2.2 函数的单调性与最值 专项训练 - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以考点-考法为框架，系统覆盖函数单调性与最值六大模块，从基础判定到新定义探究，逻辑递进且聚焦高频考点，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性判定与证明|3考法|定义法证明、复合函数求参、性质代数表达|从定义到复合函数，构建单调性判定体系| |单调性应用|3考法|比较大小、构造同构、解不等式|运用单调性解决函数值关系问题| |分段函数单调性|2考法|端点效应求参、与数列综合|结合分段函数特性深化单调性应用| |函数最值与值域|5考法|二次函数、对勾函数、绝对值函数等|覆盖各类函数最值求法，强化代数换元能力| |抽象函数综合|2考法|单调性判定、不等式恒成立|通过赋值推导提升抽象思维| |新定义探究|2考法|同号增函数、区间差最值|拓展单调性概念，培养创新意识|

2027届高三数学一轮复习专项训练 2.2 函数的单调性与最值 解析卷 答案速查表 2 考点一：函数单调性的判定与证明 2 考法1：定义法证明函数单调性 2 考法2：复合函数单调性判定与求参 3 考法3：单调性与凸凹性等性质的代数表达 4 考点二：利用函数单调性比较大小与解不等式 5 考法4：利用单调性直接比较函数值大小 5 考法5：构造同构函数比较大小 6 考法6：利用单调性脱去函数符号解不等式 6 考点三：分段函数的单调性与参数范围 8 考法7：分段函数单调性及端点效应求参数 8 考法8：分段函数单调性与数列及性质综合 9 考点四：函数的最值与值域 11 考法9：二次函数在闭区间上的最值与动区间分析 11 考法10：对勾函数模型与换元法求最值 11 考法11：绝对值函数的最值与几何意义 13 考法12：分段函数的最值与值域求参数范围 14 考法13：代数换元法与基本不等式综合求最值 16 考点五：抽象函数的单调性与最值综合 17 考法14：抽象函数的单调性判定与赋值推导 17 考法15：抽象函数不等式恒成立与构造求最值 19 考点六：单调性与最值的新定义探究 20 考法16：新定义同号增函数与单调性拓广 20 考法17：新定义区间差与最值存在性探究 21 2.2 函数的单调性与最值 方法总结 23 答案速查表 1 2 3 4 5 （1）；（2）见解析 C D （1）；（2） BCD 6 7 8 9 10 A A B A 11 12 13 14 15 B B D A A 16 17 18 19 20 B （1）；（2） A 2 21 22 23 24 25 D D A 26 27 28 29 30 D BCD A B 31 32 ACD BC 考点一：函数单调性的判定与证明 考法1：定义法证明函数单调性 1.（2026·河北沧州十二校·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 . （1）求 的值； （2）判断并证明 在 的单调性. 【答案】（1）；（2） 在 上单调递减，证明见解析. 【思路】第（1）问利用奇函数性质 及 列方程组求参数；第（2）问利用单调性定义，在区间 内任取 ，作差通分并因式分解，判断差值符号. 【解析】（1）∵ 是定义在 上的奇函数， ∴ ， 又由 ，故 . （2）由（1）中可知 ， 在 上单调递减， 证明：设 ，且 ， 则 ， ∵ ， ∴ ，，， 从而 ，即 ， 故 在 上单调递减. 考法2：复合函数单调性判定与求参 2.（2026·陕西西安新城·模拟）已知函数 在 单调递增，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】复合函数 与 ，外层函数为增函数，内层二次函数需在 单调递增且满足真数大于 0 的定义域要求. 【解析】若 在区间 单调递增， 则需满足对称轴 ，且在区间端点处真数大于等于 0（结合单调性保证恒正），即 ，故 ， 即 的取值范围是 . 故选：C. 3.（2026·河北沧州八县·检测）已知函数 （），若 在区间 存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先由真数大于 0 确定定义域，再利用复合函数“同增异减”规律求出单调递增区间，根据区间包含关系列不等式求解. 【解析】由 有意义，且 为正数，故其定义域为 . 设 ，对称轴为 ，抛物线开口向下. ∵ 是 的增函数，所以 在 单调递增，在 单调递减. ∴ 要使 在区间 存在单调递增区间，只需区间 与增区间 交集非空且在定义域内，即只需 ，即 . 故选：D. 4.（2026·安徽合肥一六八中·一模）已知函数 . （1）若函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围； （2）若 ，且 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问复合函数单调需内层一次函数单调且在闭区间上真数严格大于 0，分 与 讨论；第（2）问化简 判断其奇偶性与单调性，将不等式转化为自变量大小关系求解. 【解析】（1）令 ，则函数 在函数 单调递增， 所以 在 上单调，所以 或 ， 所以 . （2）由 ，得 ， 其定义域为 且单调递增，又 ， 所以 是奇函数， 所以 ， 所以 . 考法3：单调性与凸凹性等性质的代数表达 5.（2025·河北衡水中学·检测）（多选）对于函数 定义域中任意的 ，有如下结论： ①； ②； ③； ④. 下列函数能同时满足以上两个结论的有（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【思路】分别解析四个代数特征：①表示单调递增；②表示关于 中心对称或奇函数性质；③表示图象下凸（严格下凸函数，即琴生不等式）；④表示以 4 为周期或特定对称.逐项检验候选函数. 【解析】由① 可得，函数 在定义域内为增函数； 由② 可得，，即函数 为奇函数； 由③ 可得，函数 的图象向下凸； 由④ 可得，，即 ，说明函数 的周期为 4. 对于 A，函数 不是奇函数，图象向上凸，也没有周期，仅满足①，故排除； 对于 B，函数 是奇函数，且周期为 ，满足②④两个结论，故符合要求； 对于 C，函数 在 上单调递增，且其图象向下凸，满足①③两个结论，故符合要求； 对于 D， 是奇函数，且在 上单调递增，满足①②两个结论，故符合要求. 故选：BCD. 考点二：利用函数单调性比较大小与解不等式 考法4：利用单调性直接比较函数值大小 6.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知函数 ，若 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】分析函数 各组成部分的单调性，得出其在 上严格单调递增，再比较各输入自变量的大小关系. 【解析】∵ ，函数 在 上递增， 递增， 递增， ∴ 易知 是 上增函数. ∵ ， ∴ ，即 . 故选：A. 考法5：构造同构函数比较大小 7.（2024·江西上饶六校·模拟）若 ，则（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【思路】将方程 两边同构，转化为函数图象交点横坐标的比较，或构造单调函数 . 【解析】令 .易知 . ∵ ，∴ ； ∵ ，∴ . ∴ 为 和 图象交点的横坐标， 为 和 图象交点的横坐标. 在同一平面直角坐标系中作出 和 的图象， 由图象可得 . 故选：A. 考法6：利用单调性脱去函数符号解不等式 8.（2026·湖南·联考）已知函数 是定义在 上的增函数. 若 ，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】由单调性脱去外层函数符号转化为对数不等式，注意内层函数的定义域限制. 【解析】∵ 函数 是定义在 上的增函数，， ∴ ， 解得 ，所以 的取值范围是 . 故选：B. 9.（2026·重庆万州一中·模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，则 的最小值为（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【思路】由指数函数单调性解出自变量关系 ，令 ，将目标代数式换元后利用基本不等式求最小值. 【解析】解：∵ ，∴ ，即 . 又 ，∴ . ∵ 函数 在 单调递增， ∴ ，即 . 令 ，则 ， ∴ ，当且仅当 时取等. 又 ，当 时取等. 综上， 时， 取得最小值 4. 故选：A. 10.（2026·吉林长春·二模）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先判断 的奇偶性与单调性，将不等式转化为 ，脱去函数符号求指数不等式. 【解析】已知函数 ，则 ， ∴ 是奇函数. ∵ 是增函数， 是增函数， ∴ 是增函数. ∵ ， ∴ . ∵ 是单调递增函数， ∴ ，解得 . 所以 的取值范围是 . 考点三：分段函数的单调性与参数范围 考法7：分段函数单调性及端点效应求参数 11.（2024·全国一卷·检测）已知函数为 ，在 上单调递增，则 取值的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据二次函数在负半轴的对称轴位置保证单调递增，结合分界点 处的函数值大小关系（左极限值不超过右端点值）列不等式组求解. 【解析】∵ 在 上单调递增，且 时， 单调递增， 则需满足 ，解得 ， 即 的范围是 . 故选：B. 12.（2026·安徽合肥一六八中·一模）若 是 上的增函数，则实数 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】每段函数各自单调递增且分界点处左侧值不超过右侧值，列出不等式组求解. 【解析】当 时，若 为单调递增函数，则 ； 当 时， 递增. 若 是 上的增函数，则 . 故选：B. 13.（2025·河北省级联考·模拟）已知函数 是 上的增函数，且关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先由分段函数单调递增求出 的基本范围，再由单调性脱去函数符号将恒成立不等式转化为 ，用配方法求最值. 【解析】∵ 函数 与 均是增函数， ∴ 函数 是 上的增函数只需满足 ，即 ，解得 . 由 得 ，即 恒成立. ∴ 当 时，函数 取得最大值 ， ∴ ，即 . 因此，实数 的取值范围是 . 故选：D. 考法8：分段函数单调性与数列及性质综合 14.（2026·江西宜春十校·联考）已知函数 ，若 满足 且 ，都有 成立，则实数 的取值范围为 ；若数列 满足 ，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围为 ．那么下列 与 关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】分别求出实数集连续单调递增条件（分界点需满足 即 ）与离散数列递增条件（只需 即 ），比较两个集合的包含关系. 【解析】∵ 对 且 ，都有 成立， ∴ 是 上的增函数， ，解得 ，所以 . 数列 满足 ，且 是递增数列， ∴ ，即 ，解得 ，所以 . 故 . 故选：A. 15.（2026·湖南邵阳·二模）已知函数 ，，则 （　　） A. 是偶函数，且在 单调递增 B. 是偶函数，且在 单调递减 C. 是奇函数，且在 单调递增 D. 是奇函数，且在 单调递减 【答案】A 【思路】先根据解析式化简 时的 ，验证偶函数定义，并结合初等函数复合分析单调性. 【解析】当 时，， 则 ，， ∴ . 由 ，可知 为定义在 上的偶函数. 故选：A. 考点四：函数的最值与值域 考法9：二次函数在闭区间上的最值与动区间分析 16.（2026·江西赣州·二模）已知函数 在区间 上的最大值为 ，在区间 上的最大值为 . 若 ，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】翻折二次函数 ，顶点为 ，零点为 ，端点 .根据 所在不同区间段讨论两区间最大值 的表达式，解不等式 . 【解析】设 ，其对称轴为 ，零点为 ，顶点处值为 ，且 . 当 时，，此时 在 上单调递减， ∴ ，. 由 得 ，解得 ， 此时 . 当 时，，，，，， 区间 上 ，区间 上 ， 由 得 ，恒成立. 结合各区间综合求解，得 的取值范围为 . 故选：A. 考法10：对勾函数模型与换元法求最值 17.（2026·湖北新八校·二模）已知函数 ，则该函数的值域为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】分子分母含指数式，令 ，将函数转化为对勾函数形式 ，利用单调性求值域. 【解析】. 令 ，则 ，则原函数的值域等价于函数 的值域， 恒成立，即 单调递增， 当 时，，当 时，， 所以值域为 . 故选：B. 18.（2026·湖北黄冈·一模）已知函数 是偶函数． （1）求 的值； （2）若 ， 不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问由偶函数定义 解得 ；第（2）问化简 并求出其在 上的值域，将不等式进行参变分离，转化为关于新变量的对勾函数模型求最大值. 【解析】（1）∵ 是偶函数， ∴ ，即 ， 即 ，而 ， ∴ . （2）∵ ，∴ ， ∴ ，又 ∵ ，∴ . 面对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ 当 时，，∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ，令 ， ∴ ，. 而 在 上单调递增， 在 上单调递减， ∴ ，∴ 的取值范围是 . 考法11：绝对值函数的最值与几何意义 19.（2025·广西南宁·二模）已知函数 ，. 若不等式 的解集为 ，则 （　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【思路】去掉绝对值将函数分段写出，对参数 正负分类讨论，结合二次函数顶点与单调性分析值域与解集端点的对应关系. 【解析】. 根据选项可知：只需要考虑 . 要使不等式 的解集为 ， 当 时， 故 ， 由后式 . 当 时，无法满足 解集为 ，故舍去. 故选：A. 20.（2026·河北名校协作体·一模）作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为 和 ，则这两组数据间的闵氏距离 ，其中 表示阶数.若 ，，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】2 【思路】根据 1 阶闵氏距离定义写出表达式 ，利用几何距离意义或绝对值三角不等式分类讨论求最小值. 【解析】由题意得 ， 令 ，则 ， 所以当 时，； 时，， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 ，即 . 当 时，，当且仅当 时， 取得最小值 2. 当 时，，当且仅当 时， 取得最小值 2. 当 时，，当且仅当 时， 取得最小值 2. 综上所述， 的最小值为 2. 考法12：分段函数的最值与值域求参数范围 21.（2026·江西南昌·二模）已知函数 在定义域内有最小值，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】分别求出 时的基本不等式最小值 ，以及 时的下确界 ，由整体存在最小值要求左侧值域下界不小于右侧最小值. 【解析】当 时，，当且仅当 时取等号，最小值为 4. 当 时，. 要使函数 在定义域内有最小值，需满足 时的所有函数值都不小于 4，即 . 故实数 的取值范围是 . 故选：D. 22.（2026·山西晋中·模拟）已知 且 ，若函数 的值域为 ，则 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】分析左段指数函数的值域，再分析右段对数函数的值域，为保证并集为 ，右段底数需大于 1 且其下确界需覆盖左侧未取到的区域. 【解析】当 时， 单调递增，则 . 当 时，.要使函数 的值域为 ，则需 在 时的值域包含 ， 故需满足 ， 即 . 解得 . 故选：D. 23.（2025·安徽合肥·二模）已知函数 的最小值为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】按参数 处于分界点两侧（ 与 ）分类讨论，分别求出各段的局部最小值并与 比对. 【解析】①若 ，则 时，，且单调递增； 时，，则最小值为 . 若 存在最小值 ，则有 且 ， 得 . ②若 ，则 时，； 时，； 时，，且单调递减，，. 若最小值为 ，则 ，且 ，无解； 若最小值为 ，则 ，且 ，得 . 综上所述， 或 . 24.（2026·湖北圆创联盟·联考）已知函数 有最小值，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】分 、 以及 三种情况讨论每段函数的最值及下界，结合两段函数在交界处的衔接关系列不等式. 【解析】解：①若 ，当 时，；当 时，. 依题意需 ，解得 （舍去）. ②若 ，当 时，；当 时，，此时 ，则 . ③若 ，当 时，；当 时，， 则需 ，解得 . 综上，，所以填 . 考法13：代数换元法与基本不等式综合求最值 25.（2025·江西萍乡·二模）已知定义在 上的函数 满足：，且 ，都有 恒成立，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】令 赋值代入不等式，解出 的上界函数，通过换元 ，化为对勾函数求最值. 【解析】令 ，原不等式可化为： ， 代入 ，化简可得：. 令 ，得到 . 再令 ，可得：. 由对勾函数的单调性，可知 在 上单调递减， 所以当 时， 取得最小值 ， 所以 的最大值为 ，也即 的最大值为 . 所以 的最大值为 . 故选：A. 26.（2025·安徽皖北协作体·一模）函数 的值域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】分别分析两项函数在 上的单调性，由和函数的单调递减性质求出端点极限确定值域. 【解析】因为 与 在 上均为减函数， 且当 时，，所以 ， 故 的值域为 . 考点五：抽象函数的单调性与最值综合 考法14：抽象函数的单调性判定与赋值推导 27.（2026·湖北新八校·二模）定义在 的函数 满足：，且 时，，若 ，，，则 的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先由赋值法求出奇偶性与单调性，再构造辅助函数比较各输入自变量的大小. 【解析】，令 得 ，即函数 是奇函数. 下面判断函数 的单调性，令 ，则 ， 即 ，，即 ， ∴ 在 单调递增. ，，. 构造函数 ，则 ，易得 在 递增，在 递减， 则 ，即 ， ∴ ，又 在 单调递增，∴ . ∴ . 故选：D. 28.（2026·广东佛山·检测）（多选）已知函数 的定义域为 ，对任意正实数 ，函数 在 上单调递增，则（　　） A. B. C. 若 ，则 D. 【答案】BCD 【思路】该条件本质上反映 满足严格凸函数性质.通过构造特例检验 A，利用 单调性进行区间差分累加与裂项放缩判断 B、C、D. 【解析】对于 A，令 ， 则 在 上单调递增， 此时 ，所以 不一定成立，所以 A 错误； 对于 B，令 ，因为函数 在 上单调递增， 所以 ， 即 ，所以 B 正确； 对于 C，令 ，因为 是增函数， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ，所以 C 正确； 对于 D，令 ，因为 是增函数， 所以 ， 所以 ； 同理可得 ；；， 所以 . 所以 D 正确. 故选：BCD. 考法15：抽象函数不等式恒成立与构造求最值 29.（2025·江西百万大联考·联考）已知函数 的定义域为 ，对于任意的 ，都有 . 若 ，且 在 时恒成立，则 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】由条件式变形移项构造函数 ，确定其单调性，再将所求不等式转化为 ，利用单调性脱去函数符号. 【解析】因为 ，所以由 ，可得 ，即 . 令 ，则可知 在 上单调递增. . 由 可得 ，即 ， 则 在 时恒成立，解得 . 故选：A. 30.（2026·江西G20联盟·模拟）设函数 ，则（　　） A. 的最小值为 1 B. 的最小值为 C. 有一个实根 D. 有两个实根 【答案】B 【思路】对函数代数式进行几何代数化： 转化为抛物线上的点到定点的距离，后半部分转化为点到直线的距离，利用两点间线段最短求解. 【解析】因为 ， 所以 表示点 、 两点间的距离， 表示点 到直线 的距离， 点 在抛物线 上， 过点 作 ，垂足为 ，则函数 表示 ， 点 到直线 的距离为 ， 则当 三点共线且 在线段 上时， 有最小值，最小值为 ， 故 A 错误，B 正确； 无解，故 C 错误； 有一个实根，故 D 错误. 故选：B. 考点六：单调性与最值的新定义探究 考法16：新定义同号增函数与单调性拓广 31.（2026·湖南湘潭·二模）（多选）定义：当 且 时， 恒成立，则称 是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【思路】理解“同号增函数”概念本质：在函数值符号相同的各区域内，函数均需严格单调递增.逐项检验各函数在正值区间和负值区间上的单调性. 【解析】A 选项，由 得 ，由 得 ，又 在 、 上单调递增，故 A 正确； B 选项，，得 ，取 ，则 ，满足 ，但 ，不满足 的条件，故 B 错误； C 选项， 得 ， 得 ，因为 在 上单调递增，且 ，所以 在 上单调递增，则 在 、 上单调递增，故 C 正确； D 选项， 得 ； 得 ，因为 在 上单调递增， 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，故 在 、 上单调递增，故 D 正确. 故选：ACD. 考法17：新定义区间差与最值存在性探究 32.（2026·湖南天壹名校·模拟）（多选）下列函数 中，对于任意使得 有意义的 ，始终存在常数 ，使得 在区间 上的最大值与最小值之差为 的有（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【思路】根据单调性表达最值之差：若单调，最值之差为 ，令其等于 ，设 分离出关于参数与自变量的比值方程，探讨正实数解的存在性. 【解析】题目要求函数在区间 且 上的最值之差等于 . 对于选项 A，函数 的最值之差为 ，若要其等于 ，则必须满足 ，这与任意有意义的 均成立的要求矛盾，故 A 错误； 对于选项 B，函数 ，令 且 ，当 且 时，由 推导可得 ，因为 ，，因此必定存在正实数 ；同理，当 时，由 推导可得 ，必定存在正实数 ；当 时显然存在，故 B 正确； 对于选项 C，函数 ，令 ，当 时，由 ，，根据对数函数图象性质易知 ，可知必定存在正实数 ；当 时由 推导可得 ，同理可知必定存在正实数 ，故 C 正确； 对于选项 D，若 ，假设存在满足条件的正实数 与 ，令 ，因为 ，故有 ，由指数函数的单调性可知必有 ，则 ，由于 ，必有 ，进而要求 ，显然不存在，故 D 错误. 故选：BC. 2.2 函数的单调性与最值 方法总结 1. 利用定义法证明或判定单调性时，遵循“取值—作差—变形—定号—下结论”五步法，其中变形的核心是因式分解、配方或通分，必须确保公因式符号在给定区间内确定.（第1题） 2. 处理复合函数 的单调性时，牢记“同增异减”原则，同时切勿忽略内层函数 必须落在外层函数定义域内这一隐性前提.（第2、3、4题） 3. 运用单调性解不等式或比较大小时，先通过奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间内，再利用单调性脱去函数符号“”，注意必须联立内层函数的定义域限制.（第6、8、10题） 4. 面对结构特殊的方程或代数比较，可构造同构函数（如 与 ），利用函数的单调性将变量大小关系转化为函数单调性的应用.（第7、9题） 5. 分段函数在 上单调递增（减）时，需满足三个充要条件：①各段在其定义区间上单调递增（减）；②分界点处左侧极限（或函数值）不大于（不小于）右侧函数值（即“端点效应”）；若为离散数列递增，则仅需满足相邻项大小.（第11、12、13、14、15题） 6. 求分式型、指数对数复合型函数最值时，常采用换元法（如设 或 ）转化为对勾函数模型 ，结合其在 单调递减、在 单调递增的性质求极值与最值.（第17、18、25题） 7. 涉及几何背景或绝对值距离的函数最值，可将代数结构还原为平面几何中的“点到点距离之和”或“点到直线距离”，数形结合利用三角形三边关系或垂线段最短直接破解.（第20、30题） 8. 抽象函数的单调性推导与新定义问题，核心在于“特值代入”寻找特殊点，结合增量差分式 转化变形，利用凸凹性不等式与累加法进行严密放缩.（第5、27、28、31、32题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 2.2 函数的单调性与最值 练习卷 考点一：函数单调性的判定与证明 1 考法1：定义法证明函数单调性 1 考法2：复合函数单调性判定与求参 1 考法3：单调性与凸凹性等性质的代数表达 2 考点二：利用函数单调性比较大小与解不等式 2 考法4：利用单调性直接比较函数值大小 2 考法5：构造同构函数比较大小 2 考法6：利用单调性脱去函数符号解不等式 2 考点三：分段函数的单调性与参数范围 3 考法7：分段函数单调性及端点效应求参数 3 考法8：分段函数单调性与数列及性质综合 3 考点四：函数的最值与值域 4 考法9：二次函数在闭区间上的最值与动区间分析 4 考法10：对勾函数模型与换元法求最值 4 考法11：绝对值函数的最值与几何意义 4 考法12：分段函数的最值与值域求参数范围 5 考法13：代数换元法与基本不等式综合求最值 5 考点五：抽象函数的单调性与最值综合 6 考法14：抽象函数的单调性判定与赋值推导 6 考法15：抽象函数不等式恒成立与构造求最值 6 考点六：单调性与最值的新定义探究 7 考法16：新定义同号增函数与单调性拓广 7 考法17：新定义区间差与最值存在性探究 7 考点一：函数单调性的判定与证明 考法1：定义法证明函数单调性 1.（2026·河北沧州十二校·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 . （1）求 的值； （2）判断并证明 在 的单调性. 考法2：复合函数单调性判定与求参 2.（2026·陕西西安新城·模拟）已知函数 在 单调递增，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3.（2026·河北沧州八县·检测）已知函数 （），若 在区间 存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4.（2026·安徽合肥一六八中·一模）已知函数 . （1）若函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围； （2）若 ，且 ，求实数 的取值范围. 考法3：单调性与凸凹性等性质的代数表达 5.（2025·河北衡水中学·检测）（多选）对于函数 定义域中任意的 ，有如下结论： ①； ②； ③； ④. 下列函数能同时满足以上两个结论的有（　　） A. B. C. D. 考点二：利用函数单调性比较大小与解不等式 考法4：利用单调性直接比较函数值大小 6.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知函数 ，若 ，则（　　） A. B. C. D. 考法5：构造同构函数比较大小 7.（2024·江西上饶六校·模拟）若 ，则（　　） A. B. C. D. 无法确定 考法6：利用单调性脱去函数符号解不等式 8.（2026·湖南·联考）已知函数 是定义在 上的增函数. 若 ，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9.（2026·重庆万州一中·模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，则 的最小值为（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 10.（2026·吉林长春·二模）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考点三：分段函数的单调性与参数范围 考法7：分段函数单调性及端点效应求参数 11.（2024·全国一卷·检测）已知函数为 ，在 上单调递增，则 取值的范围是（　　） A. B. C. D. 12.（2026·安徽合肥一六八中·一模）若 是 上的增函数，则实数 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 13.（2025·河北省级联考·模拟）已知函数 是 上的增函数，且关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 考法8：分段函数单调性与数列及性质综合 14.（2026·江西宜春十校·联考）已知函数 ，若 满足 且 ，都有 成立，则实数 的取值范围为 ；若数列 满足 ，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围为 ．那么下列 与 关系正确的是（　　） A. B. C. D. 15.（2026·湖南邵阳·二模）已知函数 ，，则 （　　） A. 是偶函数，且在 单调递增 B. 是偶函数，且在 单调递减 C. 是奇函数，且在 单调递增 D. 是奇函数，且在 单调递减 考点四：函数的最值与值域 考法9：二次函数在闭区间上的最值与动区间分析 16.（2026·江西赣州·二模）已知函数 在区间 上的最大值为 ，在区间 上的最大值为 . 若 ，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 考法10：对勾函数模型与换元法求最值 17.（2026·湖北新八校·二模）已知函数 ，则该函数的值域为（　　） A. B. C. D. 18.（2026·湖北黄冈·一模）已知函数 是偶函数． （1）求 的值； （2）若 ， 不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围． 考法11：绝对值函数的最值与几何意义 19.（2025·广西南宁·二模）已知函数 ，. 若不等式 的解集为 ，则 （　　） A. B. 1 C. D. 2 20.（2026·河北名校协作体·一模）作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为 和 ，则这两组数据间的闵氏距离 ，其中 表示阶数.若 ，，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿. 考法12：分段函数的最值与值域求参数范围 21.（2026·江西南昌·二模）已知函数 在定义域内有最小值，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 22.（2026·山西晋中·模拟）已知 且 ，若函数 的值域为 ，则 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 23.（2025·安徽合肥·二模）已知函数 的最小值为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 24.（2026·湖北圆创联盟·联考）已知函数 有最小值，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法13：代数换元法与基本不等式综合求最值 25.（2025·江西萍乡·二模）已知定义在 上的函数 满足：，且 ，都有 恒成立，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 26.（2025·安徽皖北协作体·一模）函数 的值域为＿＿＿＿＿＿. 考点五：抽象函数的单调性与最值综合 考法14：抽象函数的单调性判定与赋值推导 27.（2026·湖北新八校·二模）定义在 的函数 满足：，且 时，，若 ，，，则 的大小关系为（　　） A. B. C. D. 28.（2026·广东佛山·检测）（多选）已知函数 的定义域为 ，对任意正实数 ，函数 在 上单调递增，则（　　） A. B. C. 若 ，则 D. 考法15：抽象函数不等式恒成立与构造求最值 29.（2025·江西百万大联考·联考）已知函数 的定义域为 ，对于任意的 ，都有 . 若 ，且 在 时恒成立，则 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 30.（2026·江西G20联盟·模拟）设函数 ，则（　　） A. 的最小值为 1 B. 的最小值为 C. 有一个实根 D. 有两个实根 考点六：单调性与最值的新定义探究 考法16：新定义同号增函数与单调性拓广 31.（2026·湖南湘潭·二模）（多选）定义：当 且 时， 恒成立，则称 是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（　　） A. B. C. D. 考法17：新定义区间差与最值存在性探究 32.（2026·湖南天壹名校·模拟）（多选）下列函数 中，对于任意使得 有意义的 ，始终存在常数 ，使得 在区间 上的最大值与最小值之差为 的有（　　） A. B. C. D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $