第7讲 抽象函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

抽象函数 函数与导数 · 专题篇 赋值法求值 一、四个常用的赋值 令 ：用来求 ，也能看出函数的奇偶骨架。 令 ：把 与 联系起来。 令 ：把两个自变量并成一个，常用于定 在某个具体点的值。 令 ：得到递推关系 与 的关系。 二、先求出可求的值，再定周期 由递推关系依次算出 、、…… 若算出的值开始重复，就说明 是周期函数，后面的大数用周期砍掉。 三、递推式求和走累加法 把递推关系写成 的形状， 再把 几个式子相加，中间项两两抵消，只剩两端。 四、判选项要一项一项代 多选里每一项都要单独找一个赋值验证，不能因为某一项对了就推其余项。 选项里是比较两个函数值大小的，先由递推式把两边的比值或差算出来再判。 例1（填空·★★★☆☆） 已知函数满足，。则 = ________ 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知定义在上的函数满足，且，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 变式1-3（填空·★★★☆☆） 已知定义在R上的函数满足且，则 = ________ 例2（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，且，则 = （ ） A. 1 B. C. 2024 D. 变式2-2（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数，满足，且，则 = （ ） A. 1 B. 10 C. 11 D. 1024 例3（多选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 设函数，则为奇函数 C. 当且仅当时， D. 若，是函数上任意两点，则 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的最大值为 变式3-3（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. 是增函数 C. D. 变式3-4（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是的必要不充分条件 D. 的零点个数为3 由函数方程推性质 一、先把 求出来 令 （或只令 ）代入函数方程，绝大多数题的第一步都能定出 。 它既是判奇偶性的起点，也是后面算具体值的基准。 二、判奇偶性：令 把 代入并整理，看 与 的关系：两边之和为零是奇函数，之差为零是偶函数。 若等式右边剩下的不是零而是一个已知函数，说明原函数差一个具体函数才能配成奇函数，要把那个函数找出来。 三、判单调性：作差或改看 任取 ，用函数方程把 写成符号已知的式子。 条件里出现 或 时，把 记作 ，原式往往就化成 的单调性。 四、双条件要联立 题目给出「 加上一个已知函数后是奇函数」、「 减去另一个已知函数后是偶函数」这类两条并列条件时，各写一个恒等式，两式联立消元。 求某个具体值时，先看它能不能由「代入相反数得另一式、两式相加或相减」得到。 例4（单选·★★★☆☆） 是定义在上的函数，满足对都成立，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 函数在单调递减 变式4-2（多选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 当时， 例5（单选·★★★☆☆） 设函数是奇函数.若函数，，则 = （ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 变式5-1（多选·★★★★☆） 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 变式5-2（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递增 例6（多选·★★★☆☆） 若为上的奇函数，为上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 变式6-1（多选·★★★★☆） 若函数的定义域为，，且，，，则（ ） A. B. ， C. 为奇函数 D. 当时， 变式6-2（单选·★★★☆☆） 设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是奇函数 变式6-3（单选·★★★☆☆） 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足。若在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 变式6-4（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的可导偶函数，满足，，，则 = （ ） A. 7091 B. 4561 C. 4052 D. 2026 变式6-5（多选·★★★★☆） 已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 抽象函数的不等式与构造 一、把条件认成「某个函数的导数」 就是 ； 配 ， 配 。 认出这个「原函数」是本节的第一件事，构造出来后单调性白送。 二、两边整理成同一个新函数 递减时， 直接翻译成 。 把要解的不等式两边都凑成 的形状，函数记号就能一次脱掉。 三、两边同乘因式要判符号 从 凑出 要乘一个因式，因式的正负决定不等号方向，必须按它的符号分段讨论。 四、没有导数时先判单调性 由 型条件判单调性：把 写成 ，再用 时的符号定出差的正负。 单调性一出来， 就能直接化成 。 例7（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 变式7-1（单选·★★★★☆） 设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个正整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式8-1（多选·★★★★☆） 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 例9（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 变式9-1（多选·★★★★☆） 若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 抽象函数的恒等与值域 一、乘积型条件先定 型，令 会得到一个关于 的方程，常常有两个候选根。 两个根要用别的赋值（如令 ）筛掉一个 —— 留下与已知函数值矛盾的那个。 二、令 得到三项递推 把 固定成 ，条件变成 、、 三者的关系。 顺着它连推两次（写出 与 两个式子再相加或相减）就能露出周期。 三、周期与对称一起用 说明周期是 ，不是 。 若能再看出「」这类对称关系，就能直接点出中间那几个特殊点的值。 四、求和先算清一个周期 把 、 这类大下标用周期折回一个周期的位置，再逐个求值相加。 判定最值时，先用条件把 夹在某个表达式之间，再对那个表达式用基本不等式或单调性。 例10（单选·★★★★☆） 已知函数满足，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式10-1（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. ， C. 的图象关于点对称 D. 为偶函数 例11（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且，，则 = （） A. 1 B. 0 C. D. 变式11-1（多选·★★★★☆） 已知是上的连续函数，满足，有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的一个周期为3 D. 是的一个对称中心 变式11-2（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，满足，，当时，恒有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上单调递减 例12（填空·★★★☆☆） 函数满足：①②，。则的最大值等于__________ 变式12-1（多选·★★★★☆） 已知定义在上的函数，且，若，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 变式12-2（多选·★★★★☆） 函数满足，且，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 变式12-3（单选·★★★★☆） 若，且，则 = （ ） A. -2 B. -1 C. D. 0 变式12-4（多选·★★★★★） 已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为。若为偶函数，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 抽象函数 函数与导数 · 专题篇 赋值法求值 一、四个常用的赋值 令 ：用来求 ，也能看出函数的奇偶骨架。 令 ：把 与 联系起来。 令 ：把两个自变量并成一个，常用于定 在某个具体点的值。 令 ：得到递推关系 与 的关系。 二、先求出可求的值，再定周期 由递推关系依次算出 、、…… 若算出的值开始重复，就说明 是周期函数，后面的大数用周期砍掉。 三、递推式求和走累加法 把递推关系写成 的形状， 再把 几个式子相加，中间项两两抵消，只剩两端。 四、判选项要一项一项代 多选里每一项都要单独找一个赋值验证，不能因为某一项对了就推其余项。 选项里是比较两个函数值大小的，先由递推式把两边的比值或差算出来再判。 例1（填空·★★★☆☆） 已知函数满足，。则 = ________ 【切入点】要的是 ，条件里有 ，先令 把它变成 与 的递推式。 【关键】先令 ，得 。再令 ，得 ，即 。把 九个式子相加：，所以 。 【易错】 要先单独求出来 —— 累加只能给出 ，没有 就算不出答案。累加的项数是 项（ 取 到 ），不是 项。 【答案】110 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知定义在上的函数满足，且，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【切入点】 太大，先把前几个函数值一个个算出来，看什么时候开始重复。 【关键】令 、，得 ，所以 。令 、，得 ，结合 解得 。令 、，得 ，所以 。令 、，得 ，所以 。令 、，得 ，所以 。令 、，得 ，所以 。，说明以 为周期，所以 。故选 D。 【易错】赋值时每次只让一个字母动：固定 逐次把 往上推，一次改两个字母会得到互相纠缠的式子。看到 才能断言周期为 ，只算到 是看不出周期的。 【答案】D 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件写成 ，先令 、 摸出 。 【关键】令 、，得 ，由 得 。令 、，得 ，即 ，所以 ，B 项错误。由 A、B 都不成立可以排除 A、B 两项；再令 ，得 ，所以 。令 ，得 ，所以 ；再令 ，得 ，即 ，所以 。于是 ，而 ，所以 ，D 项正确。故选 D。 【易错】 而不是 —— 条件是乘积式，把 当成 是一切错误的起点。判 D 之前必须先证 ，否则不能把 提出去比大小。 【答案】D 变式1-3（填空·★★★☆☆） 已知定义在R上的函数满足且，则 = ________ 【切入点】与例 1 同型，令 得递推式，再用累加法。 【关键】令 ，得 ，即 。把 相加，得 。又 ，所以 。 【易错】这里 恰好就是等差数列的首项，所以答案能写成 ；换成别的 就要单独加。累加时左右两端要写全：左边是 ，别漏掉 。 【答案】 例2（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【切入点】 太大，只能靠周期性；先令 看看奇偶性。 【关键】令 ，得 ，所以 ， 是奇函数。再令 ，得 ；由奇函数有 ，所以 ，即 ，于是 ，周期为 。所以 。故选 C。 【易错】 要再走一步才得到周期：把 换成 得 ，只写到一个负号就报周期会少一半。 除以 余 ，余数对应 。 【答案】C 变式2-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，且，则 = （ ） A. 1 B. C. 2024 D. 【切入点】先把 算出来，再把 代入得到 的三项关系，顺着递推找周期。 【关键】令 、，得 ，由 得 。令 ，得 ，所以 。由此 ，再推一步得 ，周期为 。又令 ，得 ，即 ，所以 。于是 。故选 B。 【易错】递推式 要连推两次才露出周期，只看一层看不出重复。 除以 余 ，对应 。 【答案】B 变式2-2（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数，满足，且，则 = （ ） A. 1 B. 10 C. 11 D. 1024 【切入点】 是一路除以 能到 的数；先把条件整理成 与 的关系。 【关键】令 ，得 ，所以 。再令 ，得 ；由 得 。从 一路往下代：。故选 C。 【易错】递推一步要乘 次、加上常数 ，实际减半的次数是 次（），写成 次就把答案记成 了。起点 是另外赋值算出来的，不能省。 【答案】C 例3（多选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】四个选项逐项赋值核对 —— 求具体值的令 、 取 、、，判不等式的先由递推式算出两侧。 【关键】A 项：令 、，得 ，结合 解得 ，A 项错误。B 项：令 、，得 ，所以 ，B 项错误。C 项：令 ，得 。又由 知 ，于是 ，所以 ，即 ，C 项正确。D 项：由 得 ，左边 ，右边 ；因为 ，所以 ，即左边大于右边，D 项错误。故选 C。 【易错】C 项的关键是先证 —— 没有这一步就不知道两边同乘 后不等号往哪边倒。 的来路是 ，完全平方非负、又不等于 。 【答案】C 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 设函数，则为奇函数 C. 当且仅当时， D. 若，是函数上任意两点，则 【切入点】条件里带着 的修正项，先令 求 ，再令 得到累加可用的递推式。 【关键】A 项：令 ，得 ，解得 ，A 项错误。B 项：令 ，得 ，即 。把它与 对照，得 ，所以 是奇函数，B 项正确。C 项：令 ，得 ，于是 、、、。累加得 ，结合 得 。令 ，整理得 ，解得 或 ；正整数解只有 ，C 项正确。D 项：取 、，则左边 ，右边 ，左边小于右边，D 项错误。故选 BC。 【易错】B 项的 里那个 不是随便凑的 —— 它正好与 配成 ，先把 算出来再判，比硬看快得多。D 项只要举一个反例就能否掉，不必去证普遍性。 【答案】BC 变式3-2（多选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的最大值为 【切入点】条件里是 与乘积的形式，先令 与 把 、 挖出来。 【关键】A 项：令 ，得 ，所以 ，，不能确定，A 项错误。B 项：令 ，得 ；由 得 ，所以 ，即 。再令 、，得 ，所以 ，即 ，B 项正确。C 项：把 、 互换，条件不变，所以 。由 B 项知存在使 取 的点，代回去可推出 的零点关于 轴对称，从而 是偶函数，C 项正确。D 项：令 ，得 ，所以 ，即 的最大值为 ，D 项正确。故选 BCD。 【易错】A 项只能定出 ，平方型条件给出的是平方的值，符号要另行判断，不能直接写 。D 项的关键是取 让右边出现 ，把常数项消掉只剩两平方之和。 【答案】BCD 变式3-3（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. 是增函数 C. D. 【切入点】条件两边都带 的幂，把式子整理成 的形状，左端就成了一个新的「可累加量」。 【关键】A 项：令 ，得 ，所以 ，A 项正确。B 项：令 ，得 。两个不同的自变量取到同一个函数值，就不可能是增函数，B 项错误。C 项：把条件两边同除以 ，得 。取 ，得 ，累加得 ，即 。所以 ，C 项正确。D 项：，把和式乘 后与原式相减，可算出它等于 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】把 除过去是本题的关键一步 —— 除以 与 的乘积之后， 才是一个每步加 的等差量。漏掉这一步就只能对着 干瞪眼。 【答案】ACD 变式3-4（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是的必要不充分条件 D. 的零点个数为3 【切入点】修正项是 ，它正好凑成 ，所以把 拿出来会得到一个干净的可加性关系。 【关键】A 项：令 ，得 ；再令 、，得 ，所以 ，A 项正确。B 项：令 ，得 ，即 ，所以 是奇函数，B 项正确。C 项：令 ，得 ；再令 得 。所以 即 ，解得 或 。 只是解集的一部分，属于充分不必要条件，C 项错误。D 项：记 ，代入条件可验证 ，所以 ，即 。由 得 ，所以 ，零点为 、、 共三个，D 项正确。故选 ABD。 【易错】C 项判「充分不必要」要把解集完整解出来 —— 解集是 或 ， 只是其中一半，所以是「充分不必要」而不是「充要」。D 项的思路是把抽象函数具体化：先猜出 的形状再数零点，比直接讨论零点存在性快得多。 【答案】ABD 由函数方程推性质 一、先把 求出来 令 （或只令 ）代入函数方程，绝大多数题的第一步都能定出 。 它既是判奇偶性的起点，也是后面算具体值的基准。 二、判奇偶性：令 把 代入并整理，看 与 的关系：两边之和为零是奇函数，之差为零是偶函数。 若等式右边剩下的不是零而是一个已知函数，说明原函数差一个具体函数才能配成奇函数，要把那个函数找出来。 三、判单调性：作差或改看 任取 ，用函数方程把 写成符号已知的式子。 条件里出现 或 时，把 记作 ，原式往往就化成 的单调性。 四、双条件要联立 题目给出「 加上一个已知函数后是奇函数」、「 减去另一个已知函数后是偶函数」这类两条并列条件时，各写一个恒等式，两式联立消元。 求某个具体值时，先看它能不能由「代入相反数得另一式、两式相加或相减」得到。 例4（单选·★★★☆☆） 是定义在上的函数，满足对都成立，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里同时出现 与 ，说明代不同的 会得到互相牵连的式子 —— 多代几个凑成方程组。 【关键】分别令 、、、，得四个式子：；；；。由后两式联立得 ；代回第二式得 ；再代回第一式得 。故选 B。 【易错】 代 之后，，所以出现的是 ；这正是本题能连成一串的原因，先看清每一步会牵出哪个函数值。解方程组时后两式是「」与「」，恰好能解出两个未知量。 【答案】B 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 函数在单调递减 【切入点】条件里常数 是干扰项，先求出 再把它挪走。 【关键】A 项：令 ，得 ，所以 ，A 项错误。B 项：令 ，得 ，即 ，所以 是奇函数，B 项正确。C 项：令 ，得 ；若 ，则 ，周期为 ，所以 ，与 C 项写的 不符，C 项错误。D 项：令 、（），得 ；条件没有给出 与 的大小关系，所以判不出单调性，D 项错误。故选 B。 【易错】 是关键值 —— 有了它才能把 写成 ，看出是「减 之后」才奇。D 项只能靠条件本身判断，不能因为「看起来像增函数」就选。 【答案】B 变式4-2（多选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 当时， 【切入点】条件的形式与 的和角公式同构，但本题不必认出它 —— 先赋值定 ，再用 判奇偶。 【关键】A 项：令 ，得 ，所以 ，A 项正确。B 项：令 ，得 ，所以 是奇函数而不是偶函数，B 项错误。C 项：当 时 ；由 时 ，再结合 是奇函数，得当 时 。所以 ，C 项正确。D 项：设 ，令 、，则 ，条件可用；由 ，并结合 ，得 ，所以 在 上递增；再由奇函数得它在 上也递增，于是 时 给 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】C、D 两项都要先判出 在正负区间的符号 —— 时 ，奇函数一转手就得到 时 ，这一步是 C、D 两问的共同地基。D 项论证单调性时， 要用到 这个前提，少了它条件不能代。 【答案】ACD 例5（单选·★★★☆☆） 设函数是奇函数.若函数，，则 = （ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【切入点】条件说的是「 是奇函数」，不是一个数而是一个恒等式，先把它翻译出来。 【关键】由 是奇函数得 ，即 。又 ，所以 。由 得 ，所以 。故选 B。 【易错】得到的恒等式是 而不是 —— 「 本身」不是奇函数，是它减去 之后才是，把 丢掉整题就错。求 用「两式相加」比直接求 稳，因为 单靠条件定不出来。 【答案】B 变式5-1（多选·★★★★☆） 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 【切入点】条件里是 ，右边是 ，两边同除以 就会浮出 。 【关键】A 项：取 ，得 ，A 项正确。B 项：任取 ，则 ，由条件得 ，即 ，所以 在 上递增。由 得 ，所以 时 ，从而 ，与 B 项写的「大于 」相反，B 项错误。C 项：取 ，得 ；取 得 ，与 C 项写的相等不符，C 项错误。D 项：由 逐层迭代，可得 ，再迭代 次得 ；因为 时 ，即 ，且 ，所以 ，D 项正确。故选 AD。 【易错】B 项的关键是把条件变成 的单调性 —— 直接看 的符号会被 的符号带偏。D 项每迭代一次指数翻倍、系数也翻倍，写成 就丢了 这个因子。 【答案】AD 变式5-2（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，且对均有成立，当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递增 【切入点】与上一题同族：条件两边同除以 之后， 会成为一个整体。 【关键】A 项：令 ，得 ；再令 、，得 ，所以 ，A 项正确。B 项：令 ，得 ，所以 ， 是奇函数，B 项错误。C 项：记 ，把条件两边同除以 得 。由 B 项知 是偶函数；取 时 ，结合 时 可推出 ，从而 ， 在 上递增。于是 时 ，由 得 ，当 时同理 ，C 项正确。D 项：由 是偶函数且在 上递增，得它在 上递减，结合 作差可判出 在 上递增，D 项正确。故选 ACD。 【易错】 是偶函数，所以它在 递增时，在 上是递减的 —— 判 的单调性时不能再乘一个负的 而不改方向。C 项要分 与 两段看 与 的大小，只写一段会漏。 【答案】ACD 例6（多选·★★★☆☆） 若为上的奇函数，为上的偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】两条并列条件各写成一个恒等式，再联立消元。 【关键】A、B 两项：由 为奇函数得 ，所以 ，A 项错误；又 ，整理得 ，B 项正确。C 项：由 B 的结论取 得 ；再由 为偶函数得 ，即 。两式联立得 ，所以 ，C 项正确。D 项：由 为偶函数得 ，整理得 ，与 D 项写的 差一个符号，D 项错误。故选 BC。 【易错】两条条件给出的两个恒等式方向相反：「 奇」给的是和，「 偶」给的是差，别把两个都写成和。D 项最容易错在符号上 —— 把 换成 之后 ，移项时这个负号要跟着走。 【答案】BC 变式6-1（多选·★★★★☆） 若函数的定义域为，，且，，，则（ ） A. B. ， C. 为奇函数 D. 当时， 【切入点】左边是 ，先令 把 与 挂上。 【关键】A 项：令 ，得 ，A 项正确。B 项：令 、，得 ，即 。取 得 ，即存在 使 成立，与 B 项写的「恒不相等」矛盾，B 项错误。C 项：令 ，得 ；用 替换 得 ，所以 。记 ，由上式可知 是奇函数；再注意 与 的关系，可判出它是奇函数，C 项正确。D 项：由 C 项的推导得 ；当 时 、 异号，取 与 的平方差可把条件化成 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项只要举一个 就能否掉 —— 取 时 正好把 代进去了，注意右边是常数 （也就是 ），不是变量 ，这两者恰好相等才使 B 项不成立。D 项要借 C 项的结论，先证出 再用。 【答案】ACD 变式6-2（单选·★★★☆☆） 设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是奇函数 【切入点】条件里出现了 ，先令 把它降成只含一次的式子。 【关键】令 ，得 。记 ，则 ，说明 是一次函数。设 代回原条件：左边为 ，右边为 ，比较系数得 且 。若 ，则 ， 与 轴无交点，舍去；若 ，则 ，即 。由 得 。A 项： 不符，A 项错误。B 项：，B 项错误。C 项： 不是奇函数，C 项错误。D 项：，是奇函数，D 项正确。故选 D。 【易错】把 判成一次函数是本题的枢纽 —— 函数值等于自变量加一个常数，这个形状说明对应关系是平移，但常数是多少还要靠比较系数定出来。 那一支不能忘：它虽然被舍去，但舍去前要说明理由。 【答案】D 变式6-3（单选·★★★☆☆） 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足。若在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里是「平方平均的函数值等于函数值的几何平均」，先取 看能不能得出 非负。 【关键】A 项：取 ，得 ；当 时取 ，得 ，结合 在 上递增知 不恒为零，所以 ，即对一切 有 ，取不到负值，A 项错误。B 项：由上一步 ，所以 ，不恒为零，B 项错误。C 项： 时 递增给 ；由 求导得 ，所以 时 ，C 项错误。D 项：因为 ，所以 ；再由 且 在 上递增，得 ，即 ，两边平方得 ；再用基本不等式 串起来，D 项正确。故选 D。 【易错】A、B、C 三项的支柱都是先证出 且是偶函数，这一步不写后面全都悬空。D 项要串两段不等式：先用两个自变量的距离比出 值的大小，再用基本不等式把乘积换成算术平均。 【答案】D 变式6-4（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的可导偶函数，满足，，，则 = （ ） A. 7091 B. 4561 C. 4052 D. 2026 【切入点】条件是「导函数」的对称与周期，先由 是偶函数推出 是奇函数，再把两者合起来定 的周期。 【关键】由 是偶函数得 ，两边求导得 ，所以 是奇函数。又 说明 的图象关于直线 对称；奇函数加上一条对称轴 ，得 的周期为 ，即 。于是 （常数）。取 代入得 ，所以 ，即 ， 也以 为周期。再由 是偶函数得 ，结合周期为 有 ，所以 。于是 ，，两式相加得一个周期内四个值之和 。因为 ，所以 。而 ，所以总和为 。故选 B。 【易错】由 以 为周期只能推出 ，差一个常数 —— 必须找一个具体的 把 定成 ，直接写 是跳步。求和时 ，剩两项要单独算。 【答案】B 变式6-5（多选·★★★★☆） 已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【切入点】条件形式与「两角和差」同构，先赋值定 、判奇偶性，再看周期。 【关键】B 项：令 、，得 ，所以 ；再令 ，得 ，即 ，所以 是奇函数而不是偶函数，B 项错误。D 项：令 、，得 ；把 换成 得另一式，两式相加，利用 消掉中间项，得 ，D 项正确。A 项：令 、，得 ，所以 ，再走一步得 ，周期为 ；于是 ，A 项正确。C 项：对原式两边关于 求导，得 ；令 得 ，结合 的周期为 可推出 也以 为周期，且四个一周期内的导数值之和为 ，所以 ，C 项正确。故选 ACD。 【易错】D 项的「两式相加」要用到奇函数性质把 换成 ，少了这一步中间项消不掉。C 项是等式两边同时求导，这是抽象函数里处理导数的标准动作；求导之后原来的 变成 ，别的地方不动。 【答案】ACD 抽象函数的不等式与构造 一、把条件认成「某个函数的导数」 就是 ； 配 ， 配 。 认出这个「原函数」是本节的第一件事，构造出来后单调性白送。 二、两边整理成同一个新函数 递减时， 直接翻译成 。 把要解的不等式两边都凑成 的形状，函数记号就能一次脱掉。 三、两边同乘因式要判符号 从 凑出 要乘一个因式，因式的正负决定不等号方向，必须按它的符号分段讨论。 四、没有导数时先判单调性 由 型条件判单调性：把 写成 ，再用 时的符号定出差的正负。 单调性一出来， 就能直接化成 。 例7（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 【切入点】要最小值的式子里两个自变量之和为 ，而条件给的是乘积，先把它们的乘积算出来。 【关键】令 ，得 ，所以 。再令 ，得 ，即 。因为 ，所以 ，当且仅当 （即 ）时取等号。所以最小值为 。故选 D。 【易错】令 是本题的关键 —— 目标式里的两个自变量之和恰好是 ，条件里代 就能把乘积锁成常数。用基本不等式前要说明 ，否则开方不成立。 【答案】D 变式7-1（单选·★★★★☆） 设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个正整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 两边同乘 ，左边正好是 。 【关键】由 得 ，即 ，所以 。由 得 ，即 。求导得 ，所以 在 上递增、在 上递减。不等式 即 ；直线 过定点 。要有且只有一个正整数解，按 逐个检验，只需 满足而 不满足：由 得 ；由 得 。所以 的取值范围是 。故选 C。 【易错】「有且只有一个正整数解」要卡住两个相邻的正整数：让 成立、 不成立，边界才能定死。只写一个不等式会把范围放宽一倍。直线过定点 说明 时两边都是 ，不是解，所以真正的第一个候选是 。 【答案】C 例8（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，有，，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里带常数 ，先把它挪进函数值里，再用「作差看符号」判单调性。 【关键】任取 。由条件得 ，所以 。因为 ，由条件知 ，所以差为正， 在 上递增。再求具体值：令 得 ；令 、 得 。由条件得 ，所以原不等式左边等于 ，原不等式等价于 ，也就是 ；由 单调递增得 ，即 ，解得 或 。故选 B。 【易错】条件里的常数 每次合并都要算一次 —— 把两个函数值合并成一个时，，这个 带上才配平。最后脱记号前要把两边都化成同一个 的值，本题右边化成 正好对上。 【答案】B 变式8-1（多选·★★★★☆） 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 【切入点】条件是 ，先令 与 把 、 挖出来。 【关键】A 项：令 得 ；令 得 ，所以 ；于是 ，A 项正确。B 项：令 ，得 ；再令 ，得 ，解得 ，所以 ， 是奇函数而不是偶函数，B 项错误。C 项：把条件里的 换成 ，得 ，即 。当 时 ，由条件得 ，所以 ；再结合 是奇函数， 时同样有 ，C 项正确。D 项：任取 ，由条件可推出 ，即 在 上递减；而 ，由 时 且两个因子同向变化，可判出 在 上递减，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项判奇偶性要先求出 —— 把 代进去才能定出它等于 ，直接看 与 的关系看不出所以然。C 项用的是「 换成 」，这是商型条件的固定动作，换完之后 的符号由 确定。 【答案】ACD 例9（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 移项后就是 ，先把新函数记出来。 【关键】由 知 在定义域上递减。先定定义域： 的定义域是 ，不等式中要同时有 且 ，解得 。当 时 ，把不等式两边同乘 得 ，即 ；由 递减得 ，解得 或 ，取 。当 时 ，两边同乘 不等号反向，得 ，由 递减得 ，解得 ，这一段全成立。当 时两边分别是 与 ，由条件取 得 ，所以不等式成立。三段并起来，解集为 。故选 D。 【易错】两段要分开讨论，是因为两边同乘的因式 正负不同；不分段就会把 这一段的解丢掉。 处不能直接代入原式两边同时除以 ，要单独代进去看，答案里 是包含的。 【答案】D 变式9-1（多选·★★★★☆） 若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 【切入点】条件是 ，令 能把 与 挂上。 【关键】A 项：令 ，得 ，所以 ，A 项正确。B 项： 的定义域是 ，它不关于原点对称，所以 不可能是偶函数，B 项错误。C 项：令 ，得 。两边求导得 ，即 ，也就是 。于是 、、，三式相加得 ，C 项正确。D 项：由 ，取 得 ，两边同除以 得 ；累加得 。所以 ，把和式乘 后与原式相减，算出它等于 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项最快的方法是看定义域 —— 不关于原点对称，根本谈不上偶函数，不必去算 （那里也没有定义）。D 项把递推式两边同除以 之后， 就是每步加 的等差量，这一步和知识点①里「归一化再累加」是同一个动作。 【答案】ACD 抽象函数的恒等与值域 一、乘积型条件先定 型，令 会得到一个关于 的方程，常常有两个候选根。 两个根要用别的赋值（如令 ）筛掉一个 —— 留下与已知函数值矛盾的那个。 二、令 得到三项递推 把 固定成 ，条件变成 、、 三者的关系。 顺着它连推两次（写出 与 两个式子再相加或相减）就能露出周期。 三、周期与对称一起用 说明周期是 ，不是 。 若能再看出「」这类对称关系，就能直接点出中间那几个特殊点的值。 四、求和先算清一个周期 把 、 这类大下标用周期折回一个周期的位置，再逐个求值相加。 判定最值时，先用条件把 夹在某个表达式之间，再对那个表达式用基本不等式或单调性。 例10（单选·★★★★☆） 已知函数满足，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是乘积型，先令 、 把 定出来，再固定 看递推。 【关键】令 、，得 ；由 得 。再令 ，得 ，即 ，所以 。连推得 ，所以 ，周期为 。又 ，所以 。故选 D。 【易错】 是先定下来才能往下走的 —— 求 要用 ，没有 就断在此处。递推式是 ，连推三次才出现负号（），再走一步才是周期。 【答案】D 变式10-1（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. ， C. 的图象关于点对称 D. 为偶函数 【切入点】条件里两个自变量分别带 与 ，先令 、 取 、 把 与 挖出来。 【关键】A 项：令 、，得 ；代入 解得 。再令 ，得 ，所以 ，A 项正确。D 项：令 ，得 ，即 ；再令 ，得 ，即 ；两式合起来得 ，所以 是周期，于是 ， 是偶函数，D 项正确。B 项：令 并借周期性可得 ；再令 得 ，所以 ，结合 得 恒成立，取不到负值，B 项错误。C 项：由 得图象关于点 对称，C 项正确。故选 ACD。 【易错】B、C 两项的先后关系要理清：先用 与 夹出恒等于 ，C 项才跟着成立。由 得到 用的是恒等式代换，x 换成 即可，不是新条件。 【答案】ACD 例11（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且，，则 = （） A. 1 B. 0 C. D. 【切入点】求和下手前先看周期：把 固定成 ，条件是三项递推。 【关键】令 ，得 。把 换成 得 ，两式相加消去中间项，得 ，即 ，所以周期为 。再由 逐个求值：取 得 ；令 得 ，结合 可排除 ，故 ；于是 ，，，，，。一个周期六个值之和为 。，所以总和就是前四项之和 。故选 D。 【易错】周期是 而不是 —— 只说明三步变一次号，再走三步才回来。和式里 ，余 项；一个周期之和恰好是 ，所以答案就等于前四项之和，这一点要算出来才知道。 【答案】D 变式11-1（多选·★★★★☆） 已知是上的连续函数，满足，有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的一个周期为3 D. 是的一个对称中心 【切入点】与例 2 同族条件，差别在于 之外没有别的已知值，所以要一路赋值把 、 算出来。 【关键】A 项：令 ，得 ，所以 或 。若 ，令 得 ，与 矛盾，故 ，A 项正确。B 项：令 ，得 ，所以 ， 是偶函数；于是 ， 也是偶函数，B 项正确。C 项：由 、 逐个求值： 得 ，所以 ；、 得 ，所以 ；，所以 不是周期，C 项错误。D 项：由周期性可算得 ，与偶函数性质合起来得 是对称中心，D 项正确。故选 ABD。 【易错】C 项要用 与 是否相等来判周期 —— ，所以 不是周期（真正的周期是 ）。A 项的两个根必须筛： 会引出「 恒为零」的结论，与 直接打架。 【答案】ABD 变式11-2（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，满足，，当时，恒有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上单调递减 【切入点】与例 2 的形状相同但系数是 ，所以 不一定等于 —— 要靠已知区间上的符号定。 【关键】A 项：令 、，得 ；由 时 知 ，所以 ，A 项错误。B 项：令 ，得 ，所以 ， 是偶函数，B 项正确。C 项：令 ，得 ，所以 ；把 换成 得 ，即 ，C 项正确。D 项：任取 ，令 、，代入条件并用 B、C 两项的结论整理，可得 ，所以 在 上递减，D 项正确。故选 BCD。 【易错】A 项不能想当然写 —— 系数一换， 就变了，必须借「 时 」把 说出来，才能约掉它。C 项是把 整体换成 ，这是把「关于 的对称关系」改写成一般形式的固定动作。 【答案】BCD 例12（填空·★★★☆☆） 函数满足：①②，。则的最大值等于__________ 【切入点】条件是一个不等式，把 、 互换又能得到一个反向的式子，两头一夹就变成等式。 【关键】原条件是 。把 、 互换，得 ，两边乘 得 。两式合起来只能是等式。令 ，得 ；代入 ，整理得 。再由 （ 时取等号）得 。所以 的最大值等于 。 【易错】「 且 」才能推出 —— 这一步是本题的钥匙，直接拿不等式去令 是化不动的。求完解析式后用基本不等式时，要注意 ，分母的最小值恰好出现在 处，等号能取到。 【答案】 变式12-1（多选·★★★★☆） 已知定义在上的函数，且，若，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 【切入点】条件写成 ，先令 定 。 【关键】A 项：令 ，得 ，所以 或 。若 ，令 、 得 ，与 矛盾，故 ，A 项正确。B 项：令 ，得 ，所以 是偶函数，B 项正确。C 项：令 ，得 ，即 ，连推得 。取 得 ，所以 不是奇函数，C 项错误。D 项：由 得 ，周期为 ；而 ，所以 ，D 项正确。故选 ABD。 【易错】C 项判「 是否奇函数」要先算出 的值 —— 奇函数在 处必须取 ，而 ，直接否掉。看到 时不要立刻说周期是 ，真正周期是 。 【答案】ABD 变式12-2（多选·★★★★☆） 函数满足，且，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件两边带系数 ，令 、 就能直接解出 。 【关键】A、B 两项：令 、，得 ；由 得 ，A 项错误、B 项正确。C 项：令 ，得 ，即 ；把 换成 得 ，两式相加消去 ，得 ，即 。所以 ，C 项正确。D 项：由 得 ，周期为 ；所以 ，与 D 项写的 不符，D 项错误。故选 BC。 【易错】两式相加的顺序要对：先写 ，再把 整体换成 得 ，这样两式的 才能对上消掉。 除以 余 ，对应 。 【答案】BC 变式12-3（单选·★★★★☆） 若，且，则 = （ ） A. -2 B. -1 C. D. 0 【切入点】三个下标 、、 都很大，先用周期把它们折回一个周期内，再逐个求值。 【关键】令 、，得 ，由 得 。再令 ，得 ；把 换成 得 ，两式相减得 ，即 ，所以周期为 。令 得 ，所以 是偶函数。又 与偶函数合起来，得 的图象关于点 对称，所以 。逐个求值：，，。因为周期为 ，、、 除以 的余数分别是 、、，所以所求之和为 。故选 A。 【易错】三个下标除以 的余数要算准：、、。 要用到 ，所以一开始那个赋值不能省。 【答案】A 变式12-4（多选·★★★★★） 已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为。若为偶函数，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是偶函数，先给它求导得出 的奇偶性，再把两条关于 的条件凑成 的周期。 【关键】B 项：由 两边求导得 ，所以 是奇函数；又由 与 得 ，结合奇函数得 ，周期为 。由奇函数有 ，再由周期得 ，与 B 项写的 不符，B 项错误。A 项：在 中取 ，得 ；由 得 ，A 项正确。C 项：由两条条件得 ，取 与 并利用 的奇偶性与周期，可算出 ，C 项正确。D 项：同理取 与 代回，算得 不等于 ，D 项错误。故选 AC。 【易错】 用了周期为 这一条 —— 与 相差 ，正好一个周期。B 项错就错在这里： 是奇函数， 处的值必须是 ，不可能是 ；这条只靠奇偶性就能否掉，不必算周期。 【答案】AC 学科网（北京）股份有限公司 $