指数与指数函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

指数与指数函数 一、知识点梳理 （一）根式与分数指数幂 若 （，），则称 为 的 次方根。 为奇数时， 的 次方根只有一个，记作 ，正负都可能有，如 ； 为偶数时，只有 才有 次方根，且有两个，互为相反数，其中正的记作 。由此得到一条必须分情况的性质： 为奇数时 ， 为偶数时 。教材把根式统一写成分数指数幂，正是为了让乘法、除法、乘方的运算律都能照常使用。 分数指数幂的规定是：当 时，，且 ，其中 、 为正整数且 。规定底数 ，是为了让运算在任何指数下都有意义。另外， 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义，所以写 之前要先确认 。 运算性质与整数指数幂一致：，，，。化简根式的基本策略是「统一成分数指数幂再算」，遇到根号套根号，从最里层往外逐层改写。两个高频错误：一是把 一律写成 ，忘了偶数时应当是 ；二是负指数幂漏掉取倒数，把 写成 。 （二）指数函数的图象与性质 形如 （ 且 ）的函数叫指数函数。它的定义域是 ，值域是 ，图象恒过定点 ，并且整个图象都在 轴上方， 轴是它的渐近线。底数的限制条件缺一不可： 时 在 取某些值时没有意义， 时函数变成常数函数，都不作为指数函数研究。 单调性完全由底数决定： 时 在 上递增， 时在 上递减。图象都过 ，在此处「分道扬镳」： 时，底数大的函数值大； 时正好相反，底数大的函数值小。这条规律是比较大小的依据，也解释了为什么 与 的图象关于 轴对称。 图象变换与二次函数相同： 是把 的图象向右平移 个单位， 是向上平移 个单位。对称变换有三种： 与 关于 轴对称， 与 关于 轴对称， 与 关于原点对称。记住这些，遇到 求定点，只要令指数为 就能算出。 （三）指数函数的应用 比较大小分三种情形：底数相同、指数不同，直接用单调性；底数不同、指数相同，可借助中间量 或图象高低；底数与指数都不同，一律找中间量搭桥，常以 为界，先判断每个数与 的大小，再细分。动笔前先把每个数化成同一种书写形式，带根号的写成分数指数幂，带负指数的先取倒数，避免看错。 解指数方程或不等式，核心是「化同底」：把两边都写成同一个底数的幂，再利用单调性把指数上的不等式解出来。底数大于 时不等号方向不变，底数在 与 之间时方向反转。若底数含参数，必须按参数的范围分类讨论，这是这类题最容易漏的一步。 复合函数 的单调性，仍按「同增异减」： 时外层递增，复合后的增减与 相同； 时外层递减，复合后的增减与 相反。讨论前先求定义域，因为外层对指数的取值没有限制，定义域完全由 决定。写单调区间时仍然不能写成并集。 （四）指数型函数的最值 形如 的函数，用换元法：设 ，则 ，原函数化为 ，问题变成二次函数在 上的最值。换元后必须写上 这个范围，它是后面判断顶点能否取到的唯一依据。 若题目给了 的范围， 的范围要跟着算出来：例如 、，则 。此时求的是二次函数在闭区间上的最值，按「顶点是否落在区间内」分两种情形处理。很多同学换元后直接在整个 上找顶点，结果把取不到的值当成最小值。 三个常见错误：换元后漏写 ，把顶点 时的函数值也当成可取到；底数含参数时不分类，默认函数递增；把 写成 后又把系数弄错，例如把 当成 。这三处只要有一处出错，整题的结果就会偏。 自查：根式化分数指数幂再算，偶数次方根开出来要加绝对值；比较大小先统一形式、再找中间量；解不等式化同底后看底数决定是否变号；换元必写新变量范围。 二、典型例题 例1　分数指数幂运算：负指数先取倒数 计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 变式1　负分数指数幂：先翻转再开方 计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 例2　指数型函数恒过定点：让指数为零 函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 变式2　平移方向不同，定点跟着变 函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 例3　比较大小：先与 1 比，再细分 设 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 变式3　同底不同指数：直接用单调性 设 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 例4　解指数不等式：先化同底，再用单调性 不等式 的解集是（　　） A． 或 B． C． D． 变式4　底数在 0 与 1 之间：不等号要反转 不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 例5　复合单调性：外层递减，结论与内层相反 函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 变式5　底数大于 1 时，结论与内层一致 函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．函数 与 的图象关于（　　） A． 轴对称 B． 轴对称 C．原点对称 D．直线 对称 3．函数 （）的值域是（　　） A． B． C． D． 4．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．函数 的最小值是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数与指数函数 一、知识点梳理 （一）根式与分数指数幂 若 （，），则称 为 的 次方根。 为奇数时， 的 次方根只有一个，记作 ，正负都可能有，如 ； 为偶数时，只有 才有 次方根，且有两个，互为相反数，其中正的记作 。由此得到一条必须分情况的性质： 为奇数时 ， 为偶数时 。教材把根式统一写成分数指数幂，正是为了让乘法、除法、乘方的运算律都能照常使用。 分数指数幂的规定是：当 时，，且 ，其中 、 为正整数且 。规定底数 ，是为了让运算在任何指数下都有意义。另外， 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义，所以写 之前要先确认 。 运算性质与整数指数幂一致：，，，。化简根式的基本策略是「统一成分数指数幂再算」，遇到根号套根号，从最里层往外逐层改写。两个高频错误：一是把 一律写成 ，忘了偶数时应当是 ；二是负指数幂漏掉取倒数，把 写成 。 （二）指数函数的图象与性质 形如 （ 且 ）的函数叫指数函数。它的定义域是 ，值域是 ，图象恒过定点 ，并且整个图象都在 轴上方， 轴是它的渐近线。底数的限制条件缺一不可： 时 在 取某些值时没有意义， 时函数变成常数函数，都不作为指数函数研究。 单调性完全由底数决定： 时 在 上递增， 时在 上递减。图象都过 ，在此处「分道扬镳」： 时，底数大的函数值大； 时正好相反，底数大的函数值小。这条规律是比较大小的依据，也解释了为什么 与 的图象关于 轴对称。 图象变换与二次函数相同： 是把 的图象向右平移 个单位， 是向上平移 个单位。对称变换有三种： 与 关于 轴对称， 与 关于 轴对称， 与 关于原点对称。记住这些，遇到 求定点，只要令指数为 就能算出。 （三）指数函数的应用 比较大小分三种情形：底数相同、指数不同，直接用单调性；底数不同、指数相同，可借助中间量 或图象高低；底数与指数都不同，一律找中间量搭桥，常以 为界，先判断每个数与 的大小，再细分。动笔前先把每个数化成同一种书写形式，带根号的写成分数指数幂，带负指数的先取倒数，避免看错。 解指数方程或不等式，核心是「化同底」：把两边都写成同一个底数的幂，再利用单调性把指数上的不等式解出来。底数大于 时不等号方向不变，底数在 与 之间时方向反转。若底数含参数，必须按参数的范围分类讨论，这是这类题最容易漏的一步。 复合函数 的单调性，仍按「同增异减」： 时外层递增，复合后的增减与 相同； 时外层递减，复合后的增减与 相反。讨论前先求定义域，因为外层对指数的取值没有限制，定义域完全由 决定。写单调区间时仍然不能写成并集。 （四）指数型函数的最值 形如 的函数，用换元法：设 ，则 ，原函数化为 ，问题变成二次函数在 上的最值。换元后必须写上 这个范围，它是后面判断顶点能否取到的唯一依据。 若题目给了 的范围， 的范围要跟着算出来：例如 、，则 。此时求的是二次函数在闭区间上的最值，按「顶点是否落在区间内」分两种情形处理。很多同学换元后直接在整个 上找顶点，结果把取不到的值当成最小值。 三个常见错误：换元后漏写 ，把顶点 时的函数值也当成可取到；底数含参数时不分类，默认函数递增；把 写成 后又把系数弄错，例如把 当成 。这三处只要有一处出错，整题的结果就会偏。 自查：根式化分数指数幂再算，偶数次方根开出来要加绝对值；比较大小先统一形式、再找中间量；解不等式化同底后看底数决定是否变号；换元必写新变量范围。 二、典型例题 例1　分数指数幂运算：负指数先取倒数 计算 的结果是 A． B． C． D． ①把 8 拆成 2 的幂　，分数指数幂先把底数写成幂的形式，指数就能直接相乘。 ②负指数取倒数　，负指数的作用是把底数翻转，不是把结果变成负数。 ③零次幂为 1 并合并　因为 ，所以 ，原式 。 注：三项分别对应三条基本功：分数指数幂、负指数幂、零次幂。零次幂的条件是底数不为零，本题 ，满足条件；若底数恰好为零，这一项就没有意义，题目也就不成立了。 【答案】C。 。 。 。 所以原式 。故选 C。 变式1　负分数指数幂：先翻转再开方 计算 的结果是 A． B． C． D． ①负指数把分数翻转　。 ②分别开立方　 与 都是完全立方数，。 ③加上零次幂　，所以原式 。 注：负分数指数幂分两步：先把底数取倒数、指数变正，再按分数指数幂算。顺序颠倒不影响结果，但先翻转能让开方更顺手。本题 、 都是立方数，看出这一点就能口算。 【答案】A。 。 。 所以原式 。故选 A。 例2　指数型函数恒过定点：让指数为零 函数 （ 且 ）的图象恒过定点 A． B． C． D． ①抓住 a 的零次幂　不论 取何值，，所以让指数 ，即 。 ②算出对应的 y　把 代入得 。 ③写出定点　所以图象恒过定点 ，与底数无关。 注：指数函数 恒过 ，平移之后的定点就由「指数等于零」决定。形如 的函数，令 解出 ，对应的 就是 ，这是通法。 【答案】B。 令 ，得 。 此时 。 所以图象恒过定点 。故选 B。 变式2　平移方向不同，定点跟着变 函数 （ 且 ）的图象恒过定点 A． B． C． D． ①令指数为零　由 得 。 ②算函数值　。 ③写出定点　定点为 。 注： 对应的是向左平移 个单位，所以定点横坐标是 而不是 。求定点只需令指数为零，但指数里的符号要看清楚，这一步最容易出错。 【答案】D。 令 ，得 。 此时 。 所以图象恒过定点 。故选 D。 例3　比较大小：先与 1 比，再细分 设 ，，，则 、、 的大小关系是 A． B． C． D． ①先与 1 比较，把三个数分成两档　 的底数大于 、指数大于 ，所以 ； 的底数在 与 之间、指数为正，所以 ；。 ②两档之间直接定序　 已经有了，于是只需再确认 与 、 与 的关系。 ③检查档内是否还有疑问　，，两档各只有一个数，顺序确定为 。 注：异底异指数的比较，最省力的办法是以 为界分档：底数大于 且指数为正的数大于 ，底数在 与 之间且指数为正的数小于 。分档之后再比较同档内的数，比硬凑同底要快得多。 【答案】B。 。 。 又 ，所以 。故选 B。 变式3　同底不同指数：直接用单调性 设 ，，，则 、、 的大小关系是 A． B． C． D． ①前两个数同底　 在 上递增，由 得 。 ②第三个数单独估　，而 ，所以 。 ③连起来排序　。 注：同底数比较用单调性，一步到位；底数不同的那个数单独与 比，往往就能定位。两条线索合起来，不需要把每个数都算成小数。 【答案】A。 递增，，所以 。 ，而 ，所以 。 于是 。故选 A。 例4　解指数不等式：先化同底，再用单调性 不等式 的解集是 A． 或 B． C． D． ①把右边化成同底　，所以原不等式即 。 ②底数大于 1，不等号方向不变　 在 上递增，所以 。 ③解二次不等式　，即 ，解得 。 注：化同底是解指数不等式的第一步，底数大于 时不等号方向不变，底数在 与 之间时方向要反转。本题 要写成 ，写成 也能算，但两边底数不同就没法直接比指数。 【答案】D。 原不等式即 。 因为 递增，所以 。 即 ，解得 。故选 D。 变式4　底数在 0 与 1 之间：不等号要反转 不等式 的解集是 A． B． C． D． ①统一底数　，，原不等式化为 。 ②用单调性去底　 递增，所以 。 ③解出并检查方向　两边乘 得 ，不等号方向反转。 注：先把 写成 ，就把「底数小于 」的情形转成了「底数大于 」的情形，只需要在解不等式时处理一个负号。这样写比直接套「底数小于 要变号」更不容易出错。 【答案】A。 原不等式化为 。 因为 递增，所以 ，即 。 解集为 。故选 A。 例5　复合单调性：外层递减，结论与内层相反 函数 的单调递增区间是 A． B． C． D． ①确认定义域　指数函数的定义域是 ，内层 对任意实数都有意义，所以整个函数的定义域为 。 ②看内层的增减　，在 上递减，在 上递增。 ③外层递减，同增异减　外层 在 上递减，与内层异向，所以整体在 上递增。 注：底数在 与 之间时，外层是减函数，复合后的单调区间与内层正好相反。判断时先写清「外层是增还是减」，再决定结论是与内层相同还是相反，凭感觉直接套「同增异减」容易记反。 【答案】C。 定义域为 。 内层 在 上递减，在 上递增。 外层 递减，内外异向，所以递增区间为 。故选 C。 变式5　底数大于 1 时，结论与内层一致 函数 的单调递减区间是 A． B． C． D． ①看内层　，在 上递增，在 上递减。 ②外层递增，同向　 在 上递增，复合后的增减与内层相同。 ③写出递减区间　内层在 上递减，所以整体在 上递减。 注：与例题对照：例题的内层是 、外层递减，本题的内层是 、外层递增，两层各换了一次方向。所以不能照搬上一题的结论，每次都要重新判断外层是增还是减。 【答案】B。 内层 在 上递减。 外层 递增，内外同向，所以递减区间为 。故选 B。 三、巩固练习 1．计算 的结果是 A． B． C． D． 【答案】D。 。 ，奇次方根可以直接取负。 所以原式 。故选 D。 2．函数 与 的图象关于 A． 轴对称 B． 轴对称 C．原点对称 D．直线 对称 【答案】B。 。 设点 在 上，则 ，而 满足 ，也在 上。 两点关于 轴对称，所以图象关于 轴对称。故选 B。 3．函数 （）的值域是 A． B． C． D． 【答案】C。 在 上递增，所以 时 。 又指数函数的值恒大于 ，所以 。 值域为 。故选 C。 4．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A。 指数函数递减的条件是底数在 与 之间，且底数不能等于 。 所以 ，解得 。故选 A。 5．函数 的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C。 设 ，则 ，且 ，。 。 因为 在 的范围内，可以取到，所以最小值为 。故选 C。 学科网（北京）股份有限公司 $