第10讲　指数与指数函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

第10讲　指数与指数函数（讲练案） 2027届高考数学一轮复习 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题)设a＞0，则下列运算中正确的是(　　) A．a4/3a3/4＝a　　　B．a÷a2/3＝a3/2 C．a2/3a－2/3＝0　　　D．(a1/4)4＝a 2．(教材经典题改编)设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　) A．b＜c＜a　　　B．c＜a＜b C．a＜b＜c　　　D．b＜a＜c 3．(教材经典题改编)已知x1/2＋x－1/2＝5，则x＋x－1的值为(　　) A．5　　　B．23 C．25　　　D．27 4．下列函数的值域是(0，＋∞)的有(　　) A．y＝41/(3－x)　　　B．y＝√((1/4)3x－1) C．y＝(1/2)1－2x　　　D．y＝√(1－3x) 5．函数y＝ax＋2 026＋2 026(a＞0，a≠1)的图象恒过定点______． 聚焦知识 1．根式 (1) 概念：式子n√a叫做_______，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2) 性质：(n√a)n＝a(a使n√a有意义)；当n为奇数时，n√(an)＝a；当n为偶数时，n√(an)＝|a|＝{a，a≥0；－a，a＜0}． 2．分数指数幂 (1) 规定：正数的正分数指数幂的意义是am/n＝_______(a＞0，m，n∈N*且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－m/n＝_______(a＞0，m，n∈N*且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂_______． (2) 有理指数幂的运算性质：aras＝________；(ar)s＝_________；(ab)r＝_________，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q． 3．指数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 _________ 性质 过定点_______，即当x＝0时，y＝1 当x＞0时，________；当x＜0时，________ 当x＜0时，______；当x＞0时，_______ 在(－∞，＋∞)上是____ 在(－∞，＋∞)上是_____ 4．常用结论 (1) 画指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1)． (2) 底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． (3) f(x)＝ax与g(x)＝(1/a)x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称． 图　底数对指数函数图象位置的影响 题型突破　思维拓展 举题说法 目标1　指数式的求值与化简 例1　(1) 计算 1/(√2－1)－(－9.6)0＋4√((√2－π)4)－(8/27)2/3＋(3/2)－2 的值为(　　) A．1/π　　　B．π C．π2　　　D．2 (2) 已知x－x－1＝2√3(x＞0)，求 (x2－x－2)/(x2＋x－2) 的值． 指数幂运算的一般原则：(1) 负指数幂化成正指数幂的倒数．(2) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(3) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示． 变式1　(1) 已知ex/2－e－x/2＝2，则e3x/2－e－3x/2＝____． (2)(2025·福州质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)的关系式为y＝kerx(k，r为常数)．若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间约是____h． 目标2　指数函数的图象及应用 例2　(1)(多选)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列说法中正确的有(　　) A．a＞1　　　B．0＜a＜1 C．b＞0　　　D．b＜0 (2)(2025·龙岩质检)已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　) A．a＜0，b＜0，c＜0　　　B．a＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c　　　D．1＜2a＋2c＜2 变式2　已知函数f(x)＝{|3x－1|，x≤1；－x＋2，x＞1．若实数a，b，c满足a＜b＜c且f(a)＝f(b)＝f(c)，则3a＋3b＋3c的取值范围为(　　) A．(3，9)　　　B．(5，9) C．(5，11)　　　D．(3，11) 目标3　指数函数的性质及应用 视角1　单调性与最值 例3－1　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　　　B．[－2，0) C．(0，2]　　　D．[2，＋∞) (2) 函数f(x)＝(1/3)－x²＋4x的值域为________． (3)(2025·宿迁期中)(多选)若定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的单调递减区间是[0，1] B．f(x)的单调递增区间是[－1，1] C．f(x)的最大值是f(0)＝2 D．f(x)的最小值是f(1)＝－6 视角2　比大小与解不等式 例3－2　(1)(2025·石家庄调研)已知a＝(3/2)－0.3，b＝1.10.7，c＝(2/3)1/3，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为(　　) A．c＜b＜a　　　B．b＜a＜c C．c＜a＜b　　　D．b＜c＜a (2)(2025·济南3月模拟)若函数f(x)＝{e－x－1，x≤0；1－ex，x＞0，则f(2x)＋f(x－3)＞0的解集是(　　) A．(－∞，1)　　　B．(1，＋∞) C．(－∞，－3)　　　D．(－3，＋∞) 视角3　综合应用 例3－3　已知f(x)＝(b－3x)/(3x－1＋t)是定义在R上的奇函数． (1) 求f(x)的解析式； (2) 已知0＜a＜1，若对于任意的x∈[1，＋∞)，存在m∈[－2，1]，使得f(x)－x2＋2x＋5/2≤am＋1成立，求实数a的取值范围． 随堂内化 1．(2025·新乡二模)(8/2√5)3＋√5＝(　　) A．16　　　B．8√2 C．32　　　D．16√2 2．若x满足不等式2x²＋1≤(1/4)x－2，则函数y＝2x的值域是(　　) A．[1/8，2)　　　B．[1/8，2] C．(－∞，1/8]　　　D．[2，＋∞) 3．(2025·安庆二模)若函数f(x)＝a·2－|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则(　　) A．函数f(x)不具有奇偶性　　B．a＝2 C．函数f(x)的值域为(－∞，2)　　D．函数f(x)的单调递增区间为[0，＋∞) 4．(2025·聊城一模)设实数a＞0，函数f(x)＝(10x＋a)/(10x－a)为奇函数，则f(lg 3)＝____． 配套精练 一、单项选择题 1．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　) A．a＞b＞c　　　B．a＞c＞b C．b＞c＞a　　　D．c＞b＞a 2．设函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　　　B．(－∞，4] C．[2，＋∞)　　　D．[4，＋∞) 3．(2025·杭州期末)已知函数f(x)＝2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＜f(2)　　　B．f(1)＞f(2) C．f(2)＝2f(1)　　　D．f(2)＝3/2＋f(1) 4．(2025·漳州三模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0＞0，k＞0．若在前5 h内消除了10%的污染物，则15 h后污染物含量还剩余(　　) A．70%　　　B．85% C．81%　　　D．72.9% 5．(2025·德州模拟)设f(x)＝{ex－1＋x，x≤1；x＋1/x，x＞1．则满足f(1－x)＞f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1]　　　B．(0，＋∞) C．(－1，0)　　　D．(－∞，0) 二、多项选择题 6．(2025·绍兴模拟)已知函数f(x)＝ex/(1＋λe2x)，则下列结论错误的是(　　) A．当λ＝1时，f(x)是偶函数，且在区间(0，1)上单调递增 B．当λ＝1时，f(x)是奇函数，且在区间(0，1)上单调递减 C．当λ＝－1时，f(x)是偶函数，且在区间(0，1)上单调递减 D．当λ＝－1时，f(x)是奇函数，且在区间(0，1)上单调递增 7．(2025·宁德质检)设函数f(x)＝|2x－1|，a，b，c∈R，且a＜b＜c，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)有最小值0，无最大值 B．函数y＝f(x)的图象与直线y＝1有两个不同的交点 C．若f(a)＞f(c)＞f(b)，则2a＋2c＜2 D．若f(a)＝f(b)，则22a＋2b的取值范围是[7/4，2) 8．已知函数f(x)＝{2x，x＜0；|x－1|，x≥0．若x1＜x2＜x3，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则(　　) A．x2＋x3＝2　　　B．x1＜0＜x2＜1＜x3 C．|x3|＞|x1|＞|x2|　　　D．0＜x2f(x1)≤1/4 三、填空题 9．化简：(a4/3－8a1/3b)/(4b2/3＋23√(ab)＋a2/3)÷(1－23√(b/a))×3√a＝_________． 10．(2026·德州期初)已知n＞0，函数f(x)＝(m－1＋9nx)/3x，若f(x)＋f(－x)＝0，则m＋n＝____． 11．已知函数f(x)＝a·4x－3·2x－1(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝(1－a)·2x＋3有解，则a的取值范围为__________． 四、解答题 12．我们知道：设函数y＝f(x)的定义域为D，那么“函数y＝f(x)的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(－x)＝－f(x)”．有同学发现可以将其推广为：设函数y＝f(x)的定义域为D，那么“函数y＝f(x)的图象关于点(m，n)成中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(2m－x)＋f(x)＝2n”． (1) 判断函数f(x)＝(2x－1)/(2x＋1)的奇偶性，并证明． (2) 判断函数g(x)＝2/(3x＋1－1)的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，请说明理由． 13．已知函数f(x)的图象可由函数y＝ax－1＋2(a＞0且a≠1)的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f(2)＝16． (1) 求a的值； (2) 若函数g(x)＝f(x)/(f(x)＋2)，证明：g(x)＋g(1－x)＝1； (3) 若函数y1＝|f(x)＋m|与y2＝|f(－x)＋m|在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m的取值范围． 参考答案与解析 知识整合　体系重构 激活思维 1．D 【解析】对于A，a4/3a3/4＝a4/3＋3/4＝a25/12；对于B，a÷a2/3＝a1－2/3＝a1/3；对于C，a2/3a－2/3＝a0＝1；对于D，(a1/4)4＝a． 2．D 【解析】b＝2－0.4＜20＝1，c＝90.4＝30.8＞30.7＝a＞30＝1，所以b＜a＜c． 3．B 【解析】因为x1/2＋x－1/2＝5，所以(x1/2＋x－1/2)2＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23． 4．C 【解析】对于A，y＝41/(3－x)的值域是(0，1)∪(1，＋∞)；对于B，y＝√((1/4)3x－1)的值域是[0，＋∞)；对于C，y＝(1/2)1－2x的值域是(0，＋∞)；对于D，y＝√(1－3x)的值域是[0，1)． 5．(－2 026，2 027) 【解析】令x＋2 026＝0，得x＝－2 026，此时y＝a0＋2 026＝1＋2 026＝2 027，故函数图象恒过定点(－2 026，2 027)． 聚焦知识 1．(1) 根式　(2) a(a≥0)；－a(a＜0) 2．(1) am/n＝n√(am)；a－m/n＝1/(n√(am))；没有意义 (2) aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr 3．值域：(0，＋∞)；过定点(0，1)；a＞1时，x＞0则y＞1、x＜0则0＜y＜1，是增函数；0＜a＜1时，x＜0则y＞1、x＞0则0＜y＜1，是减函数 题型突破　思维拓展 目标1　指数式的求值与化简 例1　(1) B 【解析】原式＝√2＋1－1＋|√2－π|－(2/3)2＋(2/3)2＝π． (2) 4√3/7 【解答】因为x－x－1＝2√3(x＞0)，所以(x－x－1)2＝12，即x2＋x－2－2＝12，所以x2＋x－2＝14，所以(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝16，故x＋x－1＝4，所以 (x2－x－2)/(x2＋x－2)＝((x＋x－1)(x－x－1))/(x2＋x－2)＝(4×2√3)/14＝4√3/7． 变式1　(1) 14 【解析】因为ex/2－e－x/2＝2，所以两边同时3次方得(ex/2－e－x/2)3＝8，化简得e3x/2－e－3x/2－3(ex/2－e－x/2)＝8，又因为ex/2－e－x/2＝2，所以e3x/2－e－3x/2＝8＋6＝14． (2) 64 【解析】根据题意，得{100＝ke0，80＝ke5r，解得{k＝100，er＝5√(4/5)，所以y＝100(5√(4/5))x，所以当x＝10时，y＝100×(5√(4/5))10＝64．故在10 ℃的冰箱中的保鲜时间约是64 h． 目标2　指数函数的图象及应用 例2　(1) AD 【解析】因为函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a＞1．当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0． (2) D 【解析】画出f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．对于A，当a＜0，b＜0，c＜0时，f(x)单调递减，得不到f(a)＞f(c)＞f(b)，故A错误；对于B，如图，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则b可能小于零，也可能大于零，故B错误；对于C，如图，当－a＞c＞0时，2－a＞2c，故C错误；对于D，由图象可知，a＜0，c＞0，所以0＜2a＜1，2c＞1，又f(a)＞f(c)，所以1－2a＞2c－1，所以1＜2a＋2c＜2，故D正确． 变式2　C 【解析】作出f(x)的图象如图所示，因为a＜b＜c且f(a)＝f(b)＝f(c)，由图象可得a∈(－∞，0)，b∈(0，1)，c∈(1，2)．因为f(a)＝f(b)，所以1－3a＝3b－1，即3a＋3b＝2．因为c∈(1，2)，所以3c∈(3，9)，则3a＋3b＋3c＝2＋3c∈(5，11)． 目标3　指数函数的性质及应用 视角1　单调性与最值 例3-1　(1) D 【解析】函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝(x－a/2)2－a2/4在(0，1)上单调递减，因此a/2≥1，解得a≥2，即a的取值范围是[2，＋∞)． (2) [1/81，＋∞) 【解析】易知二次函数y＝－x2＋4x的图象开口向下，当x＝2时，取得最大值4．又函数y＝(1/3)t是减函数，所以f(x)＝(1/3)－x²＋4x的值域为[1/81，＋∞)． (3) ACD 【解析】设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈[1/3，3]．又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在[1/3，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；又f(－1)＝10/9，f(1)＝－6，因此f(x)的最小值是－6，故D正确． 视角2　比大小与解不等式 例3-2　(1) C 【解析】a＝(3/2)－0.3＝(2/3)0.3∈(0，1)，c＝(2/3)1/3∈(0，1)且(2/3)0.3＞(2/3)1/3，b＝1.10.7＞1，所以c＜a＜b． (2) A 【解析】当x＞0时，f(x)＝1－ex，－x＜0，f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝e－x－1，－x＞0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数．易知f(x)为R上的减函数，则f(2x)＋f(x－3)＞0⇔f(2x)＞－f(x－3)＝f(3－x)⇒2x＜3－x⇒x＜1，所以原不等式的解集为(－∞，1)． 视角3　综合应用 例3-3　(1) f(x)＝(3－3x＋1)/(3x＋1) 【解答】因为f(x)＝(b－3x)/(3x－1＋t)是定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝0，即b＝1．又由f(－1)＝－f(1)，可得t＝1/3，所以f(x)＝(1－3x)/(3x－1＋1/3)＝(3－3x＋1)/(3x＋1)，而此时f(－x)＝(3－3－x＋1)/(3－x＋1)＝(3x(3－3－x＋1))/(3x(3－x＋1))＝(3x＋1－3)/(3x＋1)＝－f(x)，所以b＝1，t＝1/3满足题意，f(x)＝(3－3x＋1)/(3x＋1)． (2) (0，1/2] 【解答】令g(x)＝f(x)－x2＋2x＋5/2＝6/(3x＋1)－(x－1)2＋1/2．因为y＝3x＋1＞0且单调递增，所以y＝6/(3x＋1)在[1，＋∞)上单调递减．因为y＝－(x－1)2＋1/2在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减且g(x)max＝g(1)＝2．令h(m)＝am＋1(－2≤m≤1)，对任意的x∈[1，＋∞)，存在m∈[－2，1]，使得f(x)－x2＋2x＋5/2≤am＋1成立，等价于g(x)max≤h(m)max，即2≤h(m)max．因为0＜a＜1，所以h(m)＝am＋1在[－2，1]上单调递减，所以h(m)max＝h(－2)＝1/a，故1/a≥2，解得0＜a≤1/2．综上所述，实数a的取值范围为(0，1/2]． 随堂内化 1．A 【解析】由(8/2√5)3＋√5＝(23/2√5)3＋√5＝2(3－√5)(3＋√5)＝24＝16． 2．B 【解析】由2x²＋1≤(1/4)x－2可得2x²＋1≤2－2(x－2)，因为y＝2x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以2－3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是[1/8，2]． 3．D 【解析】因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，A错误；由函数f(x)的图象过原点，有f(0)＝0，即a＋b＝0，所以f(x)＝a(2－|x|－1)．由于－1＜2－|x|－1≤0，f(x)的图象无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，故a＜0，且0≤a(2－|x|－1)＜－a，故a＝－2，B，C错误；由上面的分析可得函数f(x)＝－2·2－|x|＋2＝{－21－x＋2，x≥0；－21＋x＋2，x＜0，显然f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)，故D正确． 4．2 【解析】因为a＞0，且函数f(x)＝(10x＋a)/(10x－a)为奇函数，所以f(－x)＝(10－x＋a)/(10－x－a)＝(10x(10－x＋a))/(10x(10－x－a))＝(1＋a·10x)/(1－a·10x)＝－f(x)＝－(10x＋a)/(10x－a)，整理可得(a2－1)10x＝0，则a2－1＝0．又a＞0，解得a＝1，所以f(x)＝(10x＋1)/(10x－1)，故f(lg 3)＝(10lg 3＋1)/(10lg 3－1)＝(3＋1)/(3－1)＝2． 配套精练 一、单项选择题 1．D 【解析】方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a＜b．由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c＞b．综上，c＞b＞a．方法二：因为a/b＝0.30.1＜1，且b/c＝(3/4)0.5＜1，又a，b，c都为正数，所以c＞b＞a． 2．D 【解析】函数y＝3x在R上单调递增，而函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，所以y＝|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，所以a－2×2≥0，即a≥4． 3．A 【解析】因为f(x)＝2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，所以f(0)＝0，即m＝－1(经检验满足要求)，此时f(x)＝2x－2－x在R上单调递增，所以f(1)＜f(2)．又f(1)＝3/2，f(2)＝15/4，故f(2)≠2f(1)，且f(2)≠3/2＋f(1)． 4．D 【解析】当t＝0时，P＝P0·e－k·0＝P0；当t＝5时，(P0·e－5k)/P0＝0.9，即e－5k＝0.9；当t＝15时，(P0·e－15k)/P0＝e－15k＝(e－5k)3＝0.93＝0.729＝72.9%． 5．D 【解析】当x≤1时，f(x)＝ex－1＋x单调递增，故f(x)max＝e1－1＋1＝2；当x＞1时，由对勾函数得f(x)＝x＋1/x在(1，＋∞)上单调递增，且f(x)＞f(1)＝2．综上，f(x)＝{ex－1＋x，x≤1；x＋1/x，x＞1单调递增．因为f(1－x)＞f(2x)，所以1－x＞2x，即2x＋x－1＜0．设h(x)＝2x＋x－1，可知h(x)单调递增，且h(0)＝0，故x＜0． 二、多项选择题 6．ABC 【解析】对于A，B，当λ＝1时，f(x)＝ex/(1＋e2x)，其定义域为R，f(－x)＝e－x/(1＋e－2x)＝ex/(1＋e2x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．又f(x)＝ex/(1＋e2x)＝1/(ex＋e－x)，当x∈(0，1)时，令t＝ex∈(1，e)，因为y＝t＋1/t在t∈(1，e)上单调递增，t＝ex在x∈(0，1)上单调递增，故y＝ex＋e－x在(0，1)上单调递增，故f(x)＝1/(ex＋e－x)在(0，1)上单调递减，故A，B错误．对于C，D，当λ＝－1时，f(x)＝ex/(1－e2x)，x≠0，f(－x)＝e－x/(1－e－2x)＝ex/(e2x－1)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ex/(1－e2x)＝1/(e－x－ex)，当x∈(0，1)时，y＝e－x，y＝－ex均为减函数，故y＝e－x－ex为(0，1)上的减函数，故f(x)＝1/(e－x－ex)为(0，1)上的增函数，故C错误，D正确． 7．ACD 【解析】由题意作出f(x)的图象如图(1)所示．对于A，当x＝0时，f(x)min＝0，无最大值，故A正确；对于B，函数y＝f(x)的图象与直线y＝1只有一个交点，故B错误；对于C，由a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)可知，a，b，c在图象中的位置如图(1)所示，f(a)＜1，且a＜0，f(c)＜1，且c＞0，则0＜c＜1，则0＜f(c)＜f(a)＜1，所以2c－1＜1－2a，所以2a＋2c＜2，故C正确；对于D，由图(2)可知f(a)＜1，f(b)＜1，且a＜0，b＞0，则f(a)＝f(b)，即|2a－1|＝|2b－1|，则1－2a＝2b－1，2a＋2b＝2，所以2b＝2－2a，所以22a＋2b＝22a－2a＋2＝(2a－1/2)2＋7/4，因为a＜0，所以0＜2a＜1，所以22a＋2b＝22a－2a＋2＝(2a－1/2)2＋7/4∈[7/4，2)，故D正确． 图(1) 图(2) 8．ABD 【解析】当x＜0时，函数f(x)＝2x单调递增，值域为(0，1)．当0≤x≤1时，函数f(x)＝1－x单调递减，值域为[0，1]；当x≥1时，函数f(x)＝x－1单调递增，值域为[0，＋∞)．令f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝t，x1＜x2＜x3，因此函数y＝f(x)的图象与直线y＝t有3个交点，显然0＜t＜1，作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝t如图所示，观察图象知x1＜0＜x2＜1＜x3，B正确；由1－x2＝x3－1，得x2＋x3＝2，A正确；当x1＝－2时，t＝1/4，由1－x2＝1/4＝x3－1，得x2＝3/4，x3＝5/4，此时|x1|最大，C错误；显然x2∈(0，1)，则x2f(x1)＝x2f(x2)＝x2(1－x2)＝－(x2－1/2)2＋1/4∈(0，1/4]，D正确． 三、填空题 9．a 【解析】原式＝(a4/3－8a1/3b)/(4b2/3＋2a1/3b1/3＋a2/3)÷(1－2b1/3a－1/3)×a1/3＝(a4/3－8a1/3b)/(4b2/3＋2a1/3b1/3＋a2/3)×1/(1－2b1/3a－1/3)×a1/3＝(a1/3(a－8b))/((a1/3)2＋a1/3·2b1/3＋(2b1/3)2)×a1/3/(a1/3－2b1/3)×a1/3＝a(a－8b)/((a1/3)3－(2b1/3)3)＝a(a－8b)/(a－8b)＝a． 10．1 【解析】令x＝0，可得f(0)＝(m－1＋1)/1＝0，所以m＝0，所以f(x)＝(9nx－1)/3x＝3(2n－1)x－3－x．又f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－1)＝－f(1)，则31－2n－3＝－32n－1＋1/3，即31－2n＋32n－1＝3＋1/3．因为n＞0，所以2n－1＝1，解得n＝1，经验证f(x)＝(9x－1)/3x＝3x－3－x满足题设，所以m＋n＝1． 11．(0，＋∞) 【解析】方程f(x)＝(1－a)·2x＋3有解，即a·4x－3·2x－1＝(1－a)·2x＋3有解，即a·(4x＋2x)＝4·2x＋4有解，所以a＝(4(2x＋1))/(4x＋2x)＝(4(2x＋1))/(2x(2x＋1))＝4/2x有解．令g(x)＝4/2x＝(1/2)x－2，则g(x)∈(0，＋∞)，所以a∈(0，＋∞)． 四、解答题 12．(1) 奇函数 【解答】函数f(x)为奇函数．证明如下：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(2－x－1)/(2－x＋1)＝(1/2x－1)/(1/2x＋1)＝(1－2x)/(1＋2x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (2) 是中心对称图形，对称中心为(－1，－1) 【解答】由3x＋1－1≠0，得x≠－1，所以函数g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，明显定义域仅关于点(－1，0)对称，故若函数g(x)＝2/(3x＋1－1)的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为－1，设其对称中心为点(－1，n)，则由题意可知有∀x∈D，g(－2－x)＋g(x)＝2n．令x＝－2，可得2n＝g(0)＋g(－2)＝1－3＝－2，所以n＝－1，所以若函数g(x)为中心对称图形，其对称中心必为点(－1，－1)．下面论证函数g(x)＝2/(3x＋1－1)的图象关于点(－1，－1)成中心对称图形，即只需证明∀x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，g(－2－x)＋g(x)＝－2．因为g(－2－x)＋g(x)＝2/(3－1－x－1)＋2/(3x＋1－1)＝2/(1/3x＋1－1)＋2/(3x＋1－1)＝(2×3x＋1)/(1－3x＋1)＋2/(3x＋1－1)＝(2－2×3x＋1)/(3x＋1－1)＝－2×(3x＋1－1)/(3x＋1－1)＝－2，即得证． 13．(1) a＝4 【解答】函数y＝ax－1＋2的图象向下平移2个单位长度后得到y＝ax－1的图象，再向左平移1个单位长度得到y＝ax的图象，所以f(x)＝ax．又f(2)＝a2＝16，所以a＝4(负值舍去)． (2) 证明 【解答】由(1)可知g(x)＝4x/(4x＋2)，所以g(x)＋g(1－x)＝4x/(4x＋2)＋41－x/(41－x＋2)＝4x/(4x＋2)＋(4/4x)/(4/4x＋2)＝4x/(4x＋2)＋4/(4＋2×4x)＝(4x＋2)/(4x＋2)＝1． (3) [－4，－1/4] 【解答】由(1)可知y1＝|4x＋m|，y2＝|4－x＋m|，若两函数在区间[1，2]上都是增函数，则{4x＋m≥0，(1/4)x＋m≤0在区间[1，2]上恒成立，可得{4＋m≥0，1/4＋m≤0，解得－4≤m≤－1/4．若两函数在区间[1，2]上都是减函数，则{4x＋m≤0，(1/4)x＋m≥0在区间[1，2]上恒成立，可得{4＋m≤0，1/4＋m≥0，该不等式组无解．综上，实数m的取值范围是[－4，－1/4]． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $