3.5 幂函数与二次函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数核心考点，按“定义-图像-性质-应用”逻辑分层设计题型，覆盖高考高频考法，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数|定义判断、图像识别、性质应用|围绕幂指数分类，考查定义域、奇偶性、单调性|从定义（系数为1）到图像特征（过定点、象限分布），再到性质综合（单调性比较、奇偶性判断）| |二次函数|图像分析、单调性、最值、恒成立|结合图像参数（开口、对称轴），考查区间分类讨论|从图像要素（a,b,c符号）到性质（单调性依赖对称轴），再到应用（最值求法、恒成立转化）|

§3.5 幂函数与二次函数·专项训练 目录 题型1：幂函数的定义及其图像 2 题型2：幂函数性质的综合应用 4 题型3：二次函数的图像 7 题型4：二次函数的单调性 10 题型5：二次函数的最值 12 题型6：二次函数有关的恒成立问题 16 题型1：幂函数的定义及其图像 【例1.1.】 函数的定义域为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求与幂函数有关的复合函数定义域 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 【例1.2.】 已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 【例1.3.】 已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为__________． 【答案】1或3或5 【难度】0.65 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、幂函数图象的判断及应用、根据幂函数值域求参数或范围 【分析】由题意，令求出k的范围，再根据，以及幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，由此求出k的值． 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当k＝4时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k的值为1或3或5． 故答案为：1或3或5． 【例1.4.】 下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数的性质逐一验证即可求解. 【详解】图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D． 图象②中幂函数是偶函数且在第一象限单调递增，幂指数必为正偶数，排除C． 故选：B. 【例1.5.】 函数的图象过定点______. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】幂函数图象过定点问题 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 题型2：幂函数性质的综合应用 【例2.1.】 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 【例2.2.】 以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】对于A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，A符合； 对于B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，B不符合； 对于C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，C不符合； 对于D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，D不符合． 【例2.3.】 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性计算即可. 【详解】易知，而单调递增，所以， 又，所以. 故选：A 【例2.4.】 已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 【例2.5.】 已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、解含有参数的一元二次不等式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）根据幂函数的定义以及偶函数性质分析求解即可； （2）转化问题解不等式，进而求解即可； （3）整理可得，分类讨论，结合含参一元二次不等式运算求解即可. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为奇函数，舍去； 当时，为偶函数，符合题意. 综上所述，. （2）因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且为偶函数， 则，等价于， 则，整理得，解得或， 所以的取值范围为． （3）由， 则，即， 当时，不等式为，则不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 题型3：二次函数的图像 【例3.1.】 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 【例3.2.】 （多选）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】二次函数的图象分析与判断 【分析】根据二次函数的图象和性质，分析给定的四个结论是否正确. 【详解】由函数的图象，可得函数的图象开口向下，与x轴有两个交点， ，，A正确； 由对称轴方程为，可得，，B不正确； 由，可得，C不正确； 由图象可得，根据函数的对称性，可得， 由可得，D正确. 故选：AD 【例3.3.】 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的解析式、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D 题型4：二次函数的单调性 【例4.1.】 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【例4.2.】 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、研究对数函数的单调性、对数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数“同增异减”的性质，结合对数函数与二次函数的性质确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 令，而函数在定义域内单调递减， 所以在区间上单调递减， 又因为，有恒成立， 则，求解可得 所以． 故选：D 【例4.3.】 已知在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】先求函数的对称轴，要使函数在区间上不单调，则必有对称轴在区间内，列出不等式即可. 【详解】由已知，函数的对称轴为， 又因为函数在区间上不单调， 则必有，即. 故选：C 【例4.4.】 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、判断指数型复合函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据分段函数的单调性，分段分析即可，注意分段点出也要满足单调增. 【详解】当时，，显然为增函数， 当时，，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴， 即即可， 当时，， 故的取值范围是， 故选：B. 题型5：二次函数的最值 【例5.1.】 设函数在区间上的最大值为，最小值为． (1)求与的值； (2)若，且函数在区间上是单调函数，求的取值范围． 【答案】(1)，或， (2)或. 【难度】0.65 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据二次函数的最值或值域求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）结合二次函数性质分、与讨论即可得； （2）借助二次函数对称轴公式及其单调性计算即可得. 【详解】（1）， 若，则，不符； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则，， 解得，； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 则，， 解得，； 综上所述，，或，； （2）由，则，，即， 则在区间上是单调函数， 则或， 若，则； 若，则； 综上所述：或. 【例5.2.】 已知函数. (1)求的解析式； (2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）利用换元法求解析式； （2）分、和三种情况讨论最值，列不等式求解即可. 【详解】（1）设，则， 从而，故. （2）由（1）可知，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 当，即时，在上单调递减， 则，则. 综上，的取值集合是. 【例5.3.】 已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)． (2) 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）根据二次函数的图象特点，可得； （2）讨论二次函数的对称轴和区间的三种位置关系，再根据函数的单调性即可求得. 【详解】（1）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，所以的最小值为， 综上可得，在上的最小值为 【例5.4.】 已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】对分情况①，②，③，④，⑤讨论，前四种情况都与矛盾，第五种情况可根据单调性求解. 【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 题型6：二次函数有关的恒成立问题 【例6.1.】 若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】令，根据x的范围，可得y的范围，由题意即可，代入计算，即可得答案. 【详解】令， 因为，所以，则， 由恒成立，得的最小值， 又， 所以，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 【例6.2.】 若，，对，均有恒成立，则的取值范围为________. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】设，，分和两种情况，构建，则，结合二次函数性质分类讨论求最值求解即可. 【详解】设，可得， 1.若，则， 可得对恒成立， 则，解得， 所以成立； 2.若，设，则， 可得对恒成立， 构建，则， （1）若，则二次函数的图象开口向上， 可得，消去解得； （2）若，则二次函数的图象开口向下，对称轴， ①当时，则在内单调递增， 可得，且， 则，解得； ②当时，则在内单调递减， 可得，且， 则，解得； ③当时，则， 整理可得， 即存在，使得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【例6.3.】 若对，使不等式成立，则的最小值是_______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【详解】因为 ， 所以， 即对，使不等式成立， 所以， 因为函数在上单调递增，所以． 所以恒成立， 的对称轴， 当时，函数在上单调递增， 所以，解得， 当时，函数在上单调递减， 所以，无解， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，无解， 综上，所以的最小值是. 故答案为：. 【例6.4.】 已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【难度】0.54 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.5 幂函数与二次函数·专项训练 目录 题型1：幂函数的定义及其图像 2 题型2：幂函数性质的综合应用 2 题型3：二次函数的图像 3 题型4：二次函数的单调性 4 题型5：二次函数的最值 5 题型6：二次函数有关的恒成立问题 5 题型1：幂函数的定义及其图像 【例1.1.】 函数的定义域为______. 【例1.2.】 已知，若是幂函数，且，则______. 【例1.3.】 已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为__________． 【例1.4.】 下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【例1.5.】 函数的图象过定点______. 题型2：幂函数性质的综合应用 【例2.1.】 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【例2.2.】 以下哪个函数既是奇函数，又是增函数（     ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【例2.5.】 已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)当时，求不等式的解集． 题型3：二次函数的图像 【例3.1.】 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 （多选）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 【例3.3.】 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 题型4：二次函数的单调性 【例4.1.】 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型5：二次函数的最值 【例5.1.】 设函数在区间上的最大值为，最小值为． (1)求与的值； (2)若，且函数在区间上是单调函数，求的取值范围． 【例5.2.】 已知函数. (1)求的解析式； (2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合. 【例5.3.】 已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 【例5.4.】 已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6：二次函数有关的恒成立问题 【例6.1.】 若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_______． 【例6.2.】 若，，对，均有恒成立，则的取值范围为________. 【例6.3.】 若对，使不等式成立，则的最小值是_______. 【例6.4.】 已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $