函数的奇偶性与周期性专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数的奇偶性与周期性 一、知识点梳理 （一）奇偶性的定义与判定 设函数 的定义域 关于原点对称。若对任意 都有 ，就称 为奇函数；若对任意 都有 ，就称 为偶函数。定义里「定义域关于原点对称」是前提，不是附加条件：定义域不对称，奇偶性根本无从谈起。教材把奇偶性说成图象的对称性——奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 轴对称，定义只是把这件事写成了式子。 判定奇偶性按三步走：第一步求定义域，看它是否关于原点对称，不对称就直接下结论「非奇非偶」；第二步算 ，把它化简；第三步与 比较，等于 为奇函数，等于 为偶函数，两者都不等则为非奇非偶。等价的写法是看 与 是否为 ，遇到带绝对号或根号的式子，这样算更省事。 三条常用结论：奇函数若在原点有定义，则 ，因为 迫使它为零；既是奇函数又是偶函数的，只有 （定义域关于原点对称），因为两个式子同时成立就推出函数值恒为零；奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数则相反。最后一条常用来把未知区间的单调性搬到已知区间。 （二）奇偶性的应用 已知函数在原点一侧的解析式，求另一侧的解析式，做法是「设、代、转」：设 ，则 ，先把 代入已知那一侧的式子，再用 或 转回来。最后要写清「当 时」这个前提，并把解析式整理成关于 的式子，不能留着 不收尾。 求函数值优先用奇偶性转化：（奇）或 （偶），把陌生的自变量换成已知区间内的数。若题中给出奇函数在原点有定义，那么 就是一条免费的信息，求参数时经常一步到位。反过来，若算出奇函数在原点处的值不为零，就说明题设或计算有矛盾。 比较大小与解不等式，靠的是「偶函数看绝对值」：对偶函数， 等价于 ，这样两个自变量都落在 上，再用单调性就能去掉 。奇函数没有这个便利，要把自变量按正负分类，或者先平移到同一侧。去 之后别忘了定义域的限制，解出的范围要与定义域取交集。 （三）函数的周期性 若存在非零常数 ，使得对定义域内的任意 都有 ，就称 为周期函数， 为它的一个周期。所有周期中最小的正数叫最小正周期，并不是每个周期函数都有最小正周期。周期的意义是把整个图象按长度 反复平移，所以求大数对应的函数值时，先把自变量减去若干个 缩到已知区间。 由递推式推周期，办法是再代一次：若 ，把 换成 得 ，所以 是周期；若 ，同样再代一次得 ；若 ，两次代换后也得到 。这三种形式的周期都是 ，推法比结论更重要，遇到新形式照此办理。 对称性也能产生周期。若图象关于直线 与 （）都对称，则 且 ，把第一式中的 换成 得 ，所以 是周期。两条对称轴、两个对称中心都给出 ；一条对称轴加一个对称中心，则得到 。推导方法一样，都是把两个对称关系各写一遍再消元。 （四）奇偶性与周期性的综合 求大数对应的函数值，按三步走：先用周期把自变量缩到已知区间附近；再用奇偶性把负号或超出范围的部分转到已知区间；最后代入解析式求值。关键是先把周期算准，周期算错一步，后面全错，所以缩小时要写成 这样的等式，不要心算。 题中给出「 是偶函数」，说的是把 的图象左右平移后关于 轴对称，等价于 的图象关于直线 对称，即 。同理「 是奇函数」等价于 的图象关于点 对称。这一步翻译错了，后面的周期就会差一倍，是这类题最主要的失分点。 常见错误有三个：不看定义域是否关于原点对称就判奇偶；把「 是奇函数」当成「 是奇函数」；用周期时把加减方向弄反，例如把 写成 。检查的办法是：周期必须是正数，缩小后的自变量必须落在题目给出的区间内。 自查：判奇偶先看定义域是否关于原点对称；求另一侧解析式要走「设、代、转」；偶函数比较大小先取绝对值；推周期就再代一次；求大数先缩周期再用奇偶性。 二、典型例题 例1　判奇偶：先化简定义域，再算 f(-x) 函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 变式1　判奇偶：化简后两边都不等 函数 是（　　） A．既是奇函数又是偶函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇函数 例2　已知奇函数一侧的解析式，求另一侧 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则当 时，（　　） A． B． C． D． 变式2　已知偶函数一侧的解析式，求另一侧 已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则当 时，（　　） A． B． C． D． 例3　由递推式推周期，再缩自变量 已知 是定义在 上的函数，且 。若当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 变式3　由倒数型递推式推周期 已知 是定义在 上的函数，且 。若 ，则 （　　） A． B． C． D． 例4　偶函数加一条对称轴，周期是多少 已知 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，且当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 变式4　奇函数加一条对称轴，周期变成 4 已知 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称，且当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 例5　偶函数解不等式：先取绝对值再去 f 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 变式5　偶函数在 [0,+∞) 上递减时的解法 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．函数 是（　　） A．偶函数 B．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 是定义在 上的函数，且 。若当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的奇偶性与周期性 一、知识点梳理 （一）奇偶性的定义与判定 设函数 的定义域 关于原点对称。若对任意 都有 ，就称 为奇函数；若对任意 都有 ，就称 为偶函数。定义里「定义域关于原点对称」是前提，不是附加条件：定义域不对称，奇偶性根本无从谈起。教材把奇偶性说成图象的对称性——奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 轴对称，定义只是把这件事写成了式子。 判定奇偶性按三步走：第一步求定义域，看它是否关于原点对称，不对称就直接下结论「非奇非偶」；第二步算 ，把它化简；第三步与 比较，等于 为奇函数，等于 为偶函数，两者都不等则为非奇非偶。等价的写法是看 与 是否为 ，遇到带绝对号或根号的式子，这样算更省事。 三条常用结论：奇函数若在原点有定义，则 ，因为 迫使它为零；既是奇函数又是偶函数的，只有 （定义域关于原点对称），因为两个式子同时成立就推出函数值恒为零；奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数则相反。最后一条常用来把未知区间的单调性搬到已知区间。 （二）奇偶性的应用 已知函数在原点一侧的解析式，求另一侧的解析式，做法是「设、代、转」：设 ，则 ，先把 代入已知那一侧的式子，再用 或 转回来。最后要写清「当 时」这个前提，并把解析式整理成关于 的式子，不能留着 不收尾。 求函数值优先用奇偶性转化：（奇）或 （偶），把陌生的自变量换成已知区间内的数。若题中给出奇函数在原点有定义，那么 就是一条免费的信息，求参数时经常一步到位。反过来，若算出奇函数在原点处的值不为零，就说明题设或计算有矛盾。 比较大小与解不等式，靠的是「偶函数看绝对值」：对偶函数， 等价于 ，这样两个自变量都落在 上，再用单调性就能去掉 。奇函数没有这个便利，要把自变量按正负分类，或者先平移到同一侧。去 之后别忘了定义域的限制，解出的范围要与定义域取交集。 （三）函数的周期性 若存在非零常数 ，使得对定义域内的任意 都有 ，就称 为周期函数， 为它的一个周期。所有周期中最小的正数叫最小正周期，并不是每个周期函数都有最小正周期。周期的意义是把整个图象按长度 反复平移，所以求大数对应的函数值时，先把自变量减去若干个 缩到已知区间。 由递推式推周期，办法是再代一次：若 ，把 换成 得 ，所以 是周期；若 ，同样再代一次得 ；若 ，两次代换后也得到 。这三种形式的周期都是 ，推法比结论更重要，遇到新形式照此办理。 对称性也能产生周期。若图象关于直线 与 （）都对称，则 且 ，把第一式中的 换成 得 ，所以 是周期。两条对称轴、两个对称中心都给出 ；一条对称轴加一个对称中心，则得到 。推导方法一样，都是把两个对称关系各写一遍再消元。 （四）奇偶性与周期性的综合 求大数对应的函数值，按三步走：先用周期把自变量缩到已知区间附近；再用奇偶性把负号或超出范围的部分转到已知区间；最后代入解析式求值。关键是先把周期算准，周期算错一步，后面全错，所以缩小时要写成 这样的等式，不要心算。 题中给出「 是偶函数」，说的是把 的图象左右平移后关于 轴对称，等价于 的图象关于直线 对称，即 。同理「 是奇函数」等价于 的图象关于点 对称。这一步翻译错了，后面的周期就会差一倍，是这类题最主要的失分点。 常见错误有三个：不看定义域是否关于原点对称就判奇偶；把「 是奇函数」当成「 是奇函数」；用周期时把加减方向弄反，例如把 写成 。检查的办法是：周期必须是正数，缩小后的自变量必须落在题目给出的区间内。 自查：判奇偶先看定义域是否关于原点对称；求另一侧解析式要走「设、代、转」；偶函数比较大小先取绝对值；推周期就再代一次；求大数先缩周期再用奇偶性。 二、典型例题 例1　判奇偶：先化简定义域，再算 f(-x) 函数 是 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 ①先求定义域并判断是否对称　由 得 ；由 得 且 。取交集得 ，关于原点对称。 ②在定义域内化简绝对值　当 时 ，所以 ，分母化为 ，。 ③算 f(-x) 并与 f(x) 比较　，所以是奇函数。 注：这类题有两个坑：一是定义域要算准，本题 不在 内，属于空条件，很容易被误认为定义域不对称；二是绝对值要先按定义域去掉，不化简就直接算 ，符号判断会出错。 【答案】A。 由 得 ；由 得 且 。所以定义域为 ，关于原点对称。 当 时 ，，于是 。 ，所以 是奇函数。故选 A。 变式1　判奇偶：化简后两边都不等 函数 是 A．既是奇函数又是偶函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇函数 ①求定义域　由 得 ，分母 在 内恒成立，所以定义域为 ，关于原点对称。 ②算 f(-x)　。 ③与 f(x) 比较　 既不等于 ，也不等于它的相反数，所以是非奇非偶函数。 注：定义域对称只是必要条件，不是充分条件。很多同学看到定义域关于原点对称就直接判奇或判偶，本题正好相反：定义域对称，但两边都不等，结论是非奇非偶。 【答案】C。 由 得定义域 ，关于原点对称。 。 它与 既不相等，也不互为相反数，所以 是非奇非偶函数。故选 C。 例2　已知奇函数一侧的解析式，求另一侧 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则当 时， A． B． C． D． ①设 x<0，先造出 -x>0　当 时 ，可以代入已知那一侧的式子，得 。 ②用奇函数的式子转回来　，所以 。 ③写清前提并收尾　结论要带上「当 时」，并且解析式里不能残留 。 注：「设、代、转」三步，最后一步的负号最容易丢。可以把结果代一个数检验：取 ，得 ，而 ，确实互为相反数，说明结果正确。 【答案】B。 设 ，则 ，所以 。 因为 是奇函数，所以 。 即当 时 。故选 B。 变式2　已知偶函数一侧的解析式，求另一侧 已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则当 时， A． B． C． D． ①设 x<0，则 -x>0　。 ②用偶函数的式子转回来　偶函数满足 ，所以 。 ③检查符号　偶函数的解析式里 的奇次项要变号， 变成 ，其余不变。 注：奇函数求另一侧要整体变号，偶函数只把 的奇次项变号。两者的差别就在最后一步：奇函数多乘一个 ，偶函数不乘。记混了就会把符号弄反。 【答案】D。 设 ，则 ，。 因为 是偶函数，所以 。 即当 时 。故选 D。 例3　由递推式推周期，再缩自变量 已知 是定义在 上的函数，且 。若当 时 ，则 A． B． C． D． ①先推出周期　把 中的 换成 ，得 ，所以 是 的一个周期。 ②把 2025 缩到已知区间　，所以 。 ③代入解析式　 落在 内，，所以 。 注：推周期的方法是「再代一次」：把递推式里的 整体换成 ，再把右边的 用原式代掉，就能看出 。缩小自变量时写成带余除法的形式，比心算可靠。 【答案】C。 由 得 ，所以 是 的周期。 ，所以 。 因为 ，所以 ，故 。故选 C。 变式3　由倒数型递推式推周期 已知 是定义在 上的函数，且 。若 ，则 A． B． C． D． ①再代一次推出周期　，所以 是周期。 ②把 2025 缩小　，所以 。 ③代已知值　，所以 。 注：、、 这三种形式，周期都是 。记结论可以，但考场上最好现场推一遍，尤其是系数不是 的时候，结论容易记错。 【答案】A。 由 得 ，所以 是 的周期。 ，所以 。故选 A。 例4　偶函数加一条对称轴，周期是多少 已知 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，且当 时 ，则 A． B． C． D． ①把两个对称关系各写一遍　偶函数给出 ；图象关于 对称给出 ，即 。 ②两式消元推出周期　由 与 得 ，所以 是周期。 ③缩小自变量并求值　，所以 。 注：偶函数是一条对称轴（），再给一条对称轴 ，两条对称轴之间的距离是 ，周期是距离的 倍，即 。这类题的周期一律是「两对称元素距离的二倍」，轴与中心混用时才是四倍。 【答案】D。 由偶函数得 ；由图象关于 对称得 。 于是 ，所以 是 的周期。 ，所以 。故选 D。 变式4　奇函数加一条对称轴，周期变成 4 已知 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称，且当 时 ，则 A． B． C． D． ①写出两个对称关系　奇函数给出 ；关于 对称给出 。 ②消元推周期　，再代一次得 ，所以 是周期。 ③缩自变量求值　，所以 。 注：一条对称轴加一个对称中心，周期是两者距离的 倍。奇函数自带对称中心 ，与对称轴 的距离是 ，所以周期是 。这一类如果按「两倍」来算，会得到 并选错。 【答案】B。 由奇函数得 ；关于 对称得 。 于是 ，从而 ，周期为 。 ，所以 。故选 B。 例5　偶函数解不等式：先取绝对值再去 f 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集是 A． B． C． D． ①把 f(x) 换成 f(|x|)　偶函数满足 ，所以原不等式等价于 。 ②用 [0,+∞) 上的单调性去掉 f　 与 都在 内， 在那里递增， 等价于 。 ③解绝对值不等式　 即 ，所以解集为 。 注：偶函数在 上的单调性可以「搬」到整个 ：在 上递增的偶函数，离 轴越远函数值越大。所以比较两个函数值，等价于比较两个自变量的绝对值，这一步是解题的枢纽。 【答案】A。 因为 是偶函数，所以 ，原不等式化为 。 因为 在 上递增，所以 。 解得 ，解集为 。故选 A。 变式5　偶函数在 [0,+∞) 上递减时的解法 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，，则不等式 的解集是 A． B． C． D． ①化成 f(|x-1|) 与 f(2) 比较　原不等式等价于 。 ②用递减性去掉 f　 在 上递减，所以 等价于 。 ③解不等式　，即 ，解集为 。 注：去掉 时不等号的方向由单调性决定：递增则方向不变，递减则方向反转。本题是递减，所以「大于」变成「小于」，这一步写反是本题最常见的错误。 【答案】D。 因为 是偶函数，所以 ，原不等式化为 。 在 上递减，所以 。 解得 ，解集为 。故选 D。 三、巩固练习 1．函数 是 A．偶函数 B．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B。 定义域为 ，关于原点对称。 。 所以 是奇函数。故选 B。 2．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 A． B． C． D． 【答案】A。 。 因为 是奇函数，所以 。故选 A。 3．已知 是定义在 上的函数，且 。若当 时 ，则 A． B． C． D． 【答案】C。 由 知 是 的周期。 ，所以 。 因为 ，所以 ，即 。故选 C。 4．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则下列关系正确的是 A． B． C． D． 【答案】B。 因为 是偶函数，所以 。 在 上递增，且 ，所以 。 即 。故选 B。 5．已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集是 A． B． C． D． 【答案】C。 原不等式化为 。 在 上递增，所以 。 解集为 。故选 C。 学科网（北京）股份有限公司 $