精品解析：辽宁兴城市某校2026-2027学年八年级上学期第一次阶段检测数学试卷

辽宁兴城市某校2026-2027学年八年级上学期第一次阶段检测 数学试卷 （本测试题共23小题 满分120分 考试时间100分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 2. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若，的周长为12，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6. 如图，是的角平分线，分别是的高，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的平分线交于点是与的平分线的交点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 9. 为锐角，，点C在射线上，点B到射线的距离为d，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 10. 如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，阳光房的屋顶框架都采用三角形结构，所涉及的数学原理是______________． 12. 已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为________． 13. 如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为________． 14. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 15. 建立平面直角坐标系使线段的端点的坐标为，端点的坐标为，若存在点能使与全等，则点的坐标为________．（点C不与点重合） 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求解答下列问题： （1）若等腰三角形的两边长分别为x，y，满足，求的周长； （2）三边长分别为a，b，c，若，且为整数，求的周长的最大值． 17. 如题图，已知． （1）请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： （2）若，比的2倍小，求的度数． 18. 如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 19. 如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 20. 在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 21. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 22. 【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． （1）图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； （3）图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 23. 八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． （1）【初步探索】：如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是____________． （2）【灵活运用】：如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】：如图3，在五边形中，，，为边上的中线，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁兴城市某校2026-2027学年八年级上学期第一次阶段检测 数学试卷 （本测试题共23小题 满分120分 考试时间100分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误，不符合题意； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误，不符合题意； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误，不符合题意； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解决此题的关键是熟练运用三边关系解决相关题型． 2. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 3. 如图，在中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，利用三角形内角和定理求出，结合已知条件得到，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角，  ∴． 4. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等． 【详解】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意； C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 5. 如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若，的周长为12，则的周长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段中点的定义可得，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为12，可得，从而求出的周长，即可解答． 【详解】∵点D是AC的中点， ∴， 由题意得： ED是AC的垂直平分线， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 6. 如图，是的角平分线，分别是的高，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理. 根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，根据三角形的面积公式即可得出. 【详解】解：A.∵是的角平分线，且分别是的高， ∴， 该选项正确，不符合题意； B.∵分别是的高， ∴， 由选项A得，， 又∵， ∴， ∴， 该选项正确，不符合题意； C.根据给出条件，不能得出，该选项错误，符合题意； D. 由选项A得，，且分别是的高， ∴， 该选项正确，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，的平分线交于点是与的平分线的交点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握角平分线的定义． 根据角平分线得出相等的角，求出，再利用三角形外角的性质定理进行求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 9. 为锐角，，点C在射线上，点B到射线的距离为d，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，点到直线的距离，先找出点的位置，画出所有情况即可得到答案． 【详解】解：过点作于， 点B到射线的距离为d， ①当点和点重合时，，此时是一个直角三角形； ②当时，此时点的位置有两个，即有两个； ③当时，此时形状、大小是唯一确定， 所以x的取值范围是或． 故选A． 10. 如图，在中，交于，平分交于，为延长线上一点，交的延长线于点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，余角的性质等知识，利用余角的性质可判定①、②；利用角平分线的性质可判断③；利用全等三角形的判定可判定④． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵无法判断， ∴无法判断，故①错误； ∵，， ∴，， ∴，故②正确； ∵平分， ∴E到、的距离相等，设这个距离为 ∴，故③正确； 在和中， ， ∴，故④正确， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，阳光房的屋顶框架都采用三角形结构，所涉及的数学原理是______________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【详解】略 12. 已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据全等三角形周长相等可列方程，求解即可得出答案． 【详解】两个三角形全等， 两三角形的周长相等， ， 解得：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形周长相等是解题的关键． 13. 如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解． 【详解】解：连接， 点D、E、F分别是线段、、的中点， ，，， ， ∴， 的面积为10， ， 故答案为：． 14. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，分别过点与点作、垂直于地面，与地面的交点为点、， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵与地面垂直，即， ， 爸爸与妈妈站立时与地面垂直，即， ∴四边形与四边形都是矩形， ∴，， 又∵妈妈在距地面高的处接住小丽，即， ∴， ∴， ∴， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度为． 15. 建立平面直角坐标系使线段的端点的坐标为，端点的坐标为，若存在点能使与全等，则点的坐标为________．（点C不与点重合） 【答案】或或 【解析】 【分析】利用三角形全等的判定方法，当，，而为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为，当，，为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为或． 【详解】解：如图， ∵点，， ∴，， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为或， 综上所述，C点坐标为或或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求解答下列问题： （1）若等腰三角形的两边长分别为x，y，满足，求的周长； （2）三边长分别为a，b，c，若，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】（1）的周长为13或14 （2）19 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出x、y的值，再讨论腰长，结合构成三角形的条件求解即可； （2）根据三角形三边的关系求出c的取值范围，确定c的最大值即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ∴， ∴， ． 当腰为4时，，能构成三角形，的周长为． 当腰为5时，，能构成三角形，的周长为． 综上所述，的周长为13或14． 【小问2详解】 解：， ，即． 为整数， 的最大值为9， 的周长的最大值为． 17. 如题图，已知． （1）请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： （2）若，比的2倍小，求的度数． 【答案】（1）如图： （2） 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点E、F，再以点C为圆心，相同的半径作弧，交于点G，以点G为圆心，为半径作弧，交另一条弧于点O，连接并延长，再以点C为圆心，为半径作弧，交射线于点D，即可得，，连接，再利用“” ，即可求解； （2）由题意得，根据三角形内角和定理可得，求得，从而可得，由（1）可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：以点C为顶点，为的一条边，作，， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵比的2倍小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 【点睛】本题考查作图−三角形、全等三角形的判定、三角形内角和定理及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定和作三角形方法是解题的关键． 18. 如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 19. 如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 略 20. 在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 【答案】（1）证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， 【解析】 【分析】（1）先证明，，再利用证明，可得到，则； （2）过点C作于H，于K，证明，得到，则可证明平分，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】（1）①，； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【小问1详解】 解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ② 略 【小问2详解】 解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 22. 【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． （1）图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； （3）图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）解： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）相等，； （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，； ． 【小问3详解】 解：是的重心， ， ， ， ． 23. 八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． （1）【初步探索】：如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是____________． （2）【灵活运用】：如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】：如图3，在五边形中，，，为边上的中线，求证：． 【答案】（1），； （2），理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ， 即， 在和中， 延长交于，如图所示： ，即 （3）证明：延长，交于点，如图所示： ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， 【解析】 【分析】（1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论； （3）延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可 【小问1详解】 延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $