精品解析：山东省临沂市兰山区第六中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

山东省临沂市兰山区第六中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷 一、选择题（每题3分共36分） 1. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 永祚寺双塔是太原的地标建筑，始建于明万历二十七年，即1599年，距今有400多年的历史，数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量双塔高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为( ) A. B. C. D. 6. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知是半的直径，是弦，切于点，交的延长线于点，，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，则（ ） A. 6 B. 18 C. 20 D. 24 9. 如图，是的中线，是上一点，，的延长线交于，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的顶点在双曲线的图象上，顶点在y轴上，顶点在轴上，，分别与反比例函数的图象相交于点，，若四边形的面积，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、 ，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、”分别表示如图所示的三角形的面积，记，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（每题4分共24分） 13. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________． 14. 如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为____． 15. .如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______． 16. 如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的________． 17. 如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点的坐标为____________． 三、解答题 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请你根据图象直接写出不等式的解集； （3）点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 20. 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 21. 某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）_____，消毒效果最高效力是_____； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 22. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 23. 综合与实践 数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题． （1）基础题：如图1，于点B，于点D，P是BD上一点，． ①若，则与的关系为______． ②若，且，则______． （2）构造应用：如图2，点E是正方形边上一点，与交于点G，连接，请直接写出______°． （3）如图3，沿的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K， ①求证：K是中点； ②并直接写出与的数量关系：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省临沂市兰山区第六中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷 一、选择题（每题3分共36分） 1. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 2. 已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 由反比例函数的图象和性质，可得，解不等式即可得的取值范围． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，且当时，， ∴， ∴， 故选：D． 3. 永祚寺双塔是太原的地标建筑，始建于明万历二十七年，即1599年，距今有400多年的历史，数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量双塔高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 延长，交于，证明，，得到，，将相关数据代入计算即可． 【详解】解：如图，延长，交于， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 4. 如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论． 连接，根据直径所对圆周角可得，由同弧所对圆周角相等可求出度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵， ∴，  ， 故选：A． 5. 如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识；设鼓面圆的圆心为，连接、，则，因为，所以是等边三角形，则，所以的直径为，于是得到问题的答案． 【详解】解：设鼓面圆的圆心为，连接、，则， ，， ， 是等边三角形， ， 的半径为， 的直径为， 故选：C． 6. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负．首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和与轴交点位置，即可选出答案． 【详解】解：选项A：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项B：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与轴交点应在原点下方，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项C：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项D：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与轴交点应在原点上方，与所示图象相符，本选项符合题意； 故选D． 7. 如图，已知是半的直径，是弦，切于点，交的延长线于点，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，如图，连接，根据等边对等角及三角形外角的性质推出，再根据切线的性质得出，即可解答．解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵切于点， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在中，，，则（ ） A. 6 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，根据面积比等于相似比，求出，再根据同高三角形的面积比等于底边比求出即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 故选D． 9. 如图，是的中线，是上一点，，的延长线交于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质．取的中点，连接，证明，结合，可得，设，则，可得，求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，矩形的顶点在双曲线的图象上，顶点在y轴上，顶点在轴上，，分别与反比例函数的图象相交于点，，若四边形的面积，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握其性质是做题的关键．根据反比例函数系数的几何意义，得出，，再根据，列方程求解即可． 【详解】解：矩形的顶点在双曲线的图象上， ． 点和点都在反比例函数的图象上， ． ，且， ， 解得，． 故选：B． 11. 如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 12. 如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、 ，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、”分别表示如图所示的三角形的面积，记，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质和裂项相消法的应用．解题关键是先确定反比例函数上点的坐标，再分析三角形面积规律，最后通过裂项相消简化求和．易错点是对三角形面积的推导和裂项相消时项的抵消规律把握不准确． 首先根据反比例函数，求出点、、等的坐标，进而推出三角形①、②、③……的面积分别为1、、……．然后根据、等，将其展开为，通过裂项相消，中间项抵消后得到，从而得出答案． 【详解】解：， 、、；以此类推，． 观察图形，每个三角形的底为1（横坐标依次增加1），高为对应点的纵坐标． ． ． ． 以此类推，三角形k的面积为． 根据题意，，，，． ． 故选：A． 二、填空题（每题4分共24分） 13. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，点M，N在的图象上，分别过点M，N作坐标轴的垂线，若，则的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，欲求，只要求出过M、N两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为反比例函数的系数4，然后根据求得即可． 【详解】解：∵点M，N在反比例函数的图象上，分别经过M、N两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于， 即，， ∵， ∴， 故答案为：4． 15. .如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】设圆锥底面圆的半径为 r， ∵AC=6，∠ACB=120°， ∴=2πr， ∴r=2，即：OA=2， 在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出 OA的长是解本题的关键． 16. 如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 令每个小正方形的边长为1，分别求出的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置． 【详解】解：令每个小正方形的边长为1， ∴， 要使， ∴，即 ∴ ∵点P到甲的距离为，点P到乙的距离为，点P到丙的距离为，点P到丁的距离为， ∴点R应是甲、丙、丁四点中的丙． 故答案为：丙． 17. 如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，则，最小，根据正六边形性质可得都是等边三角形，，从而求得即可，掌握正六边形的性质以及轴对称解决路径最短问题的解题方法是解题的关键． 【详解】解：如图，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴， ∴最小，最小值为的长， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点的坐标为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查位似变换，正方形的性质，图形和坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 先根据正方形的性质得到各线段长，再根据两正方形关于点位似，由对应点的不同分两种情况进行讨论，并画出图形（图1和图2），最后利用位似的性质和相似三角形，计算即可求解． 【详解】解：点B、E、G的坐标分别为、、， ，，， 第一种情况，当点A与点F对应，点B与点G对应，点C与点D对应，点O与点E对应时， 如图1，过点P作轴于点H， 正方形与正方形关于点位似， ， ， ， ，即， ，， ， 则点P的坐标为； 第二种情况，如图2，当点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应，点O与点G对应时， 正方形与正方形关于点位似， ， ，即， ， 解得， 则点P的坐标为． 故答案为： 或． 三、解答题 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请你根据图象直接写出不等式的解集； （3）点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，根据交点求不等式的解集， 对于（1），将点代入反比例函数关系式求出m，再将点代入反比例函数关系式求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出直线关系式； 对于（2），根据反比例函数图像在直线上方时反比例函数值大于一次函数值，结合交点坐标可得解集； 对于（3），设交点，求出直线与y轴交点的坐标，再根据求出答案即可. 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数关系式，得， ∴反比例函数. ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点. ∵点在直线的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； 【小问2详解】 解：或. 观察图象，当时，； 当时，. 所以答案为：或； 【小问3详解】 解：如图所示， 当时，， ∴点. 设点，则， ∴， 解得或， ∴点或. 20. 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的直径是20 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形外角的定义及性质、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，，设，则，由勾股定理可得，即，求解即可得到答案； （2）由可得，由三角形外角的定义及性质结合可得，再由可得，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：是的直径，弦于点， ，， 设，则， ， ， 解得：， 的直径为20； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 21. 某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）_____，消毒效果最高效力是_____； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1）， （2） （3）有效 【解析】 【分析】（）利用待定系数法可求出，再把代入一次函数解析式可求出消毒效果最高效力； （）利用待定系数法解答即可求解； （）分别把代入一次函数和反比例函数解析式求出的值，进而求出持续时长即可判断求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴消毒效果最高效力是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得， ∴， ∴与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：把代入，得， 解得； 把代入，得， 解得； ∴持续时长为， ∴本次消毒有效． 22. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合题意可得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 综合与实践 数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题． （1）基础题：如图1，于点B，于点D，P是BD上一点，． ①若，则与的关系为______． ②若，且，则______． （2）构造应用：如图2，点E是正方形边上一点，与交于点G，连接，请直接写出______°． （3）如图3，沿的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K， ①求证：K是中点； ②并直接写出与的数量关系：______． 【答案】（1）①；②； （2）45 （3） ①证明：如图，过E作的延长线于M，的延长线于N． ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即K是中点； ② 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，正确掌握各判定和性质定理及正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）①根据垂直的定义及同角的余角相等推出，由此证明； ②根据证得，由此得到； （2）如图，在边上取点H，使，连接，证明，推出，即可求出的度数； （3）过E作的延长线于M，的延长线于N．证明，推出，得到，，同理，，，得到，即可证得，推出，即K是中点；根据得出． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为； 【小问2详解】 如图，在边上取点H，使，连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为45； 【小问3详解】 ①略 ②∵ ∴， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $