二次函数与幂函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

二次函数与幂函数 一、知识点梳理 （一）二次函数的解析式 二次函数有三种常用形式：一般式 （）；顶点式 ，其中 是顶点；两根式 ，其中 、 是图象与 轴交点的横坐标。三种形式描述的是同一个函数，区别只在于「已知什么」。教材先一般式、再顶点式与两根式，就是提示我们按题目给的条件挑形式，而不是一律设一般式。 选形式的判据很直接：给了三个普通点，用一般式；给了顶点或对称轴与最值，用顶点式；给了图象与 轴的两个交点，用两根式。用顶点式或两根式时，只剩一个待定系数 ，再代一个点就能定下来；若硬设一般式，就要解三元一次方程组，计算量大且容易出错。 三个易错点：用两根式时漏掉最前面的 ，把 当成通式；用顶点式时把顶点坐标的符号写反， 的顶点是 而不是 ；求出解析式后不检验，把已知点代回去看一眼，能挡掉大部分低级错误。 （二）二次函数的图象与性质 把 配方得 ，于是开口方向由 的符号决定，对称轴是直线 ，顶点是 。图象与 轴的交点恒为 ；与 轴的交点个数由 的符号决定，大于零有两个、等于零有一个、小于零没有。 单调性以对称轴为界： 时，在 上递减、在 上递增； 时正好相反。所以「函数在某个区间上递增」这类条件，翻译过来就是「该区间落在对称轴的某一侧」，这是含参二次函数题的第一反应。 图象变换遵循「左加右减、上加下减」：把 的图象向右平移 个单位得 ，向上平移 个单位得 。关于 轴对称的解析式是 ，关于 轴对称的是 ，关于原点对称的是 。这三种对称在二次函数里表现为开口方向与顶点位置的变化，画个草图就能核对。 （三）二次函数在闭区间上的最值 闭区间上求二次函数的最值，分三种情形：对称轴在区间左侧，函数在区间上单调，最值在端点；对称轴在区间右侧，同样在端点；对称轴落在区间内，最小值（或最大值）在顶点，另一个最值在离对称轴较远的端点。所以标准动作是：配方、写出对称轴、判断轴与区间的位置关系。 含参数时，参数通常出现在对称轴或区间端点上。轴动区间定时，按轴在区间左、中、右分三类讨论；轴定区间动时，按区间是否包含对称轴分两类。讨论完要把各类的结果合并，并且检查分类的边界（轴恰好在端点）是否重复或遗漏。 「在区间上恒成立」可以转成最值问题： 在区间 上恒成立，等价于 在 上的最小值不小于 ； 在 上有解，等价于最大值不小于 。一个是最小值、一个是最大值，「恒成立」与「有解」的区别就在这里，记混是这类题最主要的失分原因。 （四）幂函数 形如 （ 为常数）的函数叫幂函数，注意底数是自变量、指数是常数，这与后面要学的另一类函数正好相反。高中阶段重点研究五个：、、、、。它们的图象都经过点 ，在 上的增减由 的符号决定： 时递增， 时递减。 五个函数的性质要逐条记清： 定义域为 ，是奇函数，在 上递增； 定义域为 ，是偶函数，在 上递减、在 上递增； 定义域为 ，是奇函数，在 上递增； 定义域为 ，既不是奇函数也不是偶函数，在定义域上递增； 定义域为 ，是奇函数，在 与 上分别递减。 比较幂值的大小，先看指数是否相同：指数相同、底数不同，构造幂函数，用它在 上的单调性比较；底数与指数都不同，就找一个中间量搭桥，常用的中间量是 与 。例如判断一个幂值与 的大小，只需看底数大于 还是小于 、指数是正还是负。比较之前先把每个数化成同一种书写形式，避免看错。 自查：设二次函数先看条件挑形式（三点用一般式、顶点用顶点式、两交点用两根式）；闭区间最值先配方再看轴与区间的位置；幂函数比较大小先看指数是否相同。 二、典型例题 例1　已知顶点求解析式：用顶点式只定一个系数 已知二次函数 图象的顶点为 ，且经过点 ，则 A． B． C． D． ①按顶点设顶点式　顶点为 ，所以设 ，只剩一个待定系数 。 ②代入另一个点定 a　把 代入得 ，即 ，解得 。 ③展开成一般式　。 注：给了顶点就用顶点式，这是最省事的选择：只有 一个未知数，代一个点就够。若设一般式，要解三元方程组，既费时又容易在加减上出错。最后展开是为了与选项对照，答案本身写成顶点式也对。 【答案】C。 设 。 把 代入得 ，所以 。 于是 。故选 C。 变式1　已知两个交点求解析式：用两根式 已知二次函数 的图象经过点 与 ，且与 轴交于点 ，则 A． B． C． D． ①按交点设两根式　图象过 与 ，所以设 。 ②代入 y 轴上的点　把 代入得 ，解得 。 ③展开并检查　，顶点横坐标为 ，与两交点的中点一致。 注：与 轴的两个交点关于对称轴对称，所以两根式还能顺手给出对称轴：轴就是两交点横坐标的中点。本题两根为 与 ，对称轴为 ，可以用来检查展开后的一次项系数。 【答案】A。 设 。 把 代入得 ，所以 。 。故选 A。 例2　由单调区间反求参数：翻译成「区间在轴的一侧」 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． ①配方写出对称轴　，图象开口向上，对称轴为 ，在 上递减。 ②把条件翻译成区间包含关系　要在 上递减，需 含于 ，即 。 ③确认端点可以取等号　 时递减区间正好是 ，符合要求，所以端点可以取到。 注：含参二次函数的单调性问题，一律先配方写出对称轴，再把「在某区间上递减」翻译成「该区间落在对称轴左侧」。端点能否取等号，要看区间是开的还是闭的，本题左区间为 ， 时正好吻合。 【答案】B。 ，对称轴为 ，在 上递减。 由 得 。 所以 的取值范围是 。故选 B。 变式2　开口向下时方向相反 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． ①配方找对称轴　，开口向下，对称轴为 ，在 上递增。 ②把区间放进递增段　要在 上递增，需 ，即 。 ③检查端点　 时递增区间为 ，包含 ，符合要求。 注：开口向下的二次函数，对称轴左侧递增、右侧递减，与开口向上正好相反。做题时先写清开口方向，再写单调区间，这两步顺序颠倒，结论就会整个反掉。 【答案】D。 ，开口向下，在 上递增。 由 得 。 所以 的取值范围是 。故选 D。 例3　闭区间最值：顶点落在区间内 函数 在区间 上的最大值和最小值分别是 A．， B．， C．， D．， ①配方写顶点　，顶点为 ，图象开口向上。 ②判断顶点是否在区间内　，所以最小值在顶点处取得，为 。 ③比较两个端点定最大值　，，最大值为 。 注：顶点在区间内时，最小值在顶点、最大值在离对称轴较远的端点。本题对称轴 偏右，左端点 离轴更远，所以最大值在左端点取得。两端都算一遍再比较，是最稳的做法。 【答案】A。 ，顶点为 。 因为 ，所以最小值为 。 ，，所以最大值为 。故选 A。 变式3　开口向下时的闭区间最值 函数 在区间 上的最大值和最小值分别是 A．， B．， C．， D．， ①配方写顶点　，顶点为 ，图象开口向下。 ②顶点在区间内，最大值在顶点　，所以最大值为 。 ③最小值在端点　，，较小的是 ，所以最小值为 。 注：开口向下时，顶点给的是最大值，最小值在两个端点中取较小的一个。与开口向上的情形对照记忆：顶点总是给「离它最近的那个最值」，另一个最值一定在端点。 【答案】C。 ，顶点为 。 因为 ，所以最大值为 。 ，，所以最小值为 。故选 C。 例4　幂函数的图象与性质：逐条对照 下列函数中，在 上单调递减且为奇函数的是 A． B． C． D． ①先筛掉在 (0,+∞) 上不递减的　、、 的指数都为正，在 上都递增，只剩 。 ②再验证奇偶性　 满足 ，定义域 关于原点对称，是奇函数。 ③确认单调性　 在 上递减，两个条件都满足。 注：五个常见幂函数的指数符号决定 上的增减：指数为正则递增，为负则递减。这一条能先筛掉大部分选项，剩下的再查奇偶性与定义域，比逐个画图快得多。 【答案】B。 、、 在 上都递增，排除。 的定义域为 ，关于原点对称，且 ，是奇函数。 它在 上递减，符合要求。故选 B。 变式4　由图象上的点求幂函数的指数 已知幂函数 的图象经过点 ，则 A． B． C． D． ①代点求指数　把 代入得 ，即 ，所以 。 ②写出函数　。 ③求 f(3)　。 注：求幂函数解析式只需一个点，代入后比较指数即可。 这一步是常用的凑法：把已知函数值写成同底数的幂，指数就直接读出来了。 【答案】D。 由 得 ，所以 。 。故选 D。 例5　比较幂值：同指数用单调性，异指数找中间量 设 ，，，则 、、 的大小关系是 A． B． C． D． ①把三个数看成同一个幂函数的值　，，，它们都是 的函数值。 ②用单调性比较底数　 在 上递增，而 ，所以 。 ③用中间量核对　 使 ， 使 ，与单调性得到的结论一致。 注：比较幂值的第一步是「统一形式」：把带根号的写成指数形式，把 写成 ，这样三个数就成了同一个幂函数在三个不同点的函数值。指数相同是比较的前提，指数不同时不能直接套单调性。 【答案】C。 ，，。 在 上递增，且 ，所以 。故选 C。 变式5　比较幂值：指数相同、底数都小于 1 设 ，，，则 、、 的大小关系是 A． B． C． D． ①前两个数指数相同　 与 都是三次幂，用 在 上递增，由 得 。 ②后两个数底数相同　，，直接算值得 。 ③合起来排序　 且 ，所以 。 注：底数相同、指数不同的两个幂，本讲还没有专门工具，直接算出数值最稳妥。本题 、 都是简单分数，算出来一目了然，比套结论可靠。 【答案】A。 ，，。 由 得 。故选 A。 三、巩固练习 1．若二次函数 的最小值为 ，则 A． B． C． D． 【答案】D。 ，最小值为 。 由 得 。故选 D。 2．函数 的单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】B。 ，图象开口向下，对称轴为 。 开口向下的二次函数在对称轴左侧递增，所以递增区间是 。故选 B。 3．已知幂函数 的图象经过点 ，则 A． B． C． D． 【答案】A。 由 得 ，所以 。 ，于是 。故选 A。 4．已知二次函数 满足 ，，，则 A． B． C． D． 【答案】C。 由 与 可设 。 由 得 ，所以 。 。故选 C。 5．已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B。 ，最小值 只在 处取得。 要取到最小值，需 ，即 。故选 B。 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与幂函数 一、知识点梳理 （一）二次函数的解析式 二次函数有三种常用形式：一般式 （）；顶点式 ，其中 是顶点；两根式 ，其中 、 是图象与 轴交点的横坐标。三种形式描述的是同一个函数，区别只在于「已知什么」。教材先一般式、再顶点式与两根式，就是提示我们按题目给的条件挑形式，而不是一律设一般式。 选形式的判据很直接：给了三个普通点，用一般式；给了顶点或对称轴与最值，用顶点式；给了图象与 轴的两个交点，用两根式。用顶点式或两根式时，只剩一个待定系数 ，再代一个点就能定下来；若硬设一般式，就要解三元一次方程组，计算量大且容易出错。 三个易错点：用两根式时漏掉最前面的 ，把 当成通式；用顶点式时把顶点坐标的符号写反， 的顶点是 而不是 ；求出解析式后不检验，把已知点代回去看一眼，能挡掉大部分低级错误。 （二）二次函数的图象与性质 把 配方得 ，于是开口方向由 的符号决定，对称轴是直线 ，顶点是 。图象与 轴的交点恒为 ；与 轴的交点个数由 的符号决定，大于零有两个、等于零有一个、小于零没有。 单调性以对称轴为界： 时，在 上递减、在 上递增； 时正好相反。所以「函数在某个区间上递增」这类条件，翻译过来就是「该区间落在对称轴的某一侧」，这是含参二次函数题的第一反应。 图象变换遵循「左加右减、上加下减」：把 的图象向右平移 个单位得 ，向上平移 个单位得 。关于 轴对称的解析式是 ，关于 轴对称的是 ，关于原点对称的是 。这三种对称在二次函数里表现为开口方向与顶点位置的变化，画个草图就能核对。 （三）二次函数在闭区间上的最值 闭区间上求二次函数的最值，分三种情形：对称轴在区间左侧，函数在区间上单调，最值在端点；对称轴在区间右侧，同样在端点；对称轴落在区间内，最小值（或最大值）在顶点，另一个最值在离对称轴较远的端点。所以标准动作是：配方、写出对称轴、判断轴与区间的位置关系。 含参数时，参数通常出现在对称轴或区间端点上。轴动区间定时，按轴在区间左、中、右分三类讨论；轴定区间动时，按区间是否包含对称轴分两类。讨论完要把各类的结果合并，并且检查分类的边界（轴恰好在端点）是否重复或遗漏。 「在区间上恒成立」可以转成最值问题： 在区间 上恒成立，等价于 在 上的最小值不小于 ； 在 上有解，等价于最大值不小于 。一个是最小值、一个是最大值，「恒成立」与「有解」的区别就在这里，记混是这类题最主要的失分原因。 （四）幂函数 形如 （ 为常数）的函数叫幂函数，注意底数是自变量、指数是常数，这与后面要学的另一类函数正好相反。高中阶段重点研究五个：、、、、。它们的图象都经过点 ，在 上的增减由 的符号决定： 时递增， 时递减。 五个函数的性质要逐条记清： 定义域为 ，是奇函数，在 上递增； 定义域为 ，是偶函数，在 上递减、在 上递增； 定义域为 ，是奇函数，在 上递增； 定义域为 ，既不是奇函数也不是偶函数，在定义域上递增； 定义域为 ，是奇函数，在 与 上分别递减。 比较幂值的大小，先看指数是否相同：指数相同、底数不同，构造幂函数，用它在 上的单调性比较；底数与指数都不同，就找一个中间量搭桥，常用的中间量是 与 。例如判断一个幂值与 的大小，只需看底数大于 还是小于 、指数是正还是负。比较之前先把每个数化成同一种书写形式，避免看错。 自查：设二次函数先看条件挑形式（三点用一般式、顶点用顶点式、两交点用两根式）；闭区间最值先配方再看轴与区间的位置；幂函数比较大小先看指数是否相同。 二、典型例题 例1　已知顶点求解析式：用顶点式只定一个系数 已知二次函数 图象的顶点为 ，且经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 变式1　已知两个交点求解析式：用两根式 已知二次函数 的图象经过点 与 ，且与 轴交于点 ，则 （　　） A． B． C． D． 例2　由单调区间反求参数：翻译成「区间在轴的一侧」 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2　开口向下时方向相反 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例3　闭区间最值：顶点落在区间内 函数 在区间 上的最大值和最小值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 变式3　开口向下时的闭区间最值 函数 在区间 上的最大值和最小值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 例4　幂函数的图象与性质：逐条对照 下列函数中，在 上单调递减且为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 变式4　由图象上的点求幂函数的指数 已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 例5　比较幂值：同指数用单调性，异指数找中间量 设 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 变式5　比较幂值：指数相同、底数都小于 1 设 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．若二次函数 的最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 3．已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数 满足 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $