精品解析：山东临沂市兰山区临沂商城实验学校2026-2027学年上学期阶段性质量检测 九年级数学试题

临沂商城实验学校阶段性质量检测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 3. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 顶点坐标为 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 函数有最小值5 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线顶点式可直接获取开口方向、顶点坐标、对称轴等信息，以此判断各选项正误． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，A错误． ∴顶点坐标为，B错误． ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大，C正确． ∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，D错误． 5. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 6. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 7. 已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（ ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而减小 D. 方程的正根在3与4之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图表可得，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意； 当时，，即抛物线与轴的交点为， 即抛物线与轴交于正半轴，故选项B错误，不合题意； ∵该函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，选项C正确，符合题意； 根据二次函数图象的对称性质可知，当时，， 可知方程的正根在2与3之间，故选项D错误，不符合题意． 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴位置确定，的符号，然后结合一次函数图象的增减性、与轴交点的符号，判断、是否前后一致． 【详解】解：A．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左下向右上倾斜，说明，二者矛盾，故不符合题意； B．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左上向右下倾斜，，直线与轴交于负半轴，，即，前后条件一致，故符合题意； C．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左上向右下倾斜，，二者矛盾，故不符合题意； D．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧，，可得；一次函数从左下向右上倾斜，，二者矛盾，故不符合题意． 10. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数）；⑥ ；⑦其中正确的个数是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点坐标确定 的符号及数量关系，结合函数图象性质及最值问题逐条判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，即， ∴， 则；故①错误； 则，故②错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴（为任意实数），故⑤正确； ∵抛物线与轴交于点和点， ∴把代入，则， 把代入，，故⑥正确； 由，则， ， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑦错误； 综上所述，正确的有③⑤⑥，共3个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数的对称轴是________，顶点坐标是（ ），最大值__________． 【答案】 ①. 直线 ②. ③. 【解析】 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，即可得到对应结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线；顶点坐标为； ∵抛物线，开口向下， ∴抛物线的最大值为顶点的纵坐标， ∴抛物线的最大值为． 12. 已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式____________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项． 【详解】解：设二次函数解析式为． ∵二次函数有最小值， ∴． ∵图象经过点， ∴当时，，即． 取，，则解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴． 14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】飞机滑行到停止时滑行距离达到最大，对二次函数配方求顶点，即可得到停止时的滑行时间和总滑行距离． 【详解】解：将函数解析式整理配方，， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，取得最大值，此时飞机停止滑行， 即飞机着陆后停下来滑行的时间是，滑行的总距离是． 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，结合函数图像，找出抛物线在直线下方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线交于，两点， 当或时，， 观察函数图像可知，当时，抛物线的图像在直线的下方， 不等式的解集为． 16. 已知，是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，是二次函数图象上的两点，可知、是一元二次方程的两个解，根据一元二次方程根与系数的关系，可知，把代入二次函数的解析式，可得函数值． 【详解】解：，是二次函数图象上的两点， 、是一元二次方程的两个解， 整理可得：， 根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ， ． 故答案为：4． 三、解答题（大题共7小题，共72分） 17. 解方程： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1），． （2），． （3），． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法即可解答； （2）用公式法进行即可解答； （3）用因式分解法即可解答； 【小问1详解】 解： 因式分解，得． 或 ． 解得． 【小问2详解】 解： ． ． ． 解得． 【小问3详解】 解： 移项，得． 提取公因式，得． 化简括号内：． 或 ． 解得． 18. 已知抛物线． （1）该抛物线对称轴是______，与x轴交点坐标是______，顶点坐标为______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线； （3）若抛物线经过点和，则m______n．（填“”“”或“”） （4）当时，y的取值范围是______． 【答案】（1）直线；和； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）令，解方程求解抛物线与轴交点坐标；再配方成顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标； （2）列表、描点、连线即可作图； （3）将点和代入抛物线的表达式求解值，即可比较； （4）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：对于 令，则， 解得或， 故抛物线与轴交于点和， 故顶点为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：列表为： …… …… …… …… 再描点、连线即可作图，见答案； 【小问3详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴， 故； 【小问4详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下，且 ∴最大值为 当时，， 当时， ∴最小值为 ∴当时，y的取值范围是． 19. 已知抛物线． （1）将抛物线解析式转化为的形式； （2）当取何值时，随的增大而增大？ （3）写出将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后的抛物线解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式的性质，二次函数的增减性，二次函数的图象平移，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）使用配方法求解即可； （2）根据二次函数图象的开口方向以及对称轴求解即可； （3）根据图象平移的规则求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，函数图象的开口方向向下， 又对称轴， 当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：∵将抛物线向左平移1个单位长度， 此时解析式为， ∵再向下平移2个单位长度， ∴解析式为． 20. 已知：关于x的方程， （1）求证：无论x为何值时，方程始终有两个不相等的实数根； （2）若，且方程的两个根分别是与，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论为何值时，方程始终有两个不相等的实数根； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可得证； （2）根据根与系数的关系可得，化简所求式并代入可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，方程为：， ∵方程的两个根分别是与， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 21. 某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？ 【答案】（1） （2）当时，鸡舍的面积有最大值，最大值为72 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到函数关系式，然后利用二次函数的性质进行求解即可． （1）由篱笆长28米，根据矩形的面积即可得出关于的函数关系式，再根据题意可求出自变量的取值范围； （2）根据自变量的取值范围和函数的增减性确定函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 根据题意得，即， ∴与之间的函数关系式为： 【小问2详解】 ， 当时，随的增大而减小， 而， ∴当时，有最大值，此时， 即：当时，鸡舍的面积有最大值，最大值为72． 22. 为弘扬琅琊文化，让更多游客了解琅琊，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“只此琅琊”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件；售价每涨价元，每天可以少售出件．设该款主题团扇售价为元． （1）每天售出的数量是________件． （2）文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）为了使主题团扇的利润不少于480元，请直接写出售价的取值范围． 【答案】（1） （2）当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润为640元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）根据“销售利润=每件的利润×销售数量”即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）当时，列方程求出x值，进而求出范围． 【小问1详解】 解：售价从40元降到元，降价金额为元， ∵每降价元多售5件，售价每涨价元，每天可以少售出件， ∴当时，多售出的数量为件，则每天售出的数量为：（件）； 当时，少售出的数量为件，则每天售出的数量为：（件）； ∴每天售出的数量为：（件）； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，W取得最大值，最大值为， 答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∵， ∴售价的取值范围是． 23. 如图，二次函数的图像经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）为顶点，求三角形的面积． （3）点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离及此时点P坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P到直线的最大距离为，此时点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）先将抛物线解析式转化为顶点式，得到抛物线的顶点坐标，从而得到三角形的高，根据，得到三角形的底长，最后利用三角形面积公式，即可求解； （3）用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交轴于点，交于点，过点作于点，由题可推出，从而根据勾股定理，得，即，推出，所以当最大时，最大，即点到直线距离有最大值，设，则，可得，故当时，有最大值，可求得，，从而求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过三点， ∴设抛物线函数解析式为， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴三角形的高为的纵坐标绝对值，即， ∵， ∴三角形的底为点、之间的距离，即， ∴三角形的面积为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为：， 将代入中，得， 解得， ∴直线的解析式为：， 如图，过点作轴交轴于点，交于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理，得， ∴，即， ∴， ∴当最大时，最大，即点到直线距离有最大值， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值 此时，，， ∴点P到直线的最大距离为，此时点坐标为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂商城实验学校阶段性质量检测 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 顶点坐标为 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 函数有最小值5 5. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数中与的部分对应值如下表，下列判断正确的是（ ） … 0 1 2 … … 1 3 1 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时，随的增大而减小 D. 方程的正根在3与4之间 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数）；⑥ ；⑦其中正确的个数是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数的对称轴是________，顶点坐标是（ ），最大值__________． 12. 已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式____________________． 13. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 14. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是____________ 16. 已知，是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值为______________． 三、解答题（大题共7小题，共72分） 17. 解方程： （1）． （2）． （3）． 18. 已知抛物线． （1）该抛物线对称轴是______，与x轴交点坐标是______，顶点坐标为______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线； （3）若抛物线经过点和，则m______n．（填“”“”或“”） （4）当时，y的取值范围是______． 19. 已知抛物线． （1）将抛物线解析式转化为的形式； （2）当取何值时，随的增大而增大？ （3）写出将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度后的抛物线解析式． 20. 已知：关于x的方程， （1）求证：无论x为何值时，方程始终有两个不相等的实数根； （2）若，且方程的两个根分别是与，求的值． 21. 某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？ 22. 为弘扬琅琊文化，让更多游客了解琅琊，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“只此琅琊”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件；售价每涨价元，每天可以少售出件．设该款主题团扇售价为元． （1）每天售出的数量是________件． （2）文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）为了使主题团扇的利润不少于480元，请直接写出售价的取值范围． 23. 如图，二次函数的图像经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）为顶点，求三角形的面积． （3）点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离及此时点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $