2.5 二次函数与幂函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦二次函数与幂函数核心内容，构建"概念-性质-应用"三维训练体系，渗透抽象能力与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识梳理|0|定义+图像+性质|从定义出发，通过图像直观呈现性质，构建"形式-图像-性质"认知链条| |二次函数解析式|10|多形式转化+实际应用|覆盖三种表达式互化，结合几何与实际问题，强化模型意识| |二次函数图像|12|图像识别+参数判断|通过图像特征反推函数性质，培养几何直观与推理能力| |复合函数问题|13|单调性+最值+零点|以二次函数为内核，拓展复合函数研讨，深化函数思想| |参数求解|23|单调性+值域+恒成立|综合运用性质求参，发展逻辑推理与运算能力| |幂函数|23|图像识别+比较大小|类比二次函数研究方法，建立幂函数性质认知框架|

2.5 二次函数与幂函数 基础知识梳理 1.二次函数 （1）二次函数的定义:形如的函数叫做二次函数. （2）二次函数的三种表示形式 一般式: 顶点式: 零点式: （3）二次函数的图象和性质 图象 定义域 值域     对称轴 顶点坐标 奇偶性 是偶函数 单调性 在上单调递减;在上单调递增 在上单调递增;在上单调递减 最值 当时, 当时, 2.幂函数 （1）幂函数的定义 一般地,形如的函数称为幂函数,其中是自变量是常数. （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 幂函数在上都有定义; 当时,幂函数的图象都过点和且在上单调递增; 当时,幂函数的图象都过点且在上单调递减. 3.二次函数相关结论 设二次函数则: （1）当时的最小值为最大值为 （2）当时的最小值为,最大值为 （3）当时的最小值为,最大值为 （4）当时的最小值为最大值为 题型一 二次函数解析式 1．已知函数的大致图象如图所示，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】结合函数图象过定点求解，再结合导数和极值点的性质建立关于的一元二次方程，根据韦达定理求解即可. 【详解】由图象可知，，，解得， 所以， 则， 由图象可知是函数的两个极值点， 令，则， 是方程的两个不同实数根，故． 2．如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出函数的解析式，代入可得. 【详解】设点在函数的图象上， 则点在函数的图象上， 所以，即，所以. 3．如图，的直径，点在上，且，为上一点，连接并延长，交于点，连接，，作于点，于点．设的长为，阴影部分的面积为，则与的关系式是______． 【答案】 【详解】因为为的直径，所以， 又因为，由可知， ，即可知四边形是正方形， 所以， 如下图所示，将绕点逆时针旋转，得到，， 则三点共线，， 所以，即； 因此， 在中，，所以； 所以； 因此与的关系式为. 4．某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）．      过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离______m． 【答案】 【分析】由题意设出二次函数的顶点式，代入即可求解. 【详解】由题意得轴右侧图象为二次函数的一部分，顶点为， 可设二次函数顶点式， 且，解得， 则， 则. 5．（1）已知二次函数的图象过点，，，求此二次函数的表达式． （2）当时，求函数的最小值（其中为常数）． 【答案】 （1）； （2）当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. 【分析】（1）设出二次函数表达式，利用待定系数法求解. （2）根据给定条件，利用二次函数性质分段求出最小值. 【详解】（1）设二次函数的表达式为， 则，解得， 所以所求二次函数的表达式为. （2） 函数，当， 即时，，取得最小值； 当时，，取得最小值； 当时，，取得最小值， 所以当时，最小值为； 当时，最小值为；当时，最小值为. 6．已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出解析式，根据条件得到方程组，求出解析式； （2）转化为， 分，和三种情况，得到不等式，求出答案 【详解】（1）设， 由， 得， 即， 所以，解得， 所以， 当时，取到最小值. 又的最小值为5，所以，解得. 所以. （2）由（1）知， 所以不等式， 即. 当时，二次函数开口向下， 不等式不可能对恒成立； 当时，不等式，即，其对恒成立； 当时，不等式，即， 因为对，不等式恒成立， 所以，即， 化简可得，所以且，解得或， 又，所以或. 综上所述，或，即实数的取值范围是. 7．已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数， 结合题干条件，利用待定系数法即可求解； （2）结合二次函数的性质，对称轴以及单调性，分析即可求解. 【详解】（1）不妨设二次函数， 由，可得，所以； 由，可得， 即，即，解得，故. （2）函数的图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，易知， 当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上没有最大值，符合题意； 综上所述，实数m的取值范围为． 8．若函数，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知 解得 （2）由题可得函数 9．已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出二次函数顶点式，代入即可求解； （2）分类讨论与对称轴的关系，结合二次函数单调性即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 10．已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，得，求解.再由的最小值为建立关于的方程并求解即可； （2）根据题意得对一切实数都成立，再利用判别式求解. 【详解】（1）因为， 所以，解得. 又因为的最小值为 所以，代入得，解得， 故. （2）当时，对一切实数都成立 即对一切实数都成立， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 题型二 二次函数的图像 1．已知二次函数，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为2，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件求出的关系，再利用二次函数图象性质按分类求解. 【详解】由二次函数的图象向右平移3个单位长度， 得的图象， 依题意，的图象过原点， 则，解得， 因此二次函数为， 该函数图象对称轴为，而当时，的最大值为2， 则当时，，，解得，符合题意； 当时，，，解得，符合题意， 所以的值为或. 2．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 3．已知函数，若是函数的一个极值点，则下列图象不可能为图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过是的一个极值点得到，然后再分情况确定函数图象. 【详解】由题意可得，， . 是的一个极值点， ，即，. ，，. 当时，，C选项图象可能； 当 时， ，B选项图象可能； 再看A，D选项，方程均有两根，不妨设为， 由韦达定理可得， 而选项A中，两根均大于1，图象不可能，D选项图象可能. 4．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数性质，结合二次函数图象特征判断即可. 【详解】当时，， 其图象是抛物线在轴及右侧部分，排除BC； 当时，，则恒成立， 其图象在轴下方，排除D，选项A符合题意. 故选：A 6．已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 7．判断函数与的图象的交点个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据二次函数和对数函数的性质，结合函数单调性划分区间，利用特殊值法判断区间端点的函数值大小，从而求出交点的个数． 【详解】 函数在上单调递增， 函数图象开口向上，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， ，， ， ，， 在区间上单调递增，在上单调递减，，， 函数与的图象在区间内有一个交点， ，， ， 在区间上单调递增，在上单调递增，，， 函数与的图象在区间内有一个交点， 是二次函数，增长越来越快，是对数函数，增长缓慢， 在区间上，恒成立，无交点， 综上，两个函数的图象共有2个交点，故C正确． 故选：C． 8．(多选)如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由图象知，，对称轴为，由对称轴公式得， 解得， 抛物线与轴交于轴正半轴，则时，， 则，故A错误； 由可得，故B正确； 抛物线与轴有2个不同交点，故一元二次方程有两个不等实根， 则，故C正确； 当时，，即是时的函数值， 由图象可知，时，，且， 故，故D正确． 9．(多选)已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数性质分析可知，，且，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD. 【详解】因为抛物线的图象开口向上，则， 且对称轴，则， 又因为抛物线的图象过点，， 则，可得，解得，故A正确； 例如，符合题意，但，故B错误. 因为，且，则， 所以，故CD正确； 10．(多选)已知函数（），且，则（   ） A． B．当时， C．若在内有零点，则 D．在内至少有一个零点 【答案】ABD 【分析】由，可得，，从而判断AB；由零点存在定理判断C；分、、讨论，判断D. 【详解】函数（）， ∵，∴，， ，A正确； 当时，，B正确； 若在内有零点，， 则，可得即可，不一定小于0，故C错误； 当时，，，在内至少有一个零点， 当时，，，， ∴在内至少有一个零点； 当时，，，， ， ∴在内至少有一个零点． 综上，函数在内至少有一个零点，D正确. 故选：ABD 11．(多选)已知，且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】分和，利用对数函数和二次函数的图象，结合各个选项的图象，即可求解. 【详解】若，函数的图象过定点且在上单调递减， 函数的对称轴，图象开口向上， 令，得到或，且时，， 结合各个选项可知，选项D正确， 若，函数的图象过定点且在上单调递增， 函数的对称轴，图象开口向上， 令，得到或，且时，， 结合各个选项可知，选项A正确. 故选：AD. 12．已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)开口向上，对称轴为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数图象的性质求解即可； （2）由已知可得恒成立， 结合二次函数的性质可得，解不等式即可． 【详解】（1） ， 对称轴为， 的开口向上，对称轴为； （2）由恒成立， 可得恒成立， ∴，即， 解得或， 实数a的取值范围为或． 题型三 与二次函数有关的复合函数问题 1．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 2．已知函数，在下列哪个区间一定是递增的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质分析的区间单调性及零点所在的区间，进而判断各区间的单调性，即可得. 【详解】对于， 其中，函数图象开口向上， 所以在R上存在两个不同的零点，且，对称轴为， 若，则， 故、上，上， 而，，则， 所以在、上单调递减，在、上单调递增， 综上，一定递增的区间有. 故选：B 3．对于二次函数，若函数有4个零点，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由至多有2个根， 则的根至多有4个，利用二次函数的图象即可求解. 【详解】令，，由至多有2个根， 则的根至多有4个， 故有4个根，所以有两个根， 且和各产生2个根， 从而，结合二次函数图象可知，必有， 故选：B． 4．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增， 列出不等式组，解之即得参数范围. 【详解】因为在上单调递增， 由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 5．(多选)已知函数，则（   ） A．当时， B．当时，是的极大值点 C．当时，的最小值大于 D．当时， 【答案】CD 【分析】通过换元将原指数函数转化为关于的二次函数，再结合二次函数性质、复合函数单调性、导数法逐一验证每个选项. 【详解】令，则转化为二次函数， 逐个分析选项： 对于A：当时，， 代入得，A错误； 对于B：当时，开口向上，对称轴， 因此在单调递减，在单调递增， 由于是增函数，复合后在处取极小值，不是极大值，B错误； 对于C：当时， 的最小值为， 因为 ，所以最小值大于，C正确； 对于D：当时，要证， 即， 整理得，即证， 令，， 当，时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，故恒成立， 原不等式成立，D正确. 6．函数的单调递增区间为___________. 【答案】 【分析】应用换元法结合对数函数单调性及复合函数单调法则计算判断求解. 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则， 当时，由，得， 所以函数的单调递增区间是. 7．函数的单调递减区间为_____． 【答案】 【分析】结合复合函数“同增异减”的单调性规则， 先求定义域再推导内层函数的对应单调区间即可 【详解】由题意可知，整理得， 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. 8．已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法令，利用二次函数最值的求法可得答案； （2）将不等式转化成一元二次不等式恒成立问题，分离变量可得答案. 【详解】（1）当 时，。 令 ，由 得 ， 则 ，， 为开口向上的二次函数，对称轴 ， ， ， 由，得， 所以 在上 的最大值为 . （2）不等式可化为， 令 ，则：，即， 因 ，两边同除以 ，得， 原不等式恒成立等价于 因为，由基本不等式，当且仅当 时取等， 所以，所以 可得 . 因此实数 的取值范围为 . 9．已知 为实常数，求函数的最小值． 【答案】 【分析】令，由，知，把原函数转化为关于的二次函数求解． 【详解】令，由，知． 化为， 其对称轴方程为． 因此该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当 时，有最小值． 10．已知函数. (1)若，，，求函数的最小值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，问题等价于求函数，的最小值，进而可求解； （2）通过和，利用单调性，去求解即可. 【详解】（1）当时，则， ，， 令，，问题等价于求函数，的最小值， 因为函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以， 所以函数的最小值为. （2）当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当时，函数在上单调递增，若， 则，解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 11．求函数的值域． 【答案】 【分析】利用三角换元求解即可. 【详解】由，得，解得， 令（）， 则（）， 代入得， 因，故， 因此。 即函数值域为 12．已知函数，且在上的最小值为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)33 (3) 【分析】（1）令，由二次函数性质计算可解； （2）由二次函数性质求解即可； （3）由函数单调可知在上恒成立，采用分离常数法令，由二次函数性质求解即可. 【详解】（1）令， 则开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； （2）由（1）知，时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，所以最大值为. （3）由（1）知，在上单调递增， 又， 由， 得在上恒成立， 所以问题即为在上恒成立， 所以， 设，令，则， 所以. 由二次函数性质可知函数在区间上单调递减， 所以当时，， 所以，即的取值范围为. 13．函数，. (1)记，求的取值范围. (2)记函数的最小值为，求. (3)求方程的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，根据二次函数和复合函数的单调性求解即可； （2）换元，令，，根据的不同取值范围结合一元二次函数的性质求解即可； （3）利用（2）中结论，按的不同取值范围分类讨论即可. 【详解】（1），其中，则， 因为，所以， 所以，. （2）由得， 所以， 令，，则有： ①当时，，， ②当时，在上单调递增，则， ③当时，是一个开口向下的二次函数，且对称轴，此时， ④当时，是一个开口向下的二次函数，且对称轴，此时， 综上：. （3）由（2）可知①当时，，此时解得； ②当时， 若，即，则，此时方程无解； 若，即时， ， 此时方程的解为； 综上，方程的解集为. 题型四 根据二次函数性质求参数 1．已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为函数在上具有单调性， 所以或，即或， 所以实数的取值范围为． 3．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的对称轴，讨论对称轴与区间的关系，从而得出的取值范围. 【详解】对于函数，其对称轴为， 要使函数在上是单调函数，则对称轴不在开区间上， 所以或，解得或，即的取值范围是. 4．已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的三个条件：两段分别单调递增、左段在分段点处的函数值不大于右段在分段点处的函数值，列不等式求解的取值范围. 【详解】分段函数在上为增函数，需同时满足以下三个条件： 当时，二次函数单调递增： 该二次函数开口向下，对称轴为， 需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 当时，单调递增： 对求导得，需对任意恒成立， 即对恒成立，故； 分段点处，左段的极限函数值不大于右段的函数值： 左段在时的函数值为， 右段在处的函数值为， 故，解得； 综上：实数的取值范围是. 5．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数在闭区间上有最大值3，最小值2， 所以，即的取值范围是. 6．已知二次函数的值域为，且不等式的解集为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数值域为非负的特征得到判别式为，结合不等式解集可得对应方程的根，通过韦达定理列方程求解. 【详解】由二次函数的值域为，开口向上， 可知其图像与轴仅有一个公共点，因此判别式. 不等式等价于，其解集为， 所以一元二次方程的两个实根为，. 根据韦达定理：，可得；，可得. 将，代入判别式，得，化简为， 即，解得或，因为，因此. 7．已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 8．已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分情况①，②，③，④，⑤讨论，前四种情况都与矛盾，第五种情况可根据单调性求解. 【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 9．若在上是增函数，则的取值范围是________，若在 上是减函数，则的范围是________. 【答案】 【详解】当，即时，在 上是增函数； 开口向下的二次函数无法在上递增，故，即， 对称轴方程为， 要使函数在 上是增函数，则， 解得.又，所以. 综上的取值范围是. 开口向上的二次函数无法在上递减， 则，即时，二次函数的图象开口向下， 要使在 上是减函数，则，解得， 所以的取值范围是. 10．函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】复合函数：，其中 外层函数底数，外层函数单调递增， 所以在上单调递减，且在区间恒成立. 是开口向上抛物线，对称轴： 所以， 所以a的取值范围是 11．若在上是减函数，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据函数的单调性可得在上恒成立，从而得在上恒成立，构造函数，求出其值域，即可求解. 【详解】因为在上是减函数， 所以在上恒成立（不恒等于0）， 即在上恒成立， 设，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，，所以， 因为在上恒成立，所以， 即的取值范围是. 12．若函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即，所以， 当时，函数对称轴， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即函数的值域为， 因为，所以此时函数的值域为，即， 综上所述：. 13．若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 【答案】 【分析】求解函数值为时的自变量取值，结合值域要求选取端点，使区间长度最大即可. 【详解】， 令，解得或， 由该函数在区间上的值域为， 要使得取最大值，则、， 即的最大值为. 14．已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】 ∵对任意的，恒成立，∴当时，. ∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或， ∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. 15．函数的最小值为______. 【答案】0 【分析】利用函数导数与函数单调性求最值，结合换元法与二次函数性质求解即可. 【详解】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 令，，则， 因为函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为， 即函数的最小值为0. 16．已知函数，其中． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在区间上是单调函数，求的取值范围． 【答案】(1)最小值，最大值 (2) 【分析】（1）求出函数的解析式，根据二次函数的性质即可求解； （2）将配方求出对称轴为，解不等式或即可求解. 【详解】（1）当时，， 函数图象的对称轴为， 因为， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以函数的最大值为，最小值为. （2）是关于的二次函数， 它的图象的对称轴为直线． 因为在区间上是单调函数， 所以或， 即或， 又， 所以的取值范围是. 17．设函数．若在区间上单调递增，且函数在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用函数单调性定位区间位置，再利用值域条件转化为方程根问题，化简方程得出根的分布情况，得出二次方程根的分布列不等式组，解不等式组求的取值范围． 【详解】由在区间上单调递增，则由题意可得，且， 即在上有两个不等的实数根， 所以在上有两个不等的实数根， 令，则， 解得：，故的范围为． 18．已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得出，再根据单调性求得，即可求解的范围． 【详解】，对称轴为， 在上单调递增，故， 因为在上单调递增()，所以， 要使恒成立，只需，即的取值范围为． 19．已知函数与． (1)若，求k的值； (2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，进而可得，求解即可； （2）利用二次函数的单调性和反比例函数的单调性可求得实数k的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 又所以，所以， 解得或（舍去），所以； （2）对于函数，它是二次函数，开口向下， 对称轴为， 因为在区间上是增函数，所以且； 对于函数，它是反比例函数向左平移2个单位得到的， 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增； 由在区间上是增函数，所以； 综上所述：实数k的取值范围为. 20．已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴范围求解； （2）对实数a的取值范围进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合已知条件可得出实数a的等式，即可解得实数a的值. 【详解】（1）因为图象的对称轴为． 又因为在上不单调，所以，解得． 即实数a的取值范围为． （2）由于区间的中点为， ①当，即时，， 所以，即，满足题意； ②当，即时，， 所以，即，满足题意． 综上可知，或． 21．已知函数 (1)若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合函数图象，分四种情况进行讨论，求出a的取值范围； （2）对对称轴分类讨论，结合函数单调性分析，即可求出a的值. 【详解】（1）①当时，解得：，此时， 则的零点为，0，不合题意； ②当时，解得：， 此时， 则的零点为，1，不合题意； ③当时，解得：， 当时，的零点为，不合题意； 当时，的零点为，不合题意； ④当时，， 解得：，此时满足方程在区间上有且仅有1个实根， 综上：a的取值范围是 （2）由的对称轴为 当 即 时， 在 上递增， 则 ，不合题意； 当 即 时，在 上递减， 则，不合题意； 当 即 时， 的最大值为 解得 （舍去）， 综上，a的值为 22．已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 【答案】(1)函数的最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）根据函数在的单调性讨论求解即可； （2）分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. （2），开口向上，对称轴为， 所以，当时，在上单调递增， 故，解得，满足； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，即，方程无解； 当时，在上单调递减， 故，解得，不满足； 综上，当时，函数在上的最小值为2. 23．已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列出不等式求解. （2）求出方程的两个根，再建立不等式组求解. （3）按图象对称轴与区间的关系分段求出最小值，并建立不等式求解即可. 【详解】（1）函数为开口向上的二次函数， 当恒成立时，， 即，所以. （2）由（1）知，由，得， 解得，， 由函数在区间上有两个零点，得，解得， 所以实数的取值范围. （3）依题意，，即，则， 而，又， 则，即，又，因此， （ⅰ）当时，在区间上单调递增，则， 于是，解得，且或，因此； （ⅱ），则，于是， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 题型五 幂函数的图像和性质 1．若幂函数在上为增函数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义及单调性求参数即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或． 当时，在上为增函数； 当时，不是增函数，所以． 2．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 【答案】A 【详解】由题可知， 解方程可得或， 解不等式可得， 所以， 综上：实数的值为. 3．已知三个数，，，，，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中间值法可得到a，b的大小，再构造函数可得到b，c的大小.. 【详解】先比较b和a，由得：； 由，两边取自然对数得，即，故； 再比较b和c，因为，两边取自然对数可得： ， 因为，利用换底公式可得：； ， 将两式联立，得到与的关系： ， 因为， 要比较和的大小，等价于比较与的大小， 将代入：， 这就转化为比较与的大小， 令(其中)， 求导：， 当时，，所以函数在上单调递减， 因为，所以， 即：， 所以， 两边再同除以（正数），得到： 即； 综上： 4．已知，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，， 所以. 5．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 6．已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 7．若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用指数函数及幂函数图象数形结合函数值得出范围. 【详解】令，， ，． ，， ∴结合图象得． ∴由图象关系可得． 8．(多选)下列命题是真命题的是（   ） A．若幂函数过点，则 B．， C．， D．命题“”的否定是“” 【答案】BD 【详解】对A，设，由 ，所以，故A错误； 对B，设，因为，， 所以，使得. 所以，使得，即 .故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”.故D正确. 9．(多选)下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数； 根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求； 选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数； 且在上单调递减，故B符合要求； 选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合； 选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合. 10．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 【答案】 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，解得. 11．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 12．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 13．已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 14．已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 15．已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 【答案】 【分析】先根据递减的指数函数图像得到，再由幂函数单调性判断、，从而比较出，，，大小. 【详解】由指数函数，单调递减，则 当时，有，即，所以. 由，是幂函数，由单调递增，则， 根据的函数图像，可得，单调递减，则. 所以. 16．幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 【答案】，，，. 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，当时，图象在上递增， 且越大，图象递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图象在上递减， 当时，函数的函数值为， 函数的函数值为， 因为，所以是曲线，是曲线； 综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 17．给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．请写出图象对应的解析式号码. 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案. 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 18．已知幂函数，且在定义域上不单调． (1)证明：是奇函数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)略 (2) 【分析】（1）先根据幂函数定义求出的可能值，再结合不单调条件确定，最后验证证明奇函数. （2）利用奇函数性质将不等式转化，再根据函数单调性分情况讨论求解的取值范围. 【详解】（1）根据幂函数的定义：幂函数的系数必须为1，即， 整理得，解得或， 若，则，根据幂函数的性质可知： 在和上都单调递减， 但在整个定义域上不单调，符合条件， 若，则，定义域为， 在定义域上单调递增，不符合“不单调”的条件，舍去， 因此，定义域为， 关于原点对称，且对任意定义域内的，有： ，故是奇函数 （2）因为，所以， 又因为是奇函数，所以， 由（1）可知，，根据幂函数的性质可得： 在和上单调递减， 所以不等式成立的条件是两个自变量同属一个单调区间， 且自变量的绝对值满足，同时自变量不能为0，即： 1）两个自变量都大于，，即，解得， 2）两个自变量都小于，，即，无解， 3）且，则，即，解得， 4）且，则，即，解得， 此时正数函数值小于负数函数值，不成立，舍去， 综上所述：的取值范围是. 19．已知幂函数在上单调递减，函数． (1)求实数的值； (2)记集合，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【分析】(1)结合幂函数的定义与单调性求解； （2）利用函数性质得到，，再利用得到，结合子集知识求解. 【详解】（1）由题意得，，解得或， 当时，，在上单调递减，满足题意； 当时，，此时在上单调递增，不满足题意. 综上，. （2）由（1）知，，又，则. .   . ，解得， 即实数的取值范围为. 20．比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数的单调性比较大小； （2）根据指数函数的单调性比较大小； （3）借助中间量及指数函数的单调性比较大小. 【详解】（1）由于指数函数在上单调递增，而，所以. （2）因为函数在上单调递减，而，所以， （3）因为在上单调递减，所以； 又在轴右侧， 函数的图象在的图象的上方，所以，所以. 21．存在一个，当时，为什么 一定成立？ 【答案】当，时，由的增长速度，存在，当时，三个函数的图象由上到下依次为指数函数，幂函数，对数函数，故一定有. 22．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且. (1)请指示出示意图中曲线分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象示意图，判断的大小． 【答案】(1)对应的函数为，对应的函数为. (2) 【分析】（1）结合指数函数以及幂函数的性质即可判断； （2）结合图象以及指数函数以及幂函数的性质判断的范围，即可判断，从而可判断出答案. 【详解】（1）根据指数函数和幂函数的递增变化趋势可知： 对应的函数为，对应的函数为， （2）当时，，两函数图象没有交点， 因为，， ，， 且、均为增函数， 所以，所以， 从图象上可以看出当时，，所以； 当时，，所以； 又因为， 所以． 23．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）根据 是幂函数得 ，再根据 是偶函数，且在 上单调递增得 为正偶数，从而求解出 解析式. （2）求出 解析式后根据单调性定义证明函数 的单调性. 【详解】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）在上单调递增， 证明如下：因为 ， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 二次函数与幂函数 基础知识梳理 1.二次函数 （1）二次函数的定义:形如的函数叫做二次函数. （2）二次函数的三种表示形式 一般式: 顶点式: 零点式: （3）二次函数的图象和性质 图象 定义域 值域     对称轴 顶点坐标 奇偶性 是偶函数 单调性 在上单调递减;在上单调递增 在上单调递增;在上单调递减 最值 当时, 当时, 2.幂函数 （1）幂函数的定义 一般地,形如的函数称为幂函数,其中是自变量是常数. （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 幂函数在上都有定义; 当时,幂函数的图象都过点和且在上单调递增; 当时,幂函数的图象都过点且在上单调递减. 3.二次函数相关结论 设二次函数则: （1）当时的最小值为最大值为 （2）当时的最小值为,最大值为 （3）当时的最小值为,最大值为 （4）当时的最小值为最大值为 题型一 二次函数解析式 1．已知函数的大致图象如图所示，则（    ） A． B． C．1 D． 2．如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（   ） A．17 B．5 C．3 D．2 3．如图，的直径，点在上，且，为上一点，连接并延长，交于点，连接，，作于点，于点．设的长为，阴影部分的面积为，则与的关系式是______． 4．某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）．      过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离______m． 5．（1）已知二次函数的图象过点，，，求此二次函数的表达式． （2）当时，求函数的最小值（其中为常数）． 6．已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 7．已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 8．若函数，且. (1)求的值； (2)求的值. 9．已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 10．已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 题型二 二次函数的图像 1．已知二次函数，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为2，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 2．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，若是函数的一个极值点，则下列图象不可能为图象的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．判断函数与的图象的交点个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．(多选)如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 9．(多选)已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 10．(多选)已知函数（），且，则（   ） A． B．当时， C．若在内有零点，则 D．在内至少有一个零点 11．(多选)已知，且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   12．已知函数. (1)求的开口方向和对称轴； (2)若对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； 题型三 与二次函数有关的复合函数问题 1．已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，在下列哪个区间一定是递增的（   ） A． B． C． D． 3．对于二次函数，若函数有4个零点，则有（   ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．(多选)已知函数，则（   ） A．当时， B．当时，是的极大值点 C．当时，的最小值大于 D．当时， 6．函数的单调递增区间为___________. 7．函数的单调递减区间为_____． 8．已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 9．已知 为实常数，求函数的最小值． 10．已知函数. (1)若，，，求函数的最小值； (2)若，求实数的取值范围. 11．求函数的值域． 12．已知函数，且在上的最小值为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 13．函数，. (1)记，求的取值范围. (2)记函数的最小值为，求. (3)求方程的解集. 题型四 根据二次函数性质求参数 1．已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的值域为，且不等式的解集为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若在上是增函数，则的取值范围是________，若在 上是减函数，则的范围是________. 10．函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________. 11．若在上是减函数，则的取值范围是______. 12．若函数的值域为，则的取值范围是________. 13．若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 14．已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 15．函数的最小值为______. 16．已知函数，其中． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在区间上是单调函数，求的取值范围． 17．设函数．若在区间上单调递增，且函数在区间上的值域为，求的取值范围． 18．已知函数在区间上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围． 19．已知函数与． (1)若，求k的值； (2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围． 20．已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 21．已知函数 (1)若方程在区间上有且仅有1个实根， 求a的取值范围； (2)若函数 在区间 上的最大值为 求a的值. 22．已知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)若函数在上的最小值为2，求实数a的值. 23．已知函数， (1)若不等式恒成立，求实数的值； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 题型五 幂函数的图像和性质 1．若幂函数在上为增函数，则（    ）． A． B． C． D． 2．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 3．已知三个数，，，，，，则（） A． B． C． D． 4．已知，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 5．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 6．已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若是方程的解，则属于区间（   ） A． B． C． D． 8．(多选)下列命题是真命题的是（   ） A．若幂函数过点，则 B．， C．， D．命题“”的否定是“” 9．(多选)下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 10．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 11．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 12．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 13．已知幂函数在上单调递减，则实数______． 14．已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 15．已知，是指数函数，，是幂函数，它们的图象如图所示，判断，，，的大小关系. 16．幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 17．给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．请写出图象对应的解析式号码. 18．已知幂函数，且在定义域上不单调． (1)证明：是奇函数； (2)若，求实数的取值范围． 19．已知幂函数在上单调递减，函数． (1)求实数的值； (2)记集合，集合，若，求实数的取值范围． 20．比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 21．存在一个，当时，为什么 一定成立？ 22．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且. (1)请指示出示意图中曲线分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象示意图，判断的大小． 23．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $