精品解析：山东潍坊市高密市2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

立新中学九年级数学第一次质量检测 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 方程的根是（    ） A. B. C. ， D. ， 2. 若，相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，，，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 4. 如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有5G用户3万户，计划到2023年底全市5G用户数累计达到10万户．设全市5G用户这几年的平均增长率都为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（共5小题，每小题3分，只写最后结果） 11. 若方程的一个根是1，则另一个根是________． 12. 我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米． 13. 若，是方程：的两个实数根，则代数式的值为________． 14. 《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径”．如图，设正方形的边长是x步，则可列出的方程是___________． 15. 如图，在中，正方形的两个顶点E、F在上，另两个顶点G、H分别在、上，，边上的高是10，则正方形的边长为_____． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 17. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一根为，求的值和该方程的另一个根． 19. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． （1）某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 20. 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 21. 综合与实践 主题 “知耕园”生态农场田地设计 情境 为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之贵，厚植劳动情怀：学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为米，宽为米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． 任务一 要求：设计的每一条小路水平宽度相同，并且连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中． 问题一 （1）①以上三种方案中小路面积的大小关系？ 你的判断是___________；（填“相等”或“不相等”) ②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为平方米，则每条小路的宽度是___________米． 任务二 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图，花圃一边利用水池，其它边用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃． 问题二 （2）若可利用的水池长米，花圃的面积刚好为平方米，求矩形花圃的一边的长． 22. 如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 阅读与思考 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务． 解决问题： （1）写出正确的比例式及后续解答． （2）指出另一个错误，并给出正确解答． 拓展延伸： （3）如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 立新中学九年级数学第一次质量检测 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 方程的根是（    ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 故选：． 2. 若，相似比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，相似比为， 与的周长的比为． 3. 如图，中，，，，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，，得，又因为，证明则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：D． 4. 如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确计算是解题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较选项得出正确结果． 【详解】解：， ， ， ； 故选． 7. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有5G用户3万户，计划到2023年底全市5G用户数累计达到10万户．设全市5G用户这几年的平均增长率都为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设全市5G用户这几年的平均增长率都为x，则2022年底有5G用户是万户，2023年底有5G用户是万户，即可得出答案． 【详解】解：设全市5G用户这几年的平均增长率都为x，则2022年底有5G用户是万户，2023年底有5G用户是万户， 依题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：由条件可知：， ， 解得：． 9. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明出，建立等式求解． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ， ， ，， ， 即， 解得：， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 二、填空题（共5小题，每小题3分，只写最后结果） 11. 若方程的一个根是1，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方程的根，熟练掌握方程的根是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，根据已知根求另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系，两根之和为 ， 已知一个根为，则， 解得， 故答案为． 12. 我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案． 【详解】解：63cm=0.63m，AB=7cm=0.07m， ∵AB∥CD， ∴△ABO∽△CDO， ∴ 即 d=252（m）， 故答案为：252． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的对应高的比等于相似比分析是解题关键． 13. 若，是方程：的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】2021 【解析】 【分析】利用方程根的定义代入得，根据一元二次方程根与系数的关系得，再对待求式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：是方程的根， ，即， ∵，是方程的两个实数根， ， ． 14. 《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径”．如图，设正方形的边长是x步，则可列出的方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据圆的直径与正方形边长之间的关系，可得出圆的直径为步，根据除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：从水池边到圆周，每边相距3步远，且正方形的边长是步， 圆的直径为步． 根据题意得：． 故答案为：． 15. 如图，在中，正方形的两个顶点E、F在上，另两个顶点G、H分别在、上，，边上的高是10，则正方形的边长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，过点作于点，交于点，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 过点作于点，交于点，如图所示： ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 即正方形的边长为6； 故答案为6． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2） （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可； 【小问1详解】 解：方程左边因式分解，得， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得， ，，， ， ∴； 【小问3详解】 解： ， 移项，得， 方程左边因式分解，得， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解： ，，， ， ∴， ∴，． 17. 如图，，与交于点，且，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 即：， ； 【小问2详解】 略 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一根为，求的值和该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：对一元二次方程， ， ， ，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根； （2），另一个根为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是掌握的符号与一元二次方程根的个数的关系及根与系数的关系． （1）证明即可； （2）设一元二次方程另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，即可解得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设一元二次方程另一个根为， 则，， ， 解得：， ， 答：的值是，该方程的另一个根为． 19. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． （1）某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据10月份和12月份的销售量建立方程求解即可； （2）设汽车的售价下调m万元，根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设汽车的售价下调m万元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， ∴， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 20. 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【答案】（1）墙的垂直高度为米 （2）墙的垂直高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 21. 综合与实践 主题 “知耕园”生态农场田地设计 情境 为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之贵，厚植劳动情怀：学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为米，宽为米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． 任务一 要求：设计的每一条小路水平宽度相同，并且连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中． 问题一 （1）①以上三种方案中小路面积的大小关系？ 你的判断是___________；（填“相等”或“不相等”) ②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为平方米，则每条小路的宽度是___________米． 任务二 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图，花圃一边利用水池，其它边用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃． 问题二 （2）若可利用的水池长米，花圃的面积刚好为平方米，求矩形花圃的一边的长． 【答案】（1）①相等；②；（2）米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，生活中的平移现象，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据图形平移的性质，即可得出答案；②设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积约为平方米列方程，解方程即得答案； （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为平方米列方程，解方程即得答案． 【详解】解：（1）①将各种方案中的小路向左或向上平移后所得的图形均为下图： ∴三种方案小路面积相等； 故答案为：相等． ②每条小路的宽度是米 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴每条小路的宽度是米； 故答案为：． （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米， ∵水池长米， ∴，解得， 根据题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：的长为米． 22. 如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）证明，可得，从而得到，即可求证； （2）先求出，可得，然后根据，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 23. 阅读与思考 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务． 解决问题： （1）写出正确的比例式及后续解答． （2）指出另一个错误，并给出正确解答． 拓展延伸： （3）如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）＝，解答： 由题意得∵ ∴正确比例式是：＝， ∴DE＝＝＝＝； （2）没有进行分类讨论， 另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB， 又∵∠A＝∠A，则△ADE∽△ACB，∴＝， ∴DE＝＝＝， 综合以上可得：DE为或． （3）存在，t＝或t＝ 【解析】 【分析】（1）根据三角形相似的性质可得＝，再进行计算即可； （2）根据题意可知另一个错误是没有进行分类讨论，进行解答即可； （3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程进行计算即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 由题意可知，有两种情况， 第一种：当时， 设AM=t，则AN=6-2t， 则由得， 解得：t=； 第二种：当时， 则由， ， 解得：t=， 综上所述，当t＝或t＝时以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决此题的关键是要学会分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $