第8课时 函数的奇偶性、周期性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

第8课时　函数的奇偶性、周期性 1．下列函数是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增的为(　　) A．y＝－x2＋2　　　 B．y＝ln x2 C．y＝lg(x＋) D．y＝ 2．(2025·课标全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 3．若f(x)＝x为偶函数，则a＝(　　) A． B． C．1 D．2 4．已知函数f(x)＝x＋asin x＋2，且f(m)＝5，则f(－m)等于(　　) A．－5 B．－3 C．－1 D．3 5．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 6．(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 7．(2026·新高考Ⅰ卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] 8．已知偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[0，2]上单调递减，则f(3)，f(－π)，f(log23)的大小关系是(　　) A．f(3)>f(－π)>f(log23) B．f(log23)>f(－π)>f(3) C．f(－π)>f(log23)>f(3) D．f(－π)>f(3)>f(log23) 9．设函数f(x)＝log2|x|－x－2，则不等式f(x－2)≥f(2x＋2)的解集为(　　) A．[－4，0] B．[－4，0) C．[－4，－1)∪(－1，0] D．[－4，－1)∪(－1，0) 10．【多选题】已知定义在R上的偶函数f(x)的周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A．f(2 026)＝2 B．f(x)的值域为[－1，2] C．f(x)在[4，6]上单调递减 D．f(x)在[－6，6]上有8个零点 11．(1)如果函数g(x)＝是奇函数，那么f(x)＝________． (2)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________． 12．(1)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________． (2)已知函数f(x)＝是奇函数，则实数a的值为________． (3)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________． 13．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋3x－1，则当x<0时，f(x)＝________，若f(2m－1)＋f(m)<0，则实数m的取值范围是________． 14．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝(f(x)≠0)；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex，则f，f，f的大小关系是________．(用“<”连接) 15．函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N＝(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 16．【多选题】已知偶函数f(x)的定义域为R，f为奇函数，且f(x)在[0，1]上单调递增，则下列结论正确的是(　　) A．f<0 B．f>0 C．f(3)<0 D．f>0 17．【多选题】已知函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，都有f(x＋y)·f(x－y)＝[f(x)]2－[f(y)]2，f(1)＝2，f(x＋1)为偶函数，则(　　) A．f(3)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(2)＝0 D．f(k)＝0 第8课时　函数的奇偶性、周期性参考答案 1．答案　B 2．答案　D 解析　依题意得，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1.故选D. 3．答案　D 解析　由题意知f(x)的定义域为R，且为偶函数，则g(x)＝－a为R上的奇函数，则g(0)＝0，∴－a＝0，∴a＝2.经检验，符合题意．故选D. 4．答案　C 解析　令g(x)＝x＋asin x，则g(x)为奇函数，故g(m)＋g(－m)＝0，又g(m)＝f(m)－2＝3，所以g(－m)＝f(－m)－2＝－3，所以f(－m)＝－1. 5．答案　A 解析　方法一：由条件可知，x∈R且f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x>0时，ex>e－x，所以x(ex－e－x)>0，又ex＋e－x>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A. 方法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以排除B、D.易知f(1)<f(2)，所以排除C.故选A. 6．答案　A 解析　由题知f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x), 所以f＝f＝f＝5－2×＝－.故选A. 7．答案　D 解析　因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0， 所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0， 当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 所以由xf(x－1)≥0可得或或x＝0. 解得－1≤x≤0或1≤x≤3， 所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．故选D. 8．答案　D 解析　因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，所以f(3)＝f(－1)＝f(1)，f(－π)＝f(4－π)，又0<4－π<1<log23<2且f(x)在[0，2]上单调递减，所以f(4－π)>f(1)>f(log23)，即f(－π)>f(3)>f(log23)．故选D. 9．答案　C 解析　易知函数f(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数， 当x>0时，f(x)＝log2x－x－2，因为y＝log2x与y＝－x－2在(0，＋∞)上均单调递增， 所以f(x)＝log2x－x－2在(0，＋∞)上单调递增， 则f(x)在(－∞，0)上单调递减， 不等式f(x－2)≥f(2x＋2)即f(|x－2|)≥f(|2x＋2|)， 等价于解得－4≤x<－1或－1<x≤0， 所以不等式的解集为[－4，－1)∪(－1，0]．故选C. 10．答案　AB 解析　f(2 026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝2，所以A正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期为4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，所以D错误． 11．(1)答案　2x＋3 解析　令x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3.因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，所以f(x)＝2x＋3. (2)答案　－1 解析　令H(x)＝f(x)＋x2，则H(－1)＋H(1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 12．答案　(1)　(2)2　(3)0 解析　(1)依题意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得＋a＋＋a＝0，解得a＝.验证得a＝满足题意． (2)方法一：因为函数f(x)为奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，即2－a＝0，解得a＝2.验证得a＝2满足题意． 方法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即＋＝0，即x＋2－a－x＋2－a＝0，解得a＝2. (3)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即|x－a|＝|x＋a|，两边平方得4ax＝0.∴a＝0. 13．答案　3x＋1－　 解析　函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋3x－1，则当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(2－x－3x－1)＝3x＋1－.因为函数y＝－和y＝3x＋1在R上都单调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在R上单调递增，由f(2m－1)＋f(m)<0，得f(2m－1)<－f(m)＝f(－m)，则2m－1<－m，解得m<，即实数m的取值范围是. 14．答案　f<f<f 解析　由题意知f(x＋1)＝， 则f(x＋2)＝＝f(x)，故函数y＝f(x)的一个周期为2，则f＝f， 又f(x)为偶函数， ∴f＝f＝f＝f，f＝f＝f， ∵当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex单调递增， ∴f<f<f，故f<f<f. 15．答案　C 解析　依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，x∈[－2，2]，则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2. 16．答案　BD 解析　因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)．因为f是R上的奇函数，所以f(1)＝0，又f的图象是由f的图象向左平移2个单位长度得到的，所以f的图象关于点(2，0)中心对称，进一步得f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，即f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝f(1＋(1＋x))＝－f(1－(1＋x))＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，且一个周期为4.又f(x)在[0，1]上单调递增，所以在[0，1]上，有f(x)≤0.画出函数f(x)的草图如图： 由图可知f>0，故A错误；f>0，故B正确；f(3)＝0，故C错误；f＝f＝f>0，故D正确．故选BD. 17．答案　CD 解析　令x＝1，y＝0，则有f(1)·f(1)＝[f(1)]2－[f(0)]2，解得f(0)＝0，令x＝0，y＝x，则有f(x)·f(－x)＝[f(0)]2－[f(x)]2，即f(x)·[f(－x)＋f(x)]＝0恒成立，故f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)的定义域为R，故f(x)为奇函数，故B错误；由f(x)为奇函数，f(1)＝2，得f(－1)＝－f(1)＝－2，又f(x＋1)为偶函数，故f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(－1)＝f(3)＝－2，故A错误；f(2)＝f(0)＝0，故C正确；由f(x＋1)为偶函数，f(x)为奇函数，得f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，则f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，故函数f(x)的一个周期为4，则f(4)＝f(0)＝0，则f(k)＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝506×(2＋0－2＋0)＝0，故D正确．故选CD. 学科网（北京）股份有限公司 $