函数的单调性与最值专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数的单调性与最值 一、知识点梳理 （一）单调性的定义 设函数 的定义域为 ，区间 。如果对 内任意两个自变量 、，当 时都有 ，就称 在区间 上单调递增， 叫它的一个单调递增区间；若都有 ，则称在 上单调递减。定义里的「任意」二字不能换成「存在」：只要找得到一对反例，单调性就不成立。教材用「任意两个自变量对应的函数值比大小」来刻画图象的上升与下降，这就是单调性的全部含义。 定义可以改写成差商的形式：对 内任意 ， 等价于在 上单调递增， 等价于在 上单调递减。这个比值的符号就是「函数值之差」与「自变量之差」的符号是否一致，一致则同向变化，函数递增。证明单调性时，把差化成这个比值或直接判断差的符号，都是正路。 单调区间必须写成区间，并且是定义域的子区间。一个函数有几个单调区间时，用「和」或逗号隔开，不能用并集符号连接。原因很直接：在并集上并不单调。例如 在 与 上都递减，但取 、 就有 ，在整个并集上反而是递增的。另外，单调区间的端点取开取闭不影响单调性，但端点必须在定义域内。 （二）用定义证明单调性 用定义证明单调性分五步：取值，在给定区间上任取 ；作差，算 ；变形，把差化成若干因式的积或商；定号，由 、 所在范围判断每个因式的符号；结论，说明差的符号与单调性的对应关系。五步缺一不可，其中「任取」两个字必须写出来，否则证明的只是个别点的情形。 变形是整套证明的核心，目标只有一个：把差写成符号一眼能看出的形式。分式型先通分，把差化成一个分式，分子再因式分解；多项式型直接因式分解，提出 ；含根式的用分子有理化，把根号搬到分母上。以 为例，，这样每个因式的符号都能由 、 的范围直接读出。 证明中最常见的四个错误：没有写「任取」，直接从特殊情况推出一般结论；变形不彻底，差还带着无法定号的式子就下结论；把 与 的推出方向弄反；忽略区间前提，把一个区间上的结论搬到整个定义域上。定号时还要注意分母的符号，在 上 ，在 上也是正的，但跨过 的两个点就不能这样直接判。 （三）复合函数与分段函数的单调性 形如 的函数，单调性由内层与外层共同决定：内层增、外层增，则整体增；内层增、外层减，则整体减；内层减、外层减，则整体增。一句话记法是「同增异减」，但用的时候要能说清是哪两层、各自在哪个区间上增或减。理由并不神秘： 增大时内层的值增大，外层把这个变化「传递」出去，方向相同就放大，方向相反就翻转。 讨论复合函数的单调区间，第一步永远是求定义域。比如 ，先由 得 ，再在这个范围内讨论内层 的增减。离开定义域谈单调没有意义，很多错误就是把区间写到了 之外。第二步是看外层在 的取值范围内是增还是减，第三步才合成结论。 分段函数在整个定义域上单调，要满足两个条件：每一段在各自区间上单调，且方向一致；分界点处「接得上」。以递增为例，左段的最大值（在分界点处的左极限）不能超过右段在分界点处的函数值，否则右段的起点比左段的终点还低，中间就出现了下降。这一步最容易被漏掉，含参数的分段单调题，结果往往就差在这个不等式上。 （四）函数的最值 设函数 的定义域为 。若存在 ，使得对任意 都有 ，则称 为最大值；若对任意 都有 ，则称 为最小值。定义里「存在」与「任意」两个词缺一不可：只说函数值不超过某个数，那叫上界，不叫最大值；最大值必须真的被取到。 二次函数在闭区间上的最值，看对称轴与区间的相对位置，分三种情形：轴在区间左侧，函数在区间上递增，最值在右端点；轴在区间右侧，函数在区间上递减，最值在左端点；轴落在区间内，最小值在顶点处，最大值在离轴较远的那个端点处。配方得到顶点是第一步，判断轴是否在区间内是第二步，两步都不能省。 （）是常考的一类：它在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取最小值 。这个结论可以用定义证明，也可以直接引用。当题目把定义域限制在某个闭区间上时，先看 是否落在区间内：落在区间内就取 ，落在区间外就取端点值，只代端点而不看 的位置，是这类题最常见的失分点。 自查：单调区间写「和」不写并集；用定义证明要写「任取」并把差化成可定号的形式；复合函数先求定义域再看内外层；分段单调别忘分界点接得上；求最值先看顶点是否在区间内。 二、典型例题 例1　单调区间不能写成并集 函数 的单调递减区间是 A． B． C． 和 D． ①先看定义域　 的定义域是 ，所以任何单调区间都不能含 ，区间 与 直接排除。 ②在 (0,1] 上用定义判断　任取 ，。因为 、、，所以差为正， 在 上递减。 ③对称地得到另一半　 说明图象关于原点对称，于是 上同样递减；两端之间隔着 ，只能写「和」，不能写成并集。 注：单调区间之间只能用「和」连接，写成并集是概念性错误。检验方法很直接：在并集上取 、，此时 ，函数值随自变量增大而增大，与「递减」正好相反。 【答案】C。 定义域为 ，区间中不能含 。 当 时，，所以 在 上单调递减。 同理 在 上单调递减。 两个区间之间被 隔开，只能并列写出，所以单调递减区间是 和 。故选 C。 变式1　同一类型：换一个系数再判断 函数 的单调递减区间是 A． 和 B． C． D． ①写出定义域　定义域是 ，所以含 的区间都不能作为单调区间。 ②用定义判断 (0,2] 上的单调性　任取 ，，由 知差为正，函数递减。 ③写全两侧并检查连接方式　由图象关于原点对称， 上也递减，两个区间用「和」连接。 注：与例题相比只是 换成了 ，分界点从 变成 ，判断过程完全一样。这类题的答案永远是「两段并列」，写成并集或写成一整段都是错的。 【答案】A。 定义域为 。 当 时，，所以 在 上递减。 同理在 上递减，两段之间用「和」连接，得 和 。故选 A。 例2　分段函数在 R 上单调：别漏了分界点 已知 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． ①两段各自递减　右段 在 上递减；左段要递减，需要一次项系数为负，即 ，得 。 ②分界点处接得上　左段当 时函数值趋近 ，右段在 处取 。要让左段的终点不低于右段的起点，需 ，得 。 ③两个条件取交集　 且 ，所以 。 注：分段函数整体单调的两个条件是「各段同向单调」加「分界点接得上」。第二条件最容易漏：只要左段终点低于右段起点，中间就出现了一次下降，整体就不再单调。含参数时，答案的端点往往正由这个不等式决定。 【答案】B。 右段 在 上递减。 左段递减需 ，即 。 分界点处，左段趋近 ，右段取 ，要求 ，即 。 两条件同时成立，得 。故选 B。 变式2　分段单调：换一组系数再算接点 已知 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． ①左段递减给出上界　需 ，即 。 ②分界点接上给出下界　左段趋近 ，右段在 处取 ，要求 ，即 。 ③合并两个条件　，左闭右开。 注：接点不等式的写法：左段在分界点处的值（或左极限）要不小于右段在分界点处的值，递减时就是这个方向。若两段都带等号，要特别注意分界点归哪一段，本题 归右段，所以左段只取左极限。 【答案】D。 左段递减需 ，即 。 左段在 时趋近 ，右段在 处取 ，由 得 。 所以 。故选 D。 例3　复合函数单调区间：先求定义域 函数 的单调递增区间是 A． B． C． D． ①先求定义域　由 得 ，即 ，定义域是 。 ②判断内层的增减　内层 ，在 上递增，在 上递减。 ③外层是增函数，同增异减　外层 在 上递增，与内层同向，所以整体在 上递增。 注：复合函数单调区间的三步：求定义域、拆成内外两层、按同增异减合成。定义域是硬约束，像 这样的选项，虽然内层在那里递增，但已经超出了定义域，不能选。 【答案】D。 由 得定义域 。 内层 在 上递增，在 上递减。 外层 在 上递增，内外同向，所以 在 上递增。故选 D。 变式3　复合函数：外层为减函数时方向翻转 函数 的单调递增区间是 A． B． C． D． ①先求定义域　由 得 或 。 ②内层在定义域内的增减　内层 的对称轴是 ，在 上递减，在 上递增。 ③合成结论　外层递增，与内层同向，所以整体在 上递增，在 上递减。 注：定义域被分成两段时，两段要分别讨论，不能跨过中间的空隙合并。本题的内层只有落在定义域内的部分才有效，对称轴 根本不在定义域里，讨论时用不上。 【答案】A。 由 得 或 。 内层 在 上递增，在 上递减。 外层递增，内外同向，所以递增区间是 。故选 A。 例4　闭区间上的最值：顶点是否落在区间内 已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①配方找顶点　，最小值只能在顶点处取得，为 ，当且仅当顶点 落在区间内，所以 。 ②用最大值给出上限　在 上，，。最大值为 要求 ，即 。 ③两个条件取交集　 且 ，所以 。 注：闭区间最值题的判断顺序：先配方看顶点，再判断顶点是否在区间内，最后比较端点。本题最小值取到 就说明顶点必须被区间包含，这一步直接给出 ；最大值取到 又限制了 不能太大。 【答案】C。 ，最小值为 ，当且仅当 在 内，所以 。 ，，最大值为 要求 ，得 。 综上 。故选 C。 变式4　闭区间最值：换一组数据再走一遍流程 已知函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①配方定最小值　，最小值 在 处取得，所以 。 ②最大值限制右端点　，，最大值不超过 要求 ，即 。 ③取交集写答案　。 注：两个条件一个给下界、一个给上界，下界来自「最小值必须取到」，上界来自「最大值不能超过」。只写 就漏掉了 ，这时函数在 上的最大值会超过 。 【答案】B。 ，最小值为 ，需 ，即 。 ，，由 得 。 所以 。故选 B。 例5　 型：先看分界点是否在区间内 函数 在区间 上的最小值是 A． B． C． D． ①确定分界点　对 ，分界点是 ，它在 上递减、在 上递增。 ②检查 2 是否落在给定区间内　，所以最小值在 处取得，为 。 ③比较端点值确认　，，都大于 ，最小值确实是 。 注：（）在 处取最小值 ，但这是无区间限制时的结论。题目给了区间，就必须先看 是否在区间内：在区间内取 ，不在区间内则函数在区间上单调，最小值在端点处。 【答案】D。 在 上递减，在 上递增。 因为 ，所以最小值为 。 又 ，，均大于 ，故最小值为 。故选 D。 变式5　 型：求区间上的最大值 函数 在区间 上的最大值是 A． B． C． D． ①确定分界点与增减性　分界点是 ， 在 上递减，在 上递增。 ②最大值只能在端点处　区间内先减后增，最大值必在两个端点之一，分别算出 、。 ③比较两个端点值　，所以最大值为 。 注：先减后增的函数，最小值在分界点、最大值在端点，但具体是哪个端点必须算出来比较。本题两个端点值很接近，凭感觉容易选错，一定要把两个值都算出来再比。 【答案】A。 在 上递减，在 上递增。 ，。 比较得最大值为 。故选 A。 三、巩固练习 1．下列函数中，在 上单调递增的是 A． B． C． D． 【答案】D。 在 上递减。 与 在 上都递减。 ：任取 ，，所以在 上递增。故选 D。 2．已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C。 ，图象开口向上，对称轴为 。 函数在 上递增，要在 上递增，需 落在 内，即 。 所以 。故选 C。 3．函数 的单调递减区间是 A． B． C． D． 【答案】B。 因为 ，所以定义域为 。 内层 在 上递增，在 上递减。 外层 在 上递减，内外异向，所以 在 上递减。故选 B。 4．函数 在区间 上的值域是 A． B． C． D． 【答案】A。 。 当 时，，所以 。 于是 ，值域为 。故选 A。 5．已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B。 ，最小值 只在 处取得。 要在 上取到最小值 ，必须让 落在区间内，即 。 所以 。故选 B。 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的单调性与最值 一、知识点梳理 （一）单调性的定义 设函数 的定义域为 ，区间 。如果对 内任意两个自变量 、，当 时都有 ，就称 在区间 上单调递增， 叫它的一个单调递增区间；若都有 ，则称在 上单调递减。定义里的「任意」二字不能换成「存在」：只要找得到一对反例，单调性就不成立。教材用「任意两个自变量对应的函数值比大小」来刻画图象的上升与下降，这就是单调性的全部含义。 定义可以改写成差商的形式：对 内任意 ， 等价于在 上单调递增， 等价于在 上单调递减。这个比值的符号就是「函数值之差」与「自变量之差」的符号是否一致，一致则同向变化，函数递增。证明单调性时，把差化成这个比值或直接判断差的符号，都是正路。 单调区间必须写成区间，并且是定义域的子区间。一个函数有几个单调区间时，用「和」或逗号隔开，不能用并集符号连接。原因很直接：在并集上并不单调。例如 在 与 上都递减，但取 、 就有 ，在整个并集上反而是递增的。另外，单调区间的端点取开取闭不影响单调性，但端点必须在定义域内。 （二）用定义证明单调性 用定义证明单调性分五步：取值，在给定区间上任取 ；作差，算 ；变形，把差化成若干因式的积或商；定号，由 、 所在范围判断每个因式的符号；结论，说明差的符号与单调性的对应关系。五步缺一不可，其中「任取」两个字必须写出来，否则证明的只是个别点的情形。 变形是整套证明的核心，目标只有一个：把差写成符号一眼能看出的形式。分式型先通分，把差化成一个分式，分子再因式分解；多项式型直接因式分解，提出 ；含根式的用分子有理化，把根号搬到分母上。以 为例，，这样每个因式的符号都能由 、 的范围直接读出。 证明中最常见的四个错误：没有写「任取」，直接从特殊情况推出一般结论；变形不彻底，差还带着无法定号的式子就下结论；把 与 的推出方向弄反；忽略区间前提，把一个区间上的结论搬到整个定义域上。定号时还要注意分母的符号，在 上 ，在 上也是正的，但跨过 的两个点就不能这样直接判。 （三）复合函数与分段函数的单调性 形如 的函数，单调性由内层与外层共同决定：内层增、外层增，则整体增；内层增、外层减，则整体减；内层减、外层减，则整体增。一句话记法是「同增异减」，但用的时候要能说清是哪两层、各自在哪个区间上增或减。理由并不神秘： 增大时内层的值增大，外层把这个变化「传递」出去，方向相同就放大，方向相反就翻转。 讨论复合函数的单调区间，第一步永远是求定义域。比如 ，先由 得 ，再在这个范围内讨论内层 的增减。离开定义域谈单调没有意义，很多错误就是把区间写到了 之外。第二步是看外层在 的取值范围内是增还是减，第三步才合成结论。 分段函数在整个定义域上单调，要满足两个条件：每一段在各自区间上单调，且方向一致；分界点处「接得上」。以递增为例，左段的最大值（在分界点处的左极限）不能超过右段在分界点处的函数值，否则右段的起点比左段的终点还低，中间就出现了下降。这一步最容易被漏掉，含参数的分段单调题，结果往往就差在这个不等式上。 （四）函数的最值 设函数 的定义域为 。若存在 ，使得对任意 都有 ，则称 为最大值；若对任意 都有 ，则称 为最小值。定义里「存在」与「任意」两个词缺一不可：只说函数值不超过某个数，那叫上界，不叫最大值；最大值必须真的被取到。 二次函数在闭区间上的最值，看对称轴与区间的相对位置，分三种情形：轴在区间左侧，函数在区间上递增，最值在右端点；轴在区间右侧，函数在区间上递减，最值在左端点；轴落在区间内，最小值在顶点处，最大值在离轴较远的那个端点处。配方得到顶点是第一步，判断轴是否在区间内是第二步，两步都不能省。 （）是常考的一类：它在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取最小值 。这个结论可以用定义证明，也可以直接引用。当题目把定义域限制在某个闭区间上时，先看 是否落在区间内：落在区间内就取 ，落在区间外就取端点值，只代端点而不看 的位置，是这类题最常见的失分点。 自查：单调区间写「和」不写并集；用定义证明要写「任取」并把差化成可定号的形式；复合函数先求定义域再看内外层；分段单调别忘分界点接得上；求最值先看顶点是否在区间内。 二、典型例题 例1　单调区间不能写成并集 函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． 和 D． 变式1　同一类型：换一个系数再判断 函数 的单调递减区间是（　　） A． 和 B． C． D． 例2　分段函数在 R 上单调：别漏了分界点 已知 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2　分段单调：换一组系数再算接点 已知 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例3　复合函数单调区间：先求定义域 函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 变式3　复合函数：外层为减函数时方向翻转 函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 例4　闭区间上的最值：顶点是否落在区间内 已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式4　闭区间最值：换一组数据再走一遍流程 已知函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例5　 型：先看分界点是否在区间内 函数 在区间 上的最小值是（　　） A． B． C． D． 变式5　 型：求区间上的最大值 函数 在区间 上的最大值是（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 4．函数 在区间 上的值域是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $