精品解析：山东省高密市育才学校2024—2025学年上学期12月阶段检测九年级数学试题

2024－2025学年数学九年级阶段检测 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A. B. C. D. 4 5. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 8. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论正确的是（　　） A. a＞0 B. b＝2a C. b2＜4ac D. 8a+c＜0 12. 已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为．给出下列结论：①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小；⑤不等式的解集是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 13. 圆心角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是______． 14. 若函数y＝（a＋1）x|a|＋1是二次函数，则a的值是　______ ． 15. 二次函数的图象经过点，则_____． 16. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 _________． 17. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 18. 若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为______． 三、解答题（12＋8＋10＋10＋10＋10） 19. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 21. 如图所示，假设篱笆（虚线部分）的长度是，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？矩形的最大面积是多少？ 22. 已知二次函数． （1）求证：对于任意实数m，二次函数的图象与x轴总有交点； （2）若这个二次函数的图象与x轴交于点A，，求点A的坐标． 23. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点是二次函数的图象的对称轴与直线的交点，点是二次函数图象的顶点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年数学九年级阶段检测 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如且为整式函数的条件． 【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除； 选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除； 选项C：，展开得：， 符合，且为整式函数，因此一定是二次函数； 选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除． 故选：C． 2. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论． 【详解】解：由图象可知：二次函数图象的对称轴为直线， ∵图象与轴的一个交点为， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的两实数根是 故选B． 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 4. 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值． 【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点， ∴x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c=0， 解得：c=． 故选：B． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键． 5. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据完全平方公式进行配方得到顶点式即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 6. 已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，y随x增大而增大， 故选：B． 7. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 8. 某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 9. 下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法和技巧是解答本题的关键． 分别求出各选项中抛物线的对称轴，由此进行判断，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项符合题意； 故选：． 10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 11. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论正确的是（　　） A. a＞0 B. b＝2a C. b2＜4ac D. 8a+c＜0 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0；利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a；利用抛物线与x轴有2个交点得到△＝b2﹣4ac＞0；利用x＝﹣2时4a﹣2b+c＜0，把b＝﹣2a代入得8a+c＜0，然后对各选项进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，所以A选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a，所以B选项错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0，所以C选项错误； ∵x＝﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0， 把b＝﹣2a代入得8a+c＜0，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 12. 已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为．给出下列结论：①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小；⑤不等式的解集是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴，故①错误； ②当时，，由图象可知当时，， ∴，故②正确； ③关于直线x=1的对称点为，故③正确； ④当时，由图象可知y先随x的增大而增大，再随x的增大而减小，故④错误； ⑤由图象及③可知，抛物线与x轴的交点为，， ∴当时，可，故⑤错误； 综上，有②，③是正确的，故有2个正确的， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a，b，c的关系是正确判断的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 13. 圆心角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是______． 【答案】12π 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】∵ =12π， 故答案为：12π． 【点睛】本题考查了扇形的面积，熟记扇形面积公式是解题的关键． 14. 若函数y＝（a＋1）x|a|＋1是二次函数，则a的值是　______ ． 【答案】１ 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，列出关于a的方程和不等式，即可求解． 【详解】根据二次函数的定义可得：，解得：a=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的最高次项的次数为2，二次项系数不等于零，是解题的关键． 15. 二次函数的图象经过点，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过点， ∴A、B关于对称轴对称， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的图象和性质是解题的关键． 16. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，以及的顶点坐标为． 先得出平移后的解析式，即可解答． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，后抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 17. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 18. 若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求得，，再利用配方法和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过， ∴，则， ∴， ∵二次函数的图象经过， ∴，即，且， ∴ ∵，， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，理解题意，熟练掌握利用二次函数的性质求解最值是解答的关键． 三、解答题（12＋8＋10＋10＋10＋10） 19. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键． （1）利用直接开方法法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得； （3）利用因式分解法求解可得； （4）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴ ∴， ； 【小问2详解】 解：， ∴ ∴或 解得： 【小问3详解】 解：， ∴ ∴， ∴ ∴或 解得：， 【小问4详解】 解： ∴或 解得； 20. 一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式． 【答案】y=-2x2+4x+6 【解析】 【分析】设一般式y=ax2+bx+c，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 根据题意得：， 解得：， 所以抛物线的解析式为y=-2x2+4x+6． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 21. 如图所示，假设篱笆（虚线部分）的长度是，如何围篱笆才能使其所围矩形的面积最大？矩形的最大面积是多少？ 【答案】当矩形的长与宽相等，都为时，所围矩形的面积最大，最大值是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键．设所围矩形的一边长为，则另一边长可表示为，那么其面积可表示成关于的二次函数，根据二次函数的性质在定义域内求最大值即可． 【详解】解：设所围矩形的一边长为，则另一边长可表示为， 则面积 ， ∵， ∴当时，面积有最大值． 答：当矩形的长与宽相等，都为时，所围矩形的面积最大，最大值是． 22. 已知二次函数． （1）求证：对于任意实数m，二次函数的图象与x轴总有交点； （2）若这个二次函数的图象与x轴交于点A，，求点A的坐标． 【答案】（1） 证明：， ， 对于任意实数，二次函数的图象与轴总有公共点； （2）点A的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，把二次函数与x轴的交点的问题，转化为求的问题进行解答即可． （1）依题意可计算出，得出，即可得出二次函数图象与x轴总有公共点； （2）令求出两交点为，从而分类讨论得解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：令，则， 解得：， 即这个二次函数的图象与x轴交于点， 当即为点时，，； 当即为点时，，； ∴点A的坐标为或 23. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）这段时间内y与x之间的函数解析式为 （2）当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【小问1详解】 解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 24. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若点是二次函数的图象的对称轴与直线的交点，点是二次函数图象的顶点，求的长． 【答案】（1）该抛物线的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一般式化为顶点式、求抛物线与坐标轴交点等知识，数形结合求出抛物线及直线的解析式是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求抛物线表达式，将，代入得，解二元一次方程组即可得到答案； （2）将（1）中抛物线化为顶点式，得到抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点的坐标为，根据点的坐标特征即可求出的长． 【小问1详解】 解：将，代入，得 ，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为（），将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴与直线的交点为， 当时，，即点的坐标为， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $