抽象函数的性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

抽象函数的性质 一、知识点梳理 （一）抽象函数问题的基本策略 只给出函数满足的等式或不等式、不给出解析式的函数，叫做抽象函数。教材在本章的复习题里给过 这类条件，要求判断函数的奇偶性与单调性，本讲就是把这套解法整理清楚。这类题不能靠猜解析式，只能从题给的式子出发，一步步推出奇偶性与单调性。三条基本策略：定义域优先，一切结论都要在定义域内成立；赋值法，把式子中的变量换成特殊值，逼出 、、 这类关键点的值；目标导向，要证奇偶性就设法造出 与 的关系，要证单调性就设法造出 。 常用赋值有四种：令 ，用来求 ；令 ，用来造出 ；令 或 ，用于乘型等式 ；令 ，用于把乘积化为 。赋值时要在解答里写明「因为对任意 、 都成立，所以可以取特殊值」，这句话是赋值合法的依据，不能省。 三个常见错误：赋值得出结论后不回代检验，例如算出 却又用 去推；忽略定义域，对不在定义域内的值赋值；把 直接当成 。后者虽然满足等式，但题目的其他条件可能排除它，抽象函数题的结论必须由条件推出，不能由模型猜出。 （二）由抽象等式推奇偶性 最常见的一类是 。先令 ，得 ，所以 ；再令 ，得 ，代入 得 ，所以 是奇函数。推导只用了两次赋值，把每一步写在卷面上，就是完整的证明。 若等式多出一项常数，即 ，直接赋值会在常数上卡住。办法是构造新函数 ，则 ，于是 满足前一种形式， 且 为奇函数。再由 的性质回到 ，这种「换一个函数看」的思路在抽象函数里很常用。 乘型等式 （、 都在定义域内）也能定奇偶性。令 得 ；令 得 ，所以 ；再令 得 ，所以 是偶函数。注意这套推导要求定义域关于原点对称且包含 ，若定义域只在 上，就不谈奇偶性。 （三）由抽象等式推单调性 加型等式推单调性，用「作差 + 变形」：设 ，则 。于是问题变成判断 的符号，而 ，正好落在题目给出的符号条件上。这就是为什么题设总要说「当 时 」这类话。 乘型等式推单调性，作差后化为 ：设 ，则 。此时 ，题目给出的条件通常是「当 时 」，两者正好对接。所以看到乘型等式，条件一定是关于 的。 有了单调性，抽象不等式就能去 。三步：先把不等式化成 的形式，再按单调性写成 或 （递增不变向、递减要变向），最后把 、 都限制在定义域内，取交集。第三步最容易漏，尤其是乘型等式推出 时，、 必须同时为正。 （四）抽象函数的最值 抽象函数求最值，靠的是「先证单调、再代端点」：用前面的方法证明函数在给定区间上单调，那么最大值与最小值一定在区间端点处取得，把端点对应的函数值算出来即可。端点值往往要由题给的特殊值加上等式推出，例如已知 ，就用 一路加过去。 求负端点时要用奇偶性：奇函数满足 ，所以只要知道正端点的值，负端点的值就出来了。偶函数则两边相等。这一步的顺序不能颠倒：必须先确定奇偶性，才能用 与 的关系。 常见错误有三个：没证明单调性就直接说最值在端点；算出端点值后忘记比较，递增时最大值在右端点、递减时在左端点，写反就会选错；忽略定义域，把不在定义域内的数当作端点。检查的办法很简单：把端点代回题目给出的等式，看是否自洽。 自查：赋值要写明「对任意成立故可取特殊值」；推奇偶性先求 或 再令 ；推单调性作差后把差化成只含一个 的式子；抽象不等式去 后别忘了定义域。 二、典型例题 例1　加型等式：两次赋值定奇偶与单调 已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，且当 时 ，则 A．是奇函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在 上单调递减 C．是偶函数，且在 上单调递增 D．既不是奇函数也不是偶函数 ①令 x=y=0 求 f(0)　由 得 。 ②令 y=-x 判奇偶　，代入 得 ，所以 是奇函数。 ③作差判单调　设 ，则 。因为 ，所以 ，即 ， 在 上递减。 注：两次赋值加一次作差，就把奇偶性与单调性都定下来了。作差时的关键是把 拆成 ，这样才能用上等式，把差化成单个 。这一步不会拆，整题就卡住。 【答案】B。 令 ，得 ，所以 。 令 ，得 ，所以 ， 是奇函数。 设 ，则 。 因为 ，所以 ，即 ，故 在 上递减。故选 B。 变式1　符号条件反过来，结论跟着变 已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，且当 时 ，则 A．是奇函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在 上单调递减 C．是偶函数，且在 上单调递减 D．既不是奇函数也不是偶函数 ①奇偶性与例题相同　令 得 ，令 得 ，仍是奇函数。 ②作差　设 ，则 。 ③符号条件变了　 时 ，所以 ，函数递增。 注：与例题相比，等式与奇偶性完全相同，只有「当 时」的符号条件由负变正，于是单调性由减变增。这说明抽象函数的单调性只由符号条件决定，奇偶性则由等式的结构决定，两者互不干扰。 【答案】A。 令 得 ；令 得 ，所以 是奇函数。 设 ，则 。 因为 ，所以 ，故 在 上递增。故选 A。 例2　多一项常数：构造新函数或直接赋值 已知 对任意实数 、 都满足 ，且 ，则 A． B． C． D． ①先算 f(2)　令 ，得 。 ②再算 f(3)　令 、，得 。 ③用换元后的函数核对　令 ，则 ，，于是 ，，一致。 注：等式多出常数 时，可以构造 ，把常数吸收进去变成标准形式；也可以像本题这样直接赋两次值。两种做法都对，赋值法更省事，构造法的好处是能把整个函数的性质一次性拿到手。 【答案】C。 令 ，得 。 令 、，得 。 所以 。故选 C。 变式2　常数不同，赋值结果跟着变 已知 对任意实数 、 都满足 ，且 ，则 A． B． C． D． ①令 x=y=1 求 f(2)　。 ②令 x=2、y=1 求 f(3)　。 ③用构造法核对　令 ，则 ，，，一致。 注：每次赋值只推进一格：，每一步都要把常数项加上。常数项漏加是最常见的算错原因，尤其是连加两三次之后。 【答案】D。 令 ，得 。 令 、，得 。 所以 。故选 D。 例3　乘型等式：把积拆成和 已知 对任意正数 、 都满足 ，且 ，则 A． B． C． D． ①把 8 拆成 2 的积　，每次用一次等式就能提一个 出来。 ②两次使用等式　，而 ，所以 。 ③核对　按「每乘一个 就加一次 」，，与上面一致。 注：乘型等式的用法与加型正好相反：加型把和拆成和，乘型把积拆成和。看到 就想到 的三次乘积，看到 就想到把它合并成 ，两个方向都要熟。 【答案】B。 。 。 所以 。故选 B。 变式3　乘型等式：换一个底数再算 已知 对任意正数 、 都满足 ，且 ，则 A． B． C． D． ①把 9 写成 3 的乘积　。 ②用一次等式　。 ③代入已知值　。 注：乘型等式的本质是把乘法翻译成加法，所以 是它的直接推论（ 为正整数）。证明时对 逐次使用等式即可，不必另外记忆。 【答案】D。 。 因为 ，所以 。故选 D。 例4　抽象不等式：合并、去 f、补定义域 已知 是定义在 上的函数，对任意正数 、 都有 ，当 时 ，且 ，则不等式 的解集是 A． B． C． D． ①把两边都化成 f 的形式　左边 ；右边 。两边都成了「一个 」，才能比较。 ②判断单调性后去 f　设 ，则 ，所以 在 上递增。于是 ，解得 。 ③补上定义域　需 且 ，即 ，与 取交集得 。 注：这类题三步走：合并、去 、补定义域。第三步最容易被忽略： 要求 ，这一步不写，答案就会多出一大段。去 时的不等号方向由单调性决定，而单调性必须先证出来。 【答案】A。 ，。 设 ，则 ，所以 在 上递增。 原不等式化为 ，所以 ，即 ，解得 。 又需 且 ，即 ，所以解集为 。故选 A。 变式4　加型等式下的抽象不等式 已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，当 时 ，且 ，则不等式 的解集是 A． B． C． D． ①把右边写成 f 的形式　。 ②判断单调性　设 ，则 ，所以 在 上递增。 ③去 f 并解不等式　 等价于 ，定义域是 ，没有额外限制。 注：加型等式的定义域通常是 ，去 之后不必再补限制；乘型等式的定义域常在 ，去 之后一定要回头检查每个括号里的式子是否为正。这一点是两类题型最大的差别。 【答案】C。 。 设 ，则 ，所以 在 上递增。 等价于 ，解集为 。故选 C。 例5　抽象函数的最值：先证单调，再代端点 已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，当 时 ，且 ，则 在 上的最大值为 A． B． C． D． ①证明单调性并判奇偶　由例题的方法得 、，且 在 上递减。 ②算出端点值　，，所以 ；由奇函数得 。 ③按单调性定最值　递减函数在左端点取最大值，所以最大值为 。 注：递减函数的最大值在左端点，这一点与递增函数相反。本题左端点是负数，要用 转成正端点值的相反数，所以 是正数，比 大。不算负端点就想当然地取 ，是这类题最常见的错误。 【答案】B。 令 得 ；令 得 ，所以 是奇函数。 设 ，则 ，所以 在 上递减。 ，，。 递减函数在 上的最大值为 。故选 B。 变式5　递增时的最值：右端点最大 已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，当 时 ，且 ，则 在 上的最大值为 A． B． C． D． ①判断单调性　由 知 在 上递增。 ②算右端点　。 ③按递增定最值　递增函数的最大值在右端点，为 。 注：与例题对照：本题是递增，最大值在右端点 处。两题的数据只差符号，但最值落在哪一端完全相反，所以「先判单调、再定端点」的顺序不能省。 【答案】A。 设 ，则 ，所以 在 上递增。 ，所以 在 上的最大值为 。故选 A。 三、巩固练习 1．已知 对任意实数 、 都满足 ，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】C。 令 ，得 。 由 得 。故选 C。 2．已知 对任意实数 、 都满足 ，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】D。 令 ，得 。 所以 。故选 D。 3．已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，且当 时 ，则 在 上 A．单调递减 B．单调递增 C．先减后增 D．无法确定单调性 【答案】A。 令 得 ，令 得 。 设 ，则 。 因为 ，所以 ，再由 得 。 所以 ， 在 上递减。故选 A。 4．已知 对任意实数 、 都满足 ，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】B。 令 ，得 。 代入 得 。故选 B。 5．已知 是定义在 上的函数，对任意正数 、 都有 ，当 时 ，且 ，则不等式 的解集是 A． B． C． D． 【答案】C。 令 得 。 设 ，则 ，所以 在 上递增。 即 ，所以 。 结合定义域 ，得解集为 。故选 C。 学科网（北京）股份有限公司 $ 抽象函数的性质 一、知识点梳理 （一）抽象函数问题的基本策略 只给出函数满足的等式或不等式、不给出解析式的函数，叫做抽象函数。教材在本章的复习题里给过 这类条件，要求判断函数的奇偶性与单调性，本讲就是把这套解法整理清楚。这类题不能靠猜解析式，只能从题给的式子出发，一步步推出奇偶性与单调性。三条基本策略：定义域优先，一切结论都要在定义域内成立；赋值法，把式子中的变量换成特殊值，逼出 、、 这类关键点的值；目标导向，要证奇偶性就设法造出 与 的关系，要证单调性就设法造出 。 常用赋值有四种：令 ，用来求 ；令 ，用来造出 ；令 或 ，用于乘型等式 ；令 ，用于把乘积化为 。赋值时要在解答里写明「因为对任意 、 都成立，所以可以取特殊值」，这句话是赋值合法的依据，不能省。 三个常见错误：赋值得出结论后不回代检验，例如算出 却又用 去推；忽略定义域，对不在定义域内的值赋值；把 直接当成 。后者虽然满足等式，但题目的其他条件可能排除它，抽象函数题的结论必须由条件推出，不能由模型猜出。 （二）由抽象等式推奇偶性 最常见的一类是 。先令 ，得 ，所以 ；再令 ，得 ，代入 得 ，所以 是奇函数。推导只用了两次赋值，把每一步写在卷面上，就是完整的证明。 若等式多出一项常数，即 ，直接赋值会在常数上卡住。办法是构造新函数 ，则 ，于是 满足前一种形式， 且 为奇函数。再由 的性质回到 ，这种「换一个函数看」的思路在抽象函数里很常用。 乘型等式 （、 都在定义域内）也能定奇偶性。令 得 ；令 得 ，所以 ；再令 得 ，所以 是偶函数。注意这套推导要求定义域关于原点对称且包含 ，若定义域只在 上，就不谈奇偶性。 （三）由抽象等式推单调性 加型等式推单调性，用「作差 + 变形」：设 ，则 。于是问题变成判断 的符号，而 ，正好落在题目给出的符号条件上。这就是为什么题设总要说「当 时 」这类话。 乘型等式推单调性，作差后化为 ：设 ，则 。此时 ，题目给出的条件通常是「当 时 」，两者正好对接。所以看到乘型等式，条件一定是关于 的。 有了单调性，抽象不等式就能去 。三步：先把不等式化成 的形式，再按单调性写成 或 （递增不变向、递减要变向），最后把 、 都限制在定义域内，取交集。第三步最容易漏，尤其是乘型等式推出 时，、 必须同时为正。 （四）抽象函数的最值 抽象函数求最值，靠的是「先证单调、再代端点」：用前面的方法证明函数在给定区间上单调，那么最大值与最小值一定在区间端点处取得，把端点对应的函数值算出来即可。端点值往往要由题给的特殊值加上等式推出，例如已知 ，就用 一路加过去。 求负端点时要用奇偶性：奇函数满足 ，所以只要知道正端点的值，负端点的值就出来了。偶函数则两边相等。这一步的顺序不能颠倒：必须先确定奇偶性，才能用 与 的关系。 常见错误有三个：没证明单调性就直接说最值在端点；算出端点值后忘记比较，递增时最大值在右端点、递减时在左端点，写反就会选错；忽略定义域，把不在定义域内的数当作端点。检查的办法很简单：把端点代回题目给出的等式，看是否自洽。 自查：赋值要写明「对任意成立故可取特殊值」；推奇偶性先求 或 再令 ；推单调性作差后把差化成只含一个 的式子；抽象不等式去 后别忘了定义域。 二、典型例题 例1　加型等式：两次赋值定奇偶与单调 已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，且当 时 ，则 （　　） A．是奇函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在 上单调递减 C．是偶函数，且在 上单调递增 D．既不是奇函数也不是偶函数 变式1　符号条件反过来，结论跟着变 已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，且当 时 ，则 （　　） A．是奇函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在 上单调递减 C．是偶函数，且在 上单调递减 D．既不是奇函数也不是偶函数 例2　多一项常数：构造新函数或直接赋值 已知 对任意实数 、 都满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 变式2　常数不同，赋值结果跟着变 已知 对任意实数 、 都满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 例3　乘型等式：把积拆成和 已知 对任意正数 、 都满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 变式3　乘型等式：换一个底数再算 已知 对任意正数 、 都满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 例4　抽象不等式：合并、去 f、补定义域 已知 是定义在 上的函数，对任意正数 、 都有 ，当 时 ，且 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 变式4　加型等式下的抽象不等式 已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，当 时 ，且 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 例5　抽象函数的最值：先证单调，再代端点 已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，当 时 ，且 ，则 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 变式5　递增时的最值：右端点最大 已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，当 时 ，且 ，则 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．已知 对任意实数 、 都满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 对任意实数 、 都满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 是定义在 上的函数，对任意 、 都有 ，且当 时 ，则 在 上（　　） A．单调递减 B．单调递增 C．先减后增 D．无法确定单调性 4．已知 对任意实数 、 都满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 是定义在 上的函数，对任意正数 、 都有 ，当 时 ，且 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $