精品解析：北京市景山学校远洋分校2026-2027学年高三年级上学期10月月考数学试题

北京景山学校远洋分校高三数学 2026-2027学年度第一学期10月月考试卷 总分150分 时间120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数与的图像关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 为奇函数，且在上单调递增 B. 为奇函数，且在上单调递减 C. 为偶函数，且在上单调递增 D. 为偶函数，且在上单调递减 5. 在中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 函数的定义域是_____________． 12. 若函数在处的切线与直线平行，则________． 13. 欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河宽约为______米．（结果精确到1米，参考数据：，，sin75°≈0.97） 14. 设函数， ①若有两个零点，则实数的一个取值可以是______； ②若是上的增函数，则实数的取值范围是______． 15. 已知c是非负常数，函数，给出下列四个结论： ①在区间上有最小值和最大值； ②当时，在区间上有最大值； ③当时，方程的解集有3个元素； ④当时，方程的解集有4个元素． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题 16. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 17. 已知函数的图象经过点；若任意，恒成立时，则的最小值为. （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移个单位得到函数的图象.若对，求的最大值与最小值，及其对应的的值. 18. 在中，. （1）求的大小： （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长. 条件①：；条件②：的面积为；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论的单调性； （3）若，为自然对数的底数，证明：． 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的最小值； （3）求证：对任意的，都有． 21. 已知是元数组集合，是的非空子集.对于任意元数组，定义与之间的距离为，记为子集的致密度，其中表示有限集中的最小数. （1）当时，直接写出的一个三元子集，使得其致密度； （2）当时，设是的子集.且满足致密度，求集合中元素个数的最大值，并说明理由： （3）设，记的致密度为，用表示集合中元素个数的最大值，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京景山学校远洋分校高三数学 2026-2027学年度第一学期10月月考试卷 总分150分 时间120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为全集，， 所以. 2. 若函数与的图像关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】因为函数与的图像关于直线对称， 所以，所以. 故选：B. 3. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到 函数图象的解析式为， 再将所得函数图象向右平移个单位得到函数图象的解析式为， 即． 4. 已知，则（ ） A. 为奇函数，且在上单调递增 B. 为奇函数，且在上单调递减 C. 为偶函数，且在上单调递增 D. 为偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，令， 则可转化为， 可得，即在上单调递增， 即在上单调递增，而， 可得， 则为奇函数，故A正确. 5. 在中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理结合角的范围得出范围即可. 【详解】由余弦定理得，又， 所以， 则的范围是. 故选：D. 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由正弦定理，得. 7. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用指数函数和幂函数单调性可判断，再通过对数换底统一底数比较大于1的对数式的大小，最后综合排序即可. 【详解】易知指数函数在上单调递减， 又，可得， 因为幂函数在上单调递增，因此， 所以可得，因此； 又 ， 又对数函数在上单调递增， 且，因此，即， 综上可得. 8. 将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出平移后的曲线解析式，然后根据原点对称这一条件求出的最小值. 【详解】将曲线向右平移个单位长度后得到的曲线为：. 因为该曲线关于原点对称，所以， 解得.因为， 当时，取最小值为. 故选：B. 9. 设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时，分且，，，四种情况；当时，分，，三种情况，当时，设，利用导数求出，对最大值的符号进行讨论分，，三种情况. 【详解】（i）当时，，代入方程整理得：  ，两根为和， 因此，当且时，则有2个不同根； 当时，则有1个根；当时，仅存在根； 当时，，故恒有1个根. （ii）当时，，代入方程整理得： ， 设， 求导得， 当时，，得，有1个根， 若，，在单调递增， 时，时，故恒有1个根； 当时，，，单调递增；，单调递减， 时，时，故恒有1个根； 故在取最大值， 令，单调递减且. 当时，，方程有2个根； 当时，，方程有1个根； 当时，，方程无实根； 综上所述： ，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 时，有1个根，有1个根，共2个，符合； 其余均不满足条件，共3个符合的. 10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知，结合分析求解即可. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为， 因为，可得， 由题意可知：均与y轴垂直，且， 作垂足为，则， 因为，即，解得； 又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为， 所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：建系，设动点P的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解. 二、填空题 11. 函数的定义域是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式直接列出式子即可求解. 【详解】， ，解得，故函数的定义域为. 故答案为：. 12. 若函数在处的切线与直线平行，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据斜率相等，结合切点处的导数值即可求解. 【详解】由题意可得，所以，解得， 故答案为：0 13. 欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河宽约为______米．（结果精确到1米，参考数据：，，sin75°≈0.97） 【答案】95 【解析】 【分析】利用正弦定理计算，得出的面积，根据面积求出到的距离即可． 【详解】如图， 在中，， 由正弦定理得：， ， ， 到的距离（米）． 故答案为：95 14. 设函数， ①若有两个零点，则实数的一个取值可以是______； ②若是上的增函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 ①. （内的值都可以） ②. 或 【解析】 【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解； ②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解. 【详解】①函数在上单调递增，， 所以函数在区间上无零点， 则函数在上有2个零点， 即，，则，或或，， 则，解得：， 所以的一个值是； ②函数在上单调递增， 则在上，也单调递增，且， 若函数在在区间单调递增， 则，即在区间上恒成立， 即，即， 不等式，解得：或， 综上可知，或. 故答案为：（内的值都可以）；或 15. 已知c是非负常数，函数，给出下列四个结论： ①在区间上有最小值和最大值； ②当时，在区间上有最大值； ③当时，方程的解集有3个元素； ④当时，方程的解集有4个元素． 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①利用函数为偶函数，结合闭区间上连续函数必有最值，判断区间存在最大值与最小值； ②代入，由内层函数在恒正且单调递增，依据右端点为闭端点得到区间存在最大值； ③令，去掉绝对值拆成两个方程，转化为函数图像交点问题，数形结合统计解的个数； ④先证明内层函数在单调递增，结合偶函数画出图像，对分类讨论直线与的交点数量，判断命题真假． 【详解】定义域为， ，是偶函数， 令，则； 求导得，时，， 故，即在上单调递增； 对于①，连续函数在闭区间上必存在最值，所以当时，函数必有最值， 又因为函数是偶函数，所以命题正确； 对于②，当时，，在上单调递增， 则时，，即且单调递增， 区间右端点为闭端点，函数值存在且为最大值，故在区间上有最大值， 故②正确； 对于③，，即：，即：， 原命题转化为或， 即：两个二次函数与余弦函数的交点个数问题， 由图象可知：有三个交点； 对于④，转化成直线与函数有几个交点， 当时，单调递增； 当时，单调递增； 令， 当时，，由于，所以， 由于，所以，故， 所以，单增，，所以单调递增； 综上，在内单增，由于， 而且当x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷， 所以在内有且仅有一个零点，那么||图象大致为： 与y轴的交点为，又因为是偶函数，所以，的图象如右上图， 此时，看直线与的交点情况： 当时，两个交点； 当时，三个交点； 当时，四个交点，所以④错误． 三、解答题 16. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 17. 已知函数的图象经过点；若任意，恒成立时，则的最小值为. （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移个单位得到函数的图象.若对，求的最大值与最小值，及其对应的的值. 【答案】（1），单调递增区间为 （2）时，，或时， 【解析】 【分析】（1）本题考查正弦型三角函数解析式、单调区间、图像平移变换以及闭区间上最值，由的最小值得到半周期，求出，代入最高点坐标求，利用整体代换求单调递增区间； （2）按照 “左加右减” 得到平移后，再换元求指定区间最值. 【小问1详解】 因为对任意恒成立，且的最小值为， 所以，根据，得到， 又因为的图象经过点，所以， 即，解得， 即，又因为， 所以取可得， 所以， 因为正弦函数的单调递增区间为，令， 所以，解得， 所以单调递增区间为； 【小问2详解】 ， 因为，所以， 当时，即时，， 当或时，即或时，. 18. 在中，. （1）求的大小： （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长. 条件①：；条件②：的面积为；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选择条件①或③，中线长为1. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和已知关系式可得，从而先求出. （2）选①，根据三角恒等变换得到，是以为斜边的直角三角形，由正弦定理得到，求出中线；选②，由三角形面积和余弦定理得到，由推出矛盾；选③，由余弦定理得到，设边上的中线长为，再由余弦定理得到边上的中线的长为1. 【小问1详解】 由余弦定理及，得， 得，即， 又，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 当选择条件①时，， 由（1）知，. 所以 . 所以. 因为，所以， 所以，即，则， 所以是以为斜边的直角三角形. 因为，所以. 所以边上的中线的长为. 选②，的面积为， 即，即，解得， 因为，由余弦定理得， 即，解得， 由基本不等式得，但，出现矛盾， 故此时三角形不存在，不能选②. 选条件③：. 由余弦定理得，即. 设边上的中线长为，由余弦定理得 . 所以边上的中线的长为1. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论的单调性； （3）若，为自然对数的底数，证明：． 【答案】（1） （2）当时，函数在，上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在是单调递减， 当时，函数在，上单调递减，在上单调递增 （3）因， 要证，只需证，即， 令，， 因此只需证即可， 因为， 再令，则， 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，， 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即， 所以在有唯一零点， 且当，，当，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 且，， 所以对，都有成立， 即，即， 所以当，成立 【解析】 【分析】（1）根据导数的意义可求得曲线在点处的切线方程； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； （3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得. 【小问1详解】 当时，， 所以， 则， ， 所以曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 若，，函数的定义为， 所以， 令，得或，即或， ①当时，即， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增； ②当，即时， 当时，，，， 当时，，，， 所以函数在是单调递减； ③当时，即， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在，上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在是单调递减， 当时，函数在，上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 略. 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数的最小值； （3）求证：对任意的，都有． 【答案】（1） （2） （3）因为， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 则， 又，且时，故， 欲证对任意的，都有， 只需证对任意的，都有， 只需证对任意的，都有， 令，，则， 则在上单调递减，则，命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）将问题转化为在上恒成立，令，分、、、四种情况讨论； （3）先求的值域，将问题转化为对任意的，都有，再构造函数求最值即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，即在上恒成立， 则在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令， 若，则在上恒成立，不符合题意； 若，则的对称轴为， 若，则，则， 则在上单调递增，则，不符合题意； 若，则在上单调递减， 若，即，则在上存在一个零点， 则当时，，在上单调递增， 则，不符合题意； 若，即，则，在上恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意， 综上，实数的最小值为； 【小问3详解】 略 21. 已知是元数组集合，是的非空子集.对于任意元数组，定义与之间的距离为，记为子集的致密度，其中表示有限集中的最小数. （1）当时，直接写出的一个三元子集，使得其致密度； （2）当时，设是的子集.且满足致密度，求集合中元素个数的最大值，并说明理由： （3）设，记的致密度为，用表示集合中元素个数的最大值，证明： 【答案】（1） （2）8，理由为： 中有个元素，与间的距离为4. 要想满足，集合T中的任意两个4元数组中至少有两个数不同. 不妨选定是的子集中含数组，则集合中的元素有如下几种情况： 含有与有两个不同数的数组中的任意数组； 含有与有三个不同数的数组中的任意数组； 含有与有四个不同数的数组中的任意数组； 同时含有与有两个不同数的数组和与有四个不同数的数组. 因为，所以集合中最多有个元素，即. 故集合中元素个数的最大值为8. （3） 证明：因为，所以集合中至少可以包含两个元素，故， 不等式右侧为。 对于，恒成立，因此，，原不等式得证 【解析】 【分析】根据致密度的定义逐项分析即可求解（1），（2）；根据组合数的性质可证得（3）. 【小问1详解】 . 当时，满足题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $