （Ⅲ）若时，曲线总在曲线的上方，求的最小值． 21．（本小题15分） 已知数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，其中，，，…，．只有三行的梯形数表中第一行为数列：，，…，， 且，，，…，；第二行为：，，…，，第三行为：，，…，， 满足，．表示梯形数表中所有元素的和． （Ⅰ）若中第一行数列为：，，，，求及； （Ⅱ）当正整数时，若有，证明：； （Ⅲ）若，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $