单元过关(四) 幂函数、指数函数与对数函数-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（A版）

2026一2027学年度单元过关（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 3 5 6 8 答案 1.已知函数y=loga(3x一8)十27(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若P在幂函数f(x)的图 象上，则f八2》 A.8 B.4 、2 0 2.溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为pH=一lgH+],其中[H+]表示溶液 中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若某纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-?摩尔/升， 则该纯净水的pH值为 () A.6 B.7 C.8 D.9 3.已知幂函数f(x)=(t2一t一1)x2-3的图象与y轴无交点，则实数t的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.已知函数y=f(x),x∈R,且f(0)=3,0) f(1) f(0.5n) f（0.5)2,F0.5)二2，…’f(0.5(n-12)=2 n∈N*,则y=f(x)的一个解析式可以为 () A.3×4 B.3x+1 C.3×5x D.3×62 单元过关（四）数学第1页（共8页） 冷静是智慧的盾牌，专注是破题的刹刀 5.已知幂函数f(x)=x,且0<a<b<1,则 班级 A.fa)<fb)<f)<f(） 姓名 B.)<)<f<ra) 得分 c.f(a2)<fb2)<f)<f() D.f)<fa)<f()<f) 6.倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为 社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引 进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度P。= 1mg/L,首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度P1=0.94mg/L,第n次净 化后所排放的废水中含有的污染物的浓度Pn=P。一(P。一P1)×3.5m+t(t∈R,n∈N*; 单位：mg/L),依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过 0.04mg/L,为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次 数至少为（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1） () A.4次 B.5次 C.6次 D.7次 ?.已知函数f)=1og:x2,则关于x的不等式+1)+f-x-1》>0的解集为() A.(-1,0)U(1,+∞) B.(-2,-1)U(-1,0)U(1,+∞) C.(-2,-1)U(-1,0)U(0,+∞) D.(-1,0)U(0,+∞) 8.已知指数函数a=5r,6=(兮）'6=25，若xy,之满足1ogx=-10gy=logs,且x, y,之均大于0，则a,b,c的大小关系为 () A.a>b且c>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 单元过关（四）数学第2页（共8页） A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.已知幂函数f(x)=xm(m,n∈N",m,n互质)，则 A.当m,n是奇数时，f(x)是奇函数 B.当m是奇数，n是偶数时，f(x)是偶函数 C.当m是偶数，n是奇数时，f(x)是偶函数 D.当0<”<1时，f(x)在(0，十∞)上是增函数 m 10.已知函数f(x)=a 1 十b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线 2 相交，则下列结论正确的是 A.a=2 B.f(-2)>f(1) C若0C,则f(g）>2fz)+f,] D.方程fP(x)-2fx)=0有3个实数根 11.在生产生活中，人们常用十进制计数，而本福特定律说明在b进位制中，以数字n 名一1)起头的数出现的概率为©g,,此定律可用于检查数据造假等问题 义10-本福特函数B(x)=1g2+1, ，则 A.B(2)表示十进制中以数字2起头的数出现的概率 B.曲线y=B(x)关于点(- )对标 CB6m<a=12,0） D.B(2)>2B(4) 单元过关（四）数学第3页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(c)=3“为偶函数，则实数a= 13.若2m=5”=t,且3m十n=mn,则t= 2 14.已知函数f(x)满足：①f(1)=5;②Hx,y∈R,2fy)-2'f(x)≥(4-4)f(x)· f(y),则f(x)的最大值为· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知幂函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1在(0，+∞)上是减函数，m∈R. (1)求f(x)的解析式； (2)若(2一a)m>(2a一1)，求实数a的取值范围. 单元过关（四）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知函数fx）)=2-8·21-6. (1)当x∈[0,4时，求f(x)的最大值和最小值； (2)若3x∈[0,4幻，使f(x)+12-a·2x≥0成立，求实数a的取值范围. 单元过关（四）数学第5页（共8页） 17.(15分)已知函数f(x)=log.(1十x),g(x)=log。(1-x),其中常数a>0且a≠1. (1)若a=2,求不等式2f(x)>g(x)十1的解集； (2)若0<x<1,试比较A=|f(x)|与B=g(x)|的大小. 单元过关（四）数学第6页（共8页） A 18.(17分)已知函数fc)=x(e-1 (m≠0)是偶函数. (1)求实数m的值. (2)类比函数周期的概念，定义函数周期点：设函数y=g(x)的定义域为R,对于非零 实数a,令y1=g(a),ym+1=g(ym)(n∈N*),若存在最小正整数T,使得yr=a, 则称a是g(x)的周期为T的周期点.判断f(x)是否存在周期点，并说明理由. (3)当t∈[0,4幻时，f(k)一f(2t一t2)>0恒成立，求实数的取值范围. A 单元过关（四）数学第7页（共8页） 19.(17分)已知函数fx)=3十a 3x+1 是奇函数. (1)求实数a的值； (2)若f(x十1)>f(3-2x),求x的取值范围； (3)设函数g)=log专log号+m,若x∈3,27刃，3x∈0,1]，使得ga1)= f(x2)成立，求实数m的取值范围. 单元过关（四）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 所以f(x。)=f(2-x6)=1-(2-x0)=x。一1， 所以f(x)=x-1,x∈(1,2)， (9分) 所以当s∈(0,1)时，1-s∈(0,1)，1+s∈(1,2)， 32-10 则f(1-s)=1-(1-)=s, f(1+s)=(1+s)-1=5, 当c≥1时，若f(-2)=f(2)=f(0)=f(-3)= 则f(1-s)=f(1十s), f(3)=c,最多5个零点； 而1十5-(1-s)=2s,(3-5)-(1-5)=2, 则1-s∈M2,三M2,则f(1-s)=f(3-s), (10分) 3-2-10 所以当x∈(2,3)时，f(x)=f(x-2)=1-(x-2) =3-x,又f(x)为偶函数，画出f(x)的图象如图 当c<0时，若f(-2)-f(2)=f(0)=f(-3)= 所示： f(3)=c,最多5个零点； (15分) 1=C 其中f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),f(0),但 当0<c<1时，若f(-2)=f(2)=f(0)=c,此 其对应的y值均未知. 时有3个零点， 首先说明f(-3)=n￠(0,1)， 又f(-3)=f(3)年(0,1)， 若f(-3)=n∈(0,1)，则-3+n∈(-3，-2)， 则最多在(-3，-2)，(-2，一1)，(-1,0)，(0， 易知此时f(x)=x十3，x∈(-3，一2)， 1),(1,2),(2,3)之间取得6个零点， 则f(-3十n)=n,所以f(-3)∈M.三M2, 以及在x=一2,0,2处的零点，故至多不超过9 而当x∈[-1,0)时，f(x)=x+1, 个零点. 所以f(-3)=f(-1)=0,与f(-3)=n矛盾， 所以f(-3)年(0,1)，即f(-3)=f(3)年 (0,1), (12分) 令y=f(x)-c=0,则y=f(x)=c, -3-2-10123 当c=0时，若f(-3)=f(3)=f(-2)=f(2) 综上，y=f(x)-c在[-3,3]上至多有9个 =f(0)=0,最多7个零点， 零点 (17分) 2026一2027学年度单元过关（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 一、选择题 3.B【解析】因为幂函数f(x)=(t2-t一1)x24-3的 1.C【解析】因为函数y=log(3x-8)十27的图 t2-t-1=1, 图象与y轴无交点，则 解得t=一1. 象恒过定点P,令3x一8=1，即当x=3时，y= 2t-3≤0， 27,所以点P的坐标为(3,27)，又点P在幂函数 4.A【解析】由已知得， f(x)的图象上，设f(x)=x,则3=27，a=3,所 f(1)_f(0.5).f(1) ,f(2)f(0.5) f0=f0)·f0.5=4,f0)=f0) 以f)=,所以了分）=（合》'=君 f(1)f(1.5)f(2) f(0.5)f(1) f1.5)-4, 2.B【解析】依题当[H+门=10-7时，pH=-lg10- f(3)f(0.5) f(1)f(1.5)。f(2) =7,所以该纯净水的pH值为7. f(0)f0)∴f(0.5)·f(1)·f(1.5)· ·11· A 2027 单元过关 f(2.5),f(3) f(2)f(2.5) =4,所以fx) f(0) =4, 对于B,当m是奇数，n是偶数时，f(x)="”, 此时f(x)的定义域为R,且f(-x)=/(一x) 又f(0)=3,所以f(x)=3×4. 5.C【解析】因为函数f(x)=xz在(0，十∞)上单 =x=f(x),所以f(x)是偶函数，故B正确； 调递增，且由0<a<b<1,可得0<a2<b2<1< 对于C,当m是偶数，n是奇数时，f(x)=心， 此时f(x)的定义域为[0，十∞)，不关于原点对称， 所以f(x)不具有奇偶性，故C错误； 所以ra)f)<f()f(})】 对于D,当0<”<1时，由幂函数的性质可知， m 6.D【解析】因为P。=1mg/L,P1=0.94mg/L,所 f(x)在(0，十∞)上是增函数，故D正确. 以0.94=1-(1-0.94)×3.5+‘，解得t=-0.5,即 10.BCD【解折】由高数f)=a(份) 十b的 Pn=1一0.06X3.5m-.5(n∈N*),设第n次净化后企 业所排放的废水中含有的污染物的浓度不超 过0.04mg/L,则1一0.06×35m-.5≤0.04，即 图象过原点，可知f0)=a(分)》 +b=a+b=0, 30-a5≥16，解得n≥81og2+1=8ln2 67 3+1 ,图 由画数fa)-a(日) 十b的图象无限接近直 为n∈N*,所以废水净化的次数至少为7次. 线y=2但又不与该直线相交，可知b=2, 7.C【解析】由于函数f(x)=log2x2=2log2|x|, 所以a=一2，故A错误； 所以f(x+1)=21og2|x+1, 由函数fa)=-2(分) x f(-x-1)=2log2|-x-1|=21og2|x+1|, 十2，可知f(-x)= f(x+1)+f(-x-1)=41og:x+1|, 令g()=fx+1)+f(-x-1=41oglx+1 22》+2=-2(2) +2=f(x), 定义域为x≠0且x≠-1，要使g(x)>0,有如下两 所以f(x)= 2 x 十2是偶函数， 种情况： 当x≥0时，由指数函数的性质可知f(x)= ①/lo8x+1>0, 解得x>0; x>0, 2)+2=-2分)》+2=2-（分）是 增函数 ②o82z十10，解得-2<c<0,且x≠-1 所以有f(-2)=f(2)>f(1),故B正确； 综上，不等式的解集为(-2，-1)U(-1,0)U 当0<x1<x2时， (0,+∞). 8.A【解析】由于logx=一logy,利用对数的性 有r作）-号[f+f门 质得-logy=log5y,即log5x=logy,则x=y, 1og5之 利用换底公式得1ogx=l1ogs之=10g25 = -学-4-》门 e则= -(产-(2+≥ 综上，x=y,之=x2,且x>0,代入a,b,c,得a= 5,6=('=(传) =5,c=25=2522 侵+2但”- 由于x1≠x2,所以上式等号不成立， =(52)2=52x2,因为x>0,所以-x<0,2x2>0, 又函数y=5在R上单调递增，所以a>b,c>b, 即有f(色）>2[f)+fa],故c正确： 因为x,2x2的大小关系不能确定，所以a,c的大 小关系不确定 由方程fP(x)- fc)=0,可得1x)=0或 二、选择题 9.ABD【解析】对于A,当m,n是奇数时，f(x)= ) ",此时f(x)的定义域为R,且f(一x)= 而当x≥0时，由指数函数的性质可知f(x)=2 W/(一x)”=-=-f(x),所以f(x)是奇函 数，故A正确； 一（兮》单调运地。 A ·12· ·数学· 参考答案及解析 所以f)≥f0=2-(分)厂'=0， 所以9r(9-x-a)=9x-a,得1-a·9r=9x a,得(a+1)(9*-1)=0对Hx∈R恒成立. 则根据f(x)是偶函数，可知∫(x)=0在R上只 所以a十1=0，解得a=-1.经检验，a=一1满 有唯一解， 足要求 当x≥0时，曲f)=2得fx)=2-(2) 13.1或250【解析】由2m=5”=t,得m=log2t, n=logst,当m=n=0时，显然符合3m十n= 1 ,解得x=2-l0g23, mn,此时t=1; 当m≠0，n≠0时，3m十n=m,即3+1=1，由 再根据f)是偶画数，可知fa)=号有两个解， n m m=1ogt,m=1ogt,得1=1og,2,】=1og.5,代 m n 所以方程f产()2f)=0有3个实银米，故D 入3+1=1中，得310g,5+1og,2=1,即10g,5 正确. n m 11.ABC【解析】对于A,根据本福特定律可知B(2)表 +log2=1,即log.(53×2)=1,故t=53×2= 示十进制中以数字2起头的数出现的概率，故A 250. 正确； 14.2【解折】由于Yx,yEk,2时g)-2)≥ 对于B,由B(x)=g中，得>0，解得 (4-4)f(x)f(y)①， x 令x,y互换，可得2f(x)-2f(y)≥(4-4)· x>0或x<-1,所以B(x)的定义域关于，点 f(x)f(y),可化为2f(y)-2f(x)≤(4-4)· (-20)对称，B(+)+B(日-) f(x)f(y)②， 由①②可得2f(y)-2f(x)=(4-4)f(x)· 1 1 x十2 2-xx+ 1x-2 1 f(y)③， 1g1 lg1 -=1g1 +1g 令③中y=1,可得2f(1)-2f(x)=(4-4)· 1 x一2 2-x x一2 x+2 fa)f1,又f)-号，则号×g-2f6x) ,1 x+2 2 1g1=0,所以曲线y= )(x)X,化简可得fx)三 1 2 x十2 1 1 1 1 Be)关于点(-0)对然故B正 1 2,当且仅当x=0时等 2+222×2 对于CBx)=lg生-eh+》,◆=1+ 号成立，所以f(x)的最大值为2 四、解答题 是，其在(0，十6©)上单调递减，而函数y=gw在 15.解：(1)由函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1为幂 (0,十∞)上单调递增，所以B(x)在(0，十∞)上 函数，得m2+3m-9=1, 解得m=2或m=-5, (2分) 单调递减，所以B(n)≤B(1)=lg2<lg√10= 又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则m-1<0,即 2n=1,2,…,9),故C正确； m<1, 5 25 所以m=-5,f(c)=x6二 (5分) 对于D,2B(4)=21g4=1g16,B(②)=1g2 (2)由(1)得m=-5,所以不等式为(2-a)言 管树为祭器所以g得猎即u@ 24 >(2a-1)言， 2B(4),故D错误. 令g(x)=x,则g(x)的定义域为(0，十∞)， 三、填空题 且g(x)在(0，十∞)上单调递减， 12.-1【解析】由题设，f(-x)=9一0- 2-a>0, 3 所以2a-1>0, 解得1<a<2, (12分) 9*-a 2-a<2a-1, 3x(9-x一a)=f(x)= 3x, 所以实数a的取值范围是(1,2). (13分) ·13· A 2027 单元过关 16.解：(1)令2x=t∈[1,16]， 18.解：(1)由已知得f(-x)=f(x), 由f(z)=2-；·2+1-6,可得g)=2 即t(e-1)-x(es-1） e 56-(-}°， 化简得(emx-1)(ex一e2x)=0, 因为Vx∈R上式恒成立，所以m=2. (4分) 放当：=时，g0取得报小值，最小值为 49 (2)由(1)可知，f(x)=x(e2-e), 4 则y1=f(a)=a(e-ea), 又g(1)=-10,g(16)=170, 假设f(x)存在周期为1的周期点a, 故fx)的最大值为170，最小值为-49. (5分) 则y1=a,故e-ea=1,化简得e2a-e2-1=0, 4 (2)22-5 ·2z+1-6+12-a·2:≥0，即22x 因为e>0,所以e=1+5 2,即a=ln1+5 2’ 2 (8分) (a+5)·2+6≥0， 令2x=t∈[1,16]， 故fx)存在周期为1的周期点a=1n1士5 2· 故t2-(a+5)t+6≥0在t∈1,16]上有解， (10分) ≤+6=+6 a+5<t ，风圈a+5≤+》 (3)当x∈[0，十∞)时，y=x,y=e2-ex均为 增函数，且x≥0，e2-e≥0， (10分) 故f(x)=x(ex-er)在[0，十∞)上单调递增. 其中y=1+在1w6]上单润递减，在 由于f(x)是偶函数，所以f(x)在（一∞，0）上单 调递减. (12分) (√6,16]上单调递增， 当t∈[0,4幻时，f(k)>f(2t-t2)恒成立， 又当t=1时，y=1+6=7,当t=16时，y=16+ 即当t∈[0,4]时，f(k|)>f(|2t-t2|)恒 6131 成立， (14分) 16-8, 故k|>|2t-t2|mx,t∈0,4幻. 故a十5<，解得a≤器 91 (14分) 令y=|2t-t2|,t∈[0,4]， 作出函数的图象如图所示，由图象可知：当t=4 故实数a的取值范围为（一∞，8 91] (15分) 时，函数取得最大值8，故|>8， (16分) 17.解：(1)当a=2时，f(x)=log2(1十x),g(x)= log2(1-x), 1-x>0解得-1<x<1, 易知 (2分) 1+x>0, 所以2f(x)=log2(1十x)2,g(x)+1=1og22(1-x), 则不等式等价于1og2(1十x)2>log22(1一x),可得 所以的取值范围是（一∞，一8）U(8,十∞). (1+x)2>2(1-x), (17分) 即x2+4x-1>0,解得x>√5-2或x<-√5-2， 3x+1 结合定义域x∈(-1,1)，得不等式的解集为 19.解：1f(x)=3+a,其中3r+a≠0， （W5-2,1). (5分) 由f(x)是奇函数，得f(x)十f(-x)=0, (2)易知当0<x<1时，1十x>1>1-x>0, 即3+1+3+1 3*+a 3*+a 0, 若a>1,则log。(1+x)>0,loga(1-x)<0, 整理得(a十1)(3x+3-x十2)=0，解得a=-1, 所以A=log。(1+x),B=-log。(1-x),(8分) (3分) 则A-B=loga(1-x2)<1oga1=0,即A<B; (10分) 比时fe)-多 若0<a<1,则1og。(1十x)<0,log。(1-x)>0, 所以A=-log。(1+x),B=log.(1-x),(12分) 满足f)十f)-+-o, A-B=-log.(1-x2)=log (1-z2)<log 1 且f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，关于 =0,即A<B. 原点对称，即f(x)为奇函数，符合题意，所以a 综上所述，A<B. (15分) =-1. (5分) A 。14· ·数学· 参考答案及解析 2 (2)由(1)知f(x)= }1十g2其定义域 3x-1 (3)由(2)知，f(x)=1+3-1, 为(-∞，0)U(0,+∞)， 显然f(x)在（一∞，0），(0，十∞)上均单调递减， 当01时，08-121+322， 所以f(x)在(0,1]上的值域为[2，+∞) 2 且当x∈(-∞，0)时，3∈0,1)，3=-1∈ (12分) -0,-2),所以f(x)=1+3=1 2 又gx)=log:专logs号+m =(1og3x-1)(1og3x-2)+m (-∞，-1)： =(1og3x)2-31og3x十2+m,x∈[3,27]， 同理，当x∈(0，十o∞)时，f(x)∈(1，+∞). 令logx=t,t∈[1,3]， (7分) 若∫(x+1)>f(3-2x),可能满足以下几种 则y=-3+2+m=-》°-是+m, 情况： x+1>0, 所以当：-受计ym=一+： ①3-2x>0, 解得-1<x<3 当t=3时，ymax=2十m, x+1<3-2x, 所以g(x)在[3,2刀上的值域 [号+m2+, @k+1>0, 3 (15分) 3-2x<0, 解得x>2 因为Hx1∈[3,27]，3x2∈(0,1]，使得g(x1) x+1<0, =f(x2)成立， ③3-2x<0,无解. 所以[+m,2+m]=B,to) x+1<3-2x, 9 综上，x的取值范围是(-1，)U(:,+∞）片】 可得- 是十m≥2，解得m≥}， (16分) (10分) 所以实数m的取值范围 [+ (17分) 2026一2027学年度单元过关（五） 数学·一元函数导数及其应用 一、选择题 4.D【解析】由f(x)=-f'(-1)x3十2x2-2,得 1.D【解析】因为单位时间内注水的体积不变，结 f'(x)=-3f'(-1)x2+4x,所以f'(-1)= 合容器的形状，在单位时间内，高度变化率先由快 -3f'(-1)-4,解得f'(-1)=-1,所以f(x)= 变慢，后由慢变快 x3+2x2-2,则f(2)=23+2×2-2-14. 2.D【解析】由导数的定义， 5.C【解析】f(x)=ax2-2x+blnx(ab≠0)， f(2+h)-f(2-h) f'(2)=lim(2+h)-(2-h) 2义域为0，+∞)，则f(c)=2ax-2十名 =12+),f2)- 2ax2-2x+b ,且ab≠0，因为f(x)有唯一极值，点， h 4 3.A【解析】由函数的图象可知，f(1)=1十b十c=0, 所以g(x)=2ax2-2x十b=0有唯一正根. f(2)=8+4b十2c=0,解得b=-3,c=2,所以 若△=4一8ab≤0，则f(x)在定义域内单调，不存 f(x)=x3-3x2+2x,可得f′(x)=3x2-6x十2， 在极值点，舍去； 2 由韦达定理及极值，点的定义得西十x2=2,x12=3, 若△=4-8ab>0,即ab<2,则ga)=2ax2 所以x1十x号-3x1x2=(x1十x2)2-5x1x2=4 2x十b=0必有一正一负两个根，根据韦达定理得 102 33 b<∠0，所以ab<0, ·15· A