精品解析：浙江省余姚中学2025-2026学年高一上学期12月质量检测数学学科试题

余姚中学2025学年第一学期12月质量检测高一数学学科试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面．它是分别以正（图中虚线）的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆弧，，构成的封闭图形，称做鲁洛克斯（F．Reuleaux）三角形．则鲁洛克斯三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式，结合题意，可得答案. 【详解】鲁洛克斯三角形的周长为. 故选：B. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式把集合具体化，然后根据集合的运算法则可得答案. 【详解】由题意得： ，化简因式分解得：， 解得：，因此 ， 又因为，所以. 故选：C 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 已知，，，那么，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数单调性求得各数的范围，即可得结论. 【详解】，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，即. 故选：B. 5. 设方程的根为，方程的根为，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反函数的性质，解得直线的位置关系，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，作图如下：    由方程的根为，则函数与的交点为； 由方程的根为，则函数与的交点为. 由函数与的图象关于对称，且直线与直线垂直， 则与关于直线对称，即，， 由题意可得：，，则，， 所以. 故选：A. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是周期函数 B. 是偶函数 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据周期函数、偶函数的定义，结合赋值法逐一判断即可. 【详解】A：在中，令， 得 ， 所以是周期函数，因此本选项说法正确； B：在中，令， 得， 在中，令，得 ， 所以是偶函数，因此本选项说法正确； C：在中，令，得 ， 在中，令，得 ，所以本选项说法错误； D：由上可知：， 所以， 在中，令， 得， 所以， 于是，所以本选项说法正确， 故选：C 7. 已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，可判断AB选项；利用三角函数图象变换可判断CD选项. 【详解】若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等， 对于A选项，， 所以，函数的振幅为，函数的振幅为， 所以，这两个函数的振幅不相等， 故与的图象不能通过平移重合，A错； 对于B选项，， ， 函数的振幅为，函数的振幅为， 所以，与的图象不能通过平移重合，B错； 对于C选项，因为，， 将函数的图象向左平移个单位长度可与函数的图象重合，C对； 对于D选项，， 函数与的图象不能通过平移重合，D错. 故选：C. 8. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，根据的奇偶性、单调性得到不等式恒成立，通过换元去绝对值求解. 【详解】令，则，其定义域为. 由，得， 所以为奇函数. 因为为R上的增函数，为R上的减函数， 所以函数为R上的增函数. 恒成立， 即恒成立， 所以恒成立. 所以恒成立， 因为函数为R上的增函数， 因此有，即恒成立， 令，则 （1）当时， 若，； 若，； 若， 所以的最小值为， 由，解得； （2）当时，， 所以的最小值为， 由，解得. 综上，的取值范围为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点对称 C. 的图象过点 D. 的图象的对称轴是， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式、正弦和余弦的二倍角公式把函数的解析式化成正弦型函数解析式形式，再结合正弦型函数的最小正周期公式、对称性、特殊角的正弦值逐一判断即可. 【详解】 . A：的最小正周期是，所以本选项结论正确； B：因为， 所以的图象关于点对称，因此本选项结论不正确； C：因为， 所以本选项结论正确； D：令， 所以本选项结论正确， 故选：ACD 10. 若函数满足：对任意，，有，则称函数具有严格次可加性，下列结论正确的是（ ） A. ，具有严格次可加性 B. ，具有严格次可加性 C. ，具有严格次可加性 D. 若函数具有严格次可加性，那么， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据判断A；根据判断B；取时的情况判断C；根据归纳递推判断D. 【详解】对于A，对任意，，有 因为对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 即，具有严格次可加性，故A正确； 对于B，对任意，，有，，，， 则 ，即，故错误； 对于C， 取，则，，所以，故错误； 对于D，函数具有严格次可加性，故，，……，，， 所以，，，故正确. 故选：AD 11. 已知定义域为的函数在区间内恰有一个零点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据求解判断；对于B，根据且求解判断；对于C根据或求解判断；对于D，根据分为，，并结合二次函数性质求解判断. 【详解】注意到，， 对于A，若，，开口向下，故要使函数在区间内恰有一个零点，只需，即，解得，故正确； 对于B，若，，，要使函数在区间内恰有一个零点，只需开口向下且，即且，解得，故正确； 对于C，若，，要使函数在区间内恰有一个零点，只需或，解得或，故错误； 对于D，若，， 当时，函数开口向下，要使函数在区间内恰有一个零点，只需，即，解得，即时满足题意； 当时，得，满足题意； 当时，要使函数在区间内恰有一个零点，只需或，解得或， 综上，若时，要使函数在区间内恰有一个零点，则或，故正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可知：， ， 当时，即时，显然不成立， 当时，， 因为，且， 所以有或， 所以该函数的值域为， 故答案为： 13. 国庆期间，一个小朋友买了一个体积为的彩色大气球，放在自己的房间内，由于气球密封不好，经过天后气球体积变为.若经过15天后，气球体积变为原来的，则至少经过__________天后，气球体积不超过原来的（，结果保留整数）. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，设天后体积变为原来的，则，两式相除，结合对数的运算求出，即可得解. 【详解】由题意得，经过天后气球体积变为，经过天后，气球体积变为原来的， 即，即，则， 设天后体积变为原来的，即，即，则， 两式相除可得， 即， 所以天，则至少经过天后，气球体积不超过原来的. 故答案为： 14. 若对任意的，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由函数周期求得的取值范围，讨论的不同取值范围，由取值范围求得取值范围，由题意得到集合的包含关系，建立不等式组，结合题意求得的范围. 【详解】由题意可知，即，∴. 当时，∵，∴， 由题意可知， 即，解得 当时，取最小值， 当时，取最大值， 当，即时，， 取则，且，则， 取则，. 当，为常数函数，不合题意. 当时，∵，∴， 由题意可知， 即，解得 当时，取最小值， 当时，取最大值， 当，即时，， 取则， ∴ 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：. （2）已知，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的换底公式和运算公式，结合指数幂的运算公式进行求解即可； （2）利用诱导公式、正弦和余弦二倍角公式，结合完全平方和公式、同角的三角函数关系中的平方和关系进行求解即可. 【详解】（1） （2） ， 因此. 16. 设全集，集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先化简集合，解出集合范围，代入集合，求即可； （2）首先对条件化简为，再对集合进行因式分解后，根据根的大小分情况讨论，同时要考虑的特殊情况. 【小问1详解】 等价于，解得或，故集合， 当时，集合的不等式为，解得，故集合. 因此. 【小问2详解】 由可知，因为，所以. 集合的不等式因式分解为， 判别式. 当时，，不等式为，解集，满足； 当时，，故集合， 需满足且，解得； 当时，，故， 需满足且，但与无交集，无解. 综上所述，实数的取值范围为或. 17. 近期某高中将迎来建校100周年庆祝活动，为了迎接即将到来的校友们，学校计划对原有的校友活动中心进行改造，如图所示，原校友活动中心是以为半径的扇形区域，旁边是一个矩形花园，可利用部分是扇形区域和花园周边.其中，点在上，，，米，米，米. （1）现将花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，求矩形花园的面积的最小值； （2）在可利用区域中，设置一块矩形作为休息室，求休息室面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数定义，结合矩形面积公式、基本不等式进行求解即可； （2）根据锐角三角函数定义、辅助角公式，结合矩形面积公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可 【小问1详解】 令，由矩形的性质可得，，， 在直角三角形中，， 因为在射线上，且， 所以 在直角三角形中，， 设矩形花园的面积为， ， 因为， 所以， 即， 当且仅当时取等号，即当时取等号，显然， 所以当时，矩形花园的面积有最小值； 【小问2详解】 连接，设， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中， ， 所以矩形的面积为 ， 当时，矩形的面积有最大值， 即当时，矩形的面积有最大值. 18. 已知函数（，是实数且）是奇函数，. （1）求的解析式； （2）若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求出； （2）通过换元，根据题意转化为的值域，即，分类讨论即可； （3）将题意转化为，分类讨论即可. 【小问1详解】 函数是奇函数，， 左边分子分母同乘，得， 即， ，又，，. 【小问2详解】 ，当时，，则，故， ， 令，，，则， 又对任意的，总存在，使得成立， 即的值域，即， 又图象的对称轴为，若，在递增，； 若， ，此时无解； 若，在递减，，此时无解， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 在上单调递减，则， 又存在，使得不等式对任意，恒成立， ， ，，其图象对称轴为， 若，在递增， ，解得； 若，在递减，在递增， ， ，解得，即； 若，在递减，在递增， ， 即，解得，即； 若，在递减， ，即 综上，，则的取值范围为. 19. 函数的凹凸性是函数的重要性质之一，下面给出函数凹凸性的定义： 定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数.，，有，当且仅当时等号成立. 定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数.，有 ，当且仅当时等号成立.将定义1和定义2中的“≤”改为“≥”，则相应地称函数为上的下凹函数. 可以证明定义1与定义2等价.试运用以上信息解答下面的问题： （1）若，试根据定义判断在上的凹凸性； （2）已知为上的下凸函数，设，且，求的最小值； （3）设为大于或等于1的实数，试根据定义证明：.（提示：可设） 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据下凸函数的定义，利用作差法证明即可； （2）构造，并说明它在上为下凸函数，再利用定义2求出最小值； （3）首先利用分析法，将不等式进行变形，并转化为证明在上为下凸函数. 【小问1详解】 因为的定义域为， 任取， 则 . 即，所以在上为下凸函数. 【小问2详解】 令，因为在上为下凸函数， 所以函数，在上为下凸函数， 依题意，， 即， 因此， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【小问3详解】 设，因为，所以， 要证， 只需证明， 下面证：在上为下凸函数. 设，则， 下面证，即证， 即证， 化简得， 即证， 又，所以，所以式显然成立， 所以成立， 所以在上为下凸函数， 则得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2025学年第一学期12月质量检测高一数学学科试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面．它是分别以正（图中虚线）的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆弧，，构成的封闭图形，称做鲁洛克斯（F．Reuleaux）三角形．则鲁洛克斯三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，那么，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 设方程的根为，方程的根为，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是周期函数 B. 是偶函数 C. D. 7. 已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点对称 C. 的图象过点 D. 的图象的对称轴是， 10. 若函数满足：对任意，，有，则称函数具有严格次可加性，下列结论正确的是（ ） A. ，具有严格次可加性 B. ，具有严格次可加性 C. ，具有严格次可加性 D. 若函数具有严格次可加性，那么， 11. 已知定义域为的函数在区间内恰有一个零点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域是_____. 13. 国庆期间，一个小朋友买了一个体积为的彩色大气球，放在自己的房间内，由于气球密封不好，经过天后气球体积变为.若经过15天后，气球体积变为原来的，则至少经过__________天后，气球体积不超过原来的（，结果保留整数）. 14. 若对任意的，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：. （2）已知，求的值. 16. 设全集，集合， （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 近期某高中将迎来建校100周年庆祝活动，为了迎接即将到来的校友们，学校计划对原有的校友活动中心进行改造，如图所示，原校友活动中心是以为半径的扇形区域，旁边是一个矩形花园，可利用部分是扇形区域和花园周边.其中，点在上，，，米，米，米. （1）现将花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，求矩形花园的面积的最小值； （2）在可利用区域中，设置一块矩形作为休息室，求休息室面积的最大值. 18. 已知函数（，是实数且）是奇函数，. （1）求的解析式； （2）若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围. 19. 函数的凹凸性是函数的重要性质之一，下面给出函数凹凸性的定义： 定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数.，，有，当且仅当时等号成立. 定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数.，有 ，当且仅当时等号成立.将定义1和定义2中的“≤”改为“≥”，则相应地称函数为上的下凹函数. 可以证明定义1与定义2等价.试运用以上信息解答下面的问题： （1）若，试根据定义判断在上的凹凸性； （2）已知为上的下凸函数，设，且，求的最小值； （3）设为大于或等于1的实数，试根据定义证明：.（提示：可设） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $