精品解析：山东济南市槐荫区医学中心实验学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期数学月考 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 若长度分别为2，3，x，6的四条线段依次成比例，则x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 2. 已知，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 4. 若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 若是二次函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 7. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（ ） A. 20 B. 7.2 C. 7.5 D. 19.2 8. 一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在与中，有下列条件：；；；．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 10. 如图，在矩形中，过点D作的垂线交于点E，交于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若F是的中点，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 已知，则的值为___________． 12. 如图，已知直线，如果，，那么线段的长是__． 13. 如图，用一段长为15米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为x米，则菜园面积y平方米与x米之间的函数关系式为_______________． 14. 二次函数的图象经过原点，则___________． 15. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有_________（填序号）． 三．解答题（共9小题，共90分） 16. 已知． （1）求代数式的值． （2）若，求，，的值． 17. 如图，已知．求证：． 18. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为上一点，且，求证：． 19. 如图，在中，于D． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得，边DF离地面的距离为，求树高AB． 21. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 22. 已知一个二次函数的图象经过（2，﹣1），（1，0），（0，3）三点． （1）求出这个二次函数解析式； （2）若此函数图像与x轴、y轴的公共点分别为点A、B、C，则△ABC的面积为 　 　． 23. 有一块三角形的余料，要把它加工成矩形的零件，已知：，高，矩形的边在边上，G、H分别在、上，设的长为、的长为． （1）写出y与x的函数关系式． （2）当x取多少时，是正方形？ 24. 如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为t秒（），连接． （1）根据题意知：______，______；（用含的代数式表示） （2）当与相似时，求的值； （3）连接、，当时，求的值． 25. 【问题背景】 （1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，E为正方形外一点，，过点D作，垂足为F，连接．求的值； 【拓展创新】 （3）如图3，A是内一点，若，，，，，直接写出边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期数学月考 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 若长度分别为2，3，x，6的四条线段依次成比例，则x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，按给定的线段顺序列出比例式，再利用比例的基本性质计算即可得到x的值． 【详解】∵长度为2，3，，6的四条线段是成比例， ∴， 由比例的基本性质可得，即， 解得． 2. 已知，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，再根据比例的性质，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 3. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项两个三角形不相似，符合题意； B.根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； C.根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； D. 根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； 故选：A． 4. 若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，利用相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似矩形的周长比是， ∴它们的相似比为， 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴这两个相似矩形的面积比是， 故选：D． 5. 若是二次函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般形式、一元二次方程的解法，即，即未知数的最高次幂是次，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴指数部分，且系数， 解方程 移项得， 因式分解得， ∴或 又∵，即， ∴． 故选：C． 6. 已知关于的二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为1，当时，随的增大而减小； 综上：只有选项D错误，符合题意； 故选D． 7. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（ ） A. 20 B. 7.2 C. 7.5 D. 19.2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容以及图形的结构特征是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行求解即可得答案． 【详解】， ， ， ∴， 即，解得． 故选：C． 8. 一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感．如图，若将抽象地看成一条线段，点P为的黄金分割点，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义得出比例式即可． 【详解】解：因为点为线段的黄金分割点，且， 所以， 显然四个选项只有选项符合题意． 故选：A． 9. 在与中，有下列条件：；；；．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 【答案】C 【解析】 【详解】解：从个条件中任取个组合，逐一判断： ①，②， ，可判定； ①③、①④、②③组合均满足两边成比例，但相等的角不是成比例两边的夹角， 不能判定相似； ②，④，且是与的夹角， 可判定； ③，④， 可判定； 综上，能判定相似的共有组． 10. 如图，在矩形中，过点D作的垂线交于点E，交于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若F是的中点，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可判断结论①；判断和是否相等即可判断结论②；首先根据已知条件可以判定，然后利用对应边成比例可证明，进而可以判断结论③；设，则，，证明，求出，即可判断结论④． 【详解】对于结论①，四边形是矩形， ， . , ． ，故结论①符合题意； 对于结论②，若平分成立，则有， ， ， ， ， 而根据现有条件无法说明，故结论②不符合题意； 对于结论③，∵四边形是矩形， ． ， ， ． ， ． ， ． ， ， ，故结论③符合题意； 对于结论④， 四边形是矩形， ， ， ． F是的中点， ． 设，则，． 在和中， ， ，即 ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ，故结论④不符合题意． 综上可知，符合题意的结论有①③． 二．填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 12. 如图，已知直线，如果，，那么线段的长是__． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入的值求解即可． 【详解】解：∵线， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，用一段长为15米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为x米，则菜园面积y平方米与x米之间的函数关系式为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用矩形的周长公式即可解决问题，本题的难点在于得到BC长. 设边长为x米，根据已知条件可以推出 ，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式. 【详解】解：设边长为x米，而菜园是矩形菜园， ∴， 菜园的面积， 则菜园的面积（单位：米）与（单位：米）的函数关系式为：． 故答案为： 14. 二次函数的图象经过原点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将原点坐标代入函数解析式求出的可能值，结合二次项系数不为0排除不符合的解，即可作答． 【详解】解：将原点代入二次函数解析式，得， 解得， ∵二次函数的二次项系数不能为0， ∴，即， ∴． 15. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②③；④AG//CF；其中正确的有_________（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判断①正确；根据，进而可得，根据三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF＝135°，得到∠AGB+∠AED＝135°，进而判断②正确；设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x，EG＝x+2， CE＝4，在Rt△EGC中，根据勾股定理建立方程（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解方程可得，即可判断③正确；根据BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判断④正确 【详解】解： ∵四边形是正方形， ∴，AB＝BC＝CD=AD＝6， ∵， ∴DE＝2， ∴CE＝4， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝2， ∴∠AFG＝∠ABG＝90°，AF＝AB， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴①正确； ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴， ∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴， ∵， ∴， ∴∠AEF+∠ADF＝135°， ∴∠AGB+∠AED＝135°， ∴②正确； 设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x， EG＝x+2， ∵ CE＝4， ∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42， 解得x＝3， ∴BG＝GF＝3， ∴③正确； ∵BG=FG=3, ∴CG=BC-BG=6-3=3， ∴CG=FG， ∴∠GCF=∠GFC， ∵∠AGB=∠AGF， ∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC， ∴∠AGF=∠GFC， ∴AG∥CF ∴④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三．解答题（共9小题，共90分） 16. 已知． （1）求代数式的值． （2）若，求，，的值． 【答案】（1）1； （2），，． 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 令，，， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， ，，． 17. 如图，已知．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，进而得，，即可得到结论． 【详解】证明：∵，又， ∴， ∴，． ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握“一对角相等，夹边对应成比例的两个三角形相似”是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为上一点，且，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， ，． ，， ， ． 【解析】 【分析】此题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，．然后根据相似三角形的判定可得结论，掌握其性质定理是解决此题关键． 【详解】略 19. 如图，在中，于D． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ，， ， ， 即． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，然后利用相似比可得到结论； （2）由，得到，则可求出，然后利用勾股定理计算出CD的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ，， ，解得或（舍去）， ， 所以的长为． 20. 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得，边DF离地面的距离为，求树高AB． 【答案】15.6米 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：树高15.6m． 【点睛】本题考查利用相似三角形测高，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键． 21. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 22. 已知一个二次函数的图象经过（2，﹣1），（1，0），（0，3）三点． （1）求出这个二次函数解析式； （2）若此函数图像与x轴、y轴的公共点分别为点A、B、C，则△ABC的面积为 　 　． 【答案】（1）；（2）3 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）分别令x=0和y=0，求出A，B，C的坐标，再根据坐标与图形的关系求解． 【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 根据题意得， 解得：， 所以二次函数解析式为； （2）令y=0，则， 解得：x=1或x=3， 即A（1，0），B（3，0）， 令x=0，则y=3， ∴C（0，3）， ∴△ABC的面积为=3． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与坐标轴交点问题，坐标与图形，求出A，B，C的坐标是解题的关键． 23. 有一块三角形的余料，要把它加工成矩形的零件，已知：，高，矩形的边在边上，G、H分别在、上，设的长为、的长为． （1）写出y与x的函数关系式． （2）当x取多少时，是正方形？ 【答案】（1） （2）当时，四边形是正方形 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质综合，根据正方形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解； （2）根据y与x的函数关系式为及正方形的性质，得到关于的方程求解． 【小问1详解】 解：∵，高，的长为、的长为，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知，y与x的函数关系式为； ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴ 解得：． 答：当时，四边形是正方形． 24. 如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为t秒（），连接． （1）根据题意知：______，______；（用含的代数式表示） （2）当与相似时，求的值； （3）连接、，当时，求的值． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当时，；当时，，再根据，，，，代入计算即可； （3）过作于点，，交于点，则有，，，根据，得出，代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意知：，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，，， ； 分两种情况讨论： ①当时，， ，，，， ， 解得， ②当时，， ， 解得，； ∴当与相似时，或； 【小问3详解】 解：如图，过作于点，，交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得（经检验是原方程的解）． 25. 【问题背景】 （1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，E为正方形外一点，，过点D作，垂足为F，连接．求的值； 【拓展创新】 （3）如图3，A是内一点，若，，，，，直接写出边的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得的长，再根据勾股定理求得． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，且，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， 在正方形中，， ∴，， ∴， ∴； （3）AB＝． 如图，过点A作，交于点H，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $