2.2 函数的单调性与最值 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以单调性定义为核心，通过“定义证明-区间求解-应用拓展”三级逻辑链，系统整合判定方法与结论，覆盖高考五大核心题型，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识|6项梳理|定义法（作差/作商）、复合函数“同增异减”、等价形式转化|从单调性定义到性质结论，构建“概念-判定-应用”逻辑链| |判断证明单调性|10题|定义法证明步骤、抽象函数单调性判定|衔接定义与证明，强化逻辑推理| |求单调区间|12题|定义域优先、复合函数分层分析|应用性质结论，提升数学抽象| |解不等式|12题|单调性转化不等式、奇偶性结合|综合性质应用，培养数学思维| |求参数范围|15题|单调区间端点分析、恒成立转化|深化性质理解，发展应用意识| |比较函数值|15题|单调性与奇偶性综合比较|提升知识迁移能力，强化数学语言表达|

2.2 函数的单调性与最值 基础知识梳理 1.函数的单调性 单调递增 单调递减 定义 设函数的定义域为区间 如果当时,都有  ，那么就称函数在区间上单调递增 如果当时,都有  ,那么就称函数在区间上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 特别地,当函数在它的定义域上单调递增（减）时,我们就称它是增（减）函数. 2.函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性,区间叫做的单调区间. 求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接.“函数的单调区间为”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念,显然 3.函数的最值 前提 设函数的定义域为 条件 如果存在实数M满足:都有  ；使得 如果存在实数M满足:都有  ;使得 结论 为函数的最大值 为函数的最小值 4.复合函数的单调性 对于函数在函数的定义域上,如果与的单调性相同,那么单调递增;如果与的单调性相反,那么单调递减. 5.单调性定义的等价形式 设对任意的 （1）若有或,则在上单调递增. （2）若有或,则在上单调递减. 6.函数单调性的常用结论 （1）若均在区间上单调递增（减），则也在区间上单调递增（减）. （2）若则与的单调性相同;若则与的单调性相反. （3）函数与在公共定义域内的单调性相反. （4）函数的单调递增区间为和[单调递减区间为和 题型一 判断或证明函数的单调性 1．已知函数的定义域为，且对恒有，且，当时，． (1)求证：是单调增函数； (2)列举出具有这样性质的一个函数，并加以验证． 2．已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 3．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 4．已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 5．已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 6．已知函数的定义域为. (1)对任意的，，都有，且当时，.求证：是上的增函数； (2)若函数是上的增函数，且，，解不等式. 7．已知函数为奇函数． (1)求的值并证明的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 8．利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 9．已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 10．已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 题型二 求函数单调区间 1．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 5．函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 6．(多选)设函数，则（    ） A．的递增区间是 B．的递减区间是 C．的值域是 D．的值域是 7．函数的单调递减区间为________，单调递增区间为________． 8．函数的单调递增区间是_____． 9．函数的单调减区间是____________． 10．求函数的单调区间． 11．已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 12．求函数的单调递增区间． 题型三 根据单调性解不等式 1．定义域为的函数的导函数记作，满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 8．（多选）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知，则不等式的解集为________． 10．已知偶函数在上单调递增，则的解集为______ 11．已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________． 12．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 题型四 根据函数单调性求参数取值范围 1．若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 2．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，，则满足的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 9．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.（用区间表示） 10．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 11．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 12．已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________． 13．已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为__________． 14．已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 15．已知函数，. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 参考数据：. 题型五 比较函数值的大小 1．已知，若，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数的最小正周期为，当时，取得最大值2，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 4．已知函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数是奇函数，且在上单调递减，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，设，，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知函数．若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 12．已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 13．已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知函数的定义域为,且,当时,函数单调递增,若,,,则（   ） A． B． C． D． 15．已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，则（   ） A． B． C． D． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 函数的单调性与最值 基础知识梳理 1.函数的单调性 单调递增 单调递减 定义 设函数的定义域为区间 如果当时,都有  ，那么就称函数在区间上单调递增 如果当时,都有  ,那么就称函数在区间上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 特别地,当函数在它的定义域上单调递增（减）时,我们就称它是增（减）函数. 2.函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性,区间叫做的单调区间. 求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接.“函数的单调区间为”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念,显然 3.函数的最值 前提 设函数的定义域为 条件 如果存在实数M满足:都有  ；使得 如果存在实数M满足:都有  ;使得 结论 为函数的最大值 为函数的最小值 4.复合函数的单调性 对于函数在函数的定义域上,如果与的单调性相同,那么单调递增;如果与的单调性相反,那么单调递减. 5.单调性定义的等价形式 设对任意的 （1）若有或,则在上单调递增. （2）若有或,则在上单调递减. 6.函数单调性的常用结论 （1）若均在区间上单调递增（减），则也在区间上单调递增（减）. （2）若则与的单调性相同;若则与的单调性相反. （3）函数与在公共定义域内的单调性相反. （4）函数的单调递增区间为和[单调递减区间为和 题型一 判断或证明函数的单调性 1．已知函数的定义域为，且对恒有，且，当时，． (1)求证：是单调增函数； (2)列举出具有这样性质的一个函数，并加以验证． 【详解】(1)因为，令，则，即． 因为，所以，即，解得． 对任意的，有， 即， 化简得， 因为，所以，则， 因为当时，，所以， 因此，所以在定义域上是单调增函数． (2)， 对，有 ，所以； 且函数为一次函数，在定义域上单调递增，而， 所以当时，； 综上所述，函数具有题目所给性质 2．已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）利用赋值法即可求得答案； （2）先由题意推出时，．继而设，可得，，则由，推出，即可证明结论. 【详解】（1）由于对于任意实数，有， 令，则，即， 再令，则， 由于，则； （2）当时，． 即，由于对于任意实数，，有， 则，即有时，． 设，则，， 则由， 得，即． 故在定义域上是单调递增函数． 3．已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2)略 (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2） 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 4．已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 【答案】(1)略 (2) 【分析】（1）由单调性的定义，通过作差法即可求证； （2）通过函数单调性和奇偶性，将问题转换成有两个不同的实根，再换元，通过研究函数的图象和最值即可求解. 【详解】（1任取，且， 则 因为，所以， 又， 所以，即， 所以在上单调递增 （2）解：因为，所以， 所以函数是奇函数， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以有两个不同的实根，即有两个不同的实根， 令，则有两个不同的正解， 即直线与的图象有两个不同的交点， 作出的图象，如图所示． 由图可知，所以的最大值为， 结合图象可知：实数的取值范围为． 5．已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)略 (3) 【分析】（1）根据奇函数偶函数的性质运算即可求出参数，注意检验.； （2）利用函数的单调性的定义证明即可； （3）首先根据的单调性化简不等式，进一步通过换元法，将不等式转换为恒成立即可，分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题知函数定义域均为.∵是偶函数，∴. 即整理得即. 此时经检验，符合题意. ∵是奇函数 ∴， 此时经检验，符合题意. （2）设，，因为，所以，所以，所以函数在R上是增函数 （3）在上单调递增，故有对恒成立， 又. ∴对恒成立. 令由知. 则有对恒成立. 即对恒成立. 令. 只需即可.又对称轴为，    ①当，即时，在上单调递增， 只需即可.∴. ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. ∴. 解得∴. 综上所述，的取值范围为 6．已知函数的定义域为. (1)对任意的，，都有，且当时，.求证：是上的增函数； (2)若函数是上的增函数，且，，解不等式. 【答案】(1)略 (2) 【分析】（1）结合函数的性质，利用单调性的定义证明函数的单调性. （2）先利用赋值法得到，再结合函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】（1）证明：设，且， 则，即， 所以 ， 所以，所以是上的增函数． （2）因为， 所以． 在上式中取，，则有，因为，所以. 于是不等式等价于（）． 由题意知是上的增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为． 7．已知函数为奇函数． (1)求的值并证明的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)略 (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数即可，根据函数单调性的定义和指数函数的单调性证明即可； （2）根据存在性问题可得，根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 此时，则，满足题意， 故实数的值为； 在定义域上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，且指数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 又因为，所以， 因此，即， 故根据函数单调性的定义得，函数在上单调递增． （2）要使得在区间上有解， 只需， 由（1）可得，在上单调递增， 当时，，所以， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 8．利用单调性定义证明函数在上的单调性并求其最值． 【答案】函数在上是减函数，最大值是5，最小值是4. 【详解】任取，且， 则， 由于，则，即， 于是，即，故在上单调递减， 从而最大值是，最小值是. 9．已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 【答案】(1) (2)略 (3) 【分析】（1）根据题意得到，再结合即可求解； （2）任取，假设，用作差法即可证明； （3）根据题意将不等式转化为，再结合定义域为即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以有，即，所以， 又因为，即，解得，所以（经检验符合题意）. （2）任取，且， 那么， 由于且，所以，，而，， 所以，即，因此在上是增函数. （3）实数满足，即满足， 由于是奇函数，所以，不等式化为， 由（2）可知在上是增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 10．已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)略 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 题型二 求函数单调区间 1．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 【答案】D 【分析】对于A选项，由，即可求解； 对于B选项，根据函数为奇函数，由即可求解； 对于C选项，利用指数函数的单调性求解； 对于D选项，由时，，得到，再由是奇函数即可求解. 【详解】对于选项A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为函数是定义域为的奇函数， 所以，即，解得， 当时，， 所以， 则符合题意，所以B正确； 对于选项C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C正确； 对于选项D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域为，故D错误. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 3．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 4．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 5．函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性. 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 6．(多选)设函数，则（    ） A．的递增区间是 B．的递减区间是 C．的值域是 D．的值域是 【答案】AC 【分析】先确定函数定义域为，分和两段求导分析单调性，再结合单调性求值域，逐项判断即可. 【详解】由题意得的定义域为. 当时，，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最小值， 所以当时，. 当时，，求导得， 所以在上单调递减. 当时，，，则， 当时，，，则， 所以当时，， 综上，可得的递增区间为，A正确； 的递减区间是和，B错误； 的值域为，C正确，D错误. 7．函数的单调递减区间为________，单调递增区间为________． 【答案】 无 【分析】根据导数与单调性关系求解即可. 【详解】由题意知，函数的定义域为. 求导得，. 令，得；令得． 又函数的定义域为， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间． 8．函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 令，则原函数为， 在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 9．函数的单调减区间是____________． 【答案】 【分析】先确定对数真数大于的定义域，再根据复合函数同增异减，结合外层对数函数为减函数，将原函数的减区间转化为内层余弦函数在真数大于条件下的单调增区间，解不等式得到结果. 【详解】由 解得， 外层函数是减函数（底数），要求的单调减区间，根据同增异减，等价于求内层函数的单调增区间（同时满足）。 的单调增区间为， 由，可得 解得， 即函数的单调递减区间是. 10．求函数的单调区间． 【答案】减区间是，，，，无增区间. 【分析】先确定定义域，再在定义域内的每一个区间上根据单调性的定义判断. 【详解】函数的定义域是， 在或或或上，函数，，都是减函数， 设，则，，， 所以，即， 所以函数在上是减函数，同理它在或或上都是减函数. 所以函数的减区间是，，，，无增区间. 11．已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 12．求函数的单调递增区间． 【答案】 【分析】结合余弦型函数的单调性求解即可. 【详解】． 由，解得， 所以函数的单调递增区间为． 题型三 根据单调性解不等式 1．定义域为的函数的导函数记作，满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，利用导数及已知研究函数的单调性，且将问题化为求解集. 【详解】由题设，令，则， 则函数在上单调递减， 由不等式，得， 又，等价于，所以. 2．已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数性质转化不等式，结合函数单调性去掉函数符号，求解一元一次不等式得到解集. 【详解】 是定义域为的奇函数， ，且由题可知在上单调递增， 对原不等式变形：等价于， 根据奇函数性质可得， 因此不等式化为， 在上单调递增， ，移项解得，即不等式解集为 3．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数是上的偶函数，得到，根据题意，画出函数和的图象，结合图象，分类讨论，即可得到不等式的解集. 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又因为在上单调递增，且，可得， 画出和的图象，如图所示， 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，不符合题意， 综上可得，不等式的解集为. 4．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 5．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性、单调性将原不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】函数的定义域为， ， 故为上的奇函数. ，根据基本不等式， 得，当且仅当时取等号. 又，因此，且等号不能同时取到， 因此恒成立，所以在上单调递增. 不等式等价变形为 ，由单调性得， 即，解得. 所以不等式的解集为. 6．设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 7．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于, 即，解得． 8．（多选）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数， 所以　， 原不等式可化为， 又已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增， 所以，即，解得：. 故B，C正确. 9．已知，则不等式的解集为________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， ，所以为奇函数， 又在上为增函数， 所以， 所以，解得，所以原不等式的解集为 10．已知偶函数在上单调递增，则的解集为______ 【答案】 【详解】由题意得偶函数在上单调递增，若， 则，两边平方可得， 即，解得， 所以的解集为. 11．已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________． 【答案】 【分析】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【详解】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 解得：， 所以不等式的解集为. 12．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义、奇偶性与单调性，确定的值，即得函数的解析式； （2）利用（1）的函数的奇偶性与单调性将不等式化为，两边取平方后求解一元二次不等式即得. 【详解】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. 题型四 根据函数单调性求参数取值范围 1．若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用二次函数的单调性，讨论端点处函数值，再进行检验即可. 【详解】∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在上的最大值会在区间的端点或处取到， 又，，若，则， 此时对称轴，且，符合条件； 若，则，此时对称轴，且，符合条件， 综上所述，或1. 2．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 3．已知函数，，则满足的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求函数的导数，令确定的单调性，列出关于的不等式求解. 【详解】， 令则， 故在上单调递增，， 故在上单调递减， 所以，解得. 4．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对求导得：，由题意在恒成立， 即在恒成立， 时，，故. 5．函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在上恒成立，从而得在上恒成立，求出函数在上的值域，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 所以，在上恒成立， 又因为在上单调递增， 所以， 所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即， 所以实数的取值范围为. 6．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 7．函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由内层函数为减函数推出对数底数，再结合真数在区间上恒正，得到，最终即可得到的取值范围. 【详解】根据题意，对于函数， 令，则， 又由且，则为减函数， 若函数在上是减函数， 必有，解可得， 即的取值范围为. 8．设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为， 函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数， 过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得， 解得． 综上所述，实数的取值范围是． 9．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据幂函数的定义、函数的单调性及奇偶性求解即可. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或. 当时，，该函数是奇函数，不符合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意， 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故实数的取值范围为. 10．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可. 【详解】令，则函数可看成由 与复合而成， 因为对数的底数且，所以是单调递减函数， 又因为函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到， 又在区间上，作为的真数要大于0恒成立， 所以，所以， 综上所述实数的取值范围为. 11．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则， 要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 12．已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出在上恒成立，然后结合导数转化为恒成立问题，即可得到结果. 【详解】由题意，函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 因为，要使对任意恒成立， 则对任意恒成立， 记，易知在上为减函数， 所以，因此， 综上，实数的取值范围是． 13．已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由指数函数和分段函数的单调性求解即可. 【详解】因为（且）在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 14．已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称. 又在上单调递增，则在区间上也单调递增. 当时，，对称轴为； 当时，的图象开口向下，且， 此时在区间上单调递减，不合题意，所以， 解得，所以的取值范围是. 15．已知函数，. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 参考数据：. 【答案】(1)（或近似值） (2) 【分析】（1）代入后求导，判断函数在给定区间的单调性，计算极小值与端点值比较得到值域； （2）由单调递减的性质得导数在上恒非正，分离参数后转化为求二次函数的最值，得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得：， 因，故，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在处取区间最小值：， 又，， 比较得最大值为， 故值域为. （2） 若在上单调递减， 则对任意，恒成立， ， 因，不等式整理得， 令，由得， 设，， 为开口向上的二次函数， 对称轴为， 故的最小值为， 因此，解得， 即的取值范围为. 题型五 比较函数值的大小 1．已知，若，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性变形得，，利用单调性法比较、、的大小，再利用函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数为偶函数，且在上单调递减， ，所以，， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递减， 所以， 即， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递减，则， 即，所以， 所以，即，即. 2．已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是偶函数，所以，则函数的图象关于直线对称， （另解：函数的图象向右平移2个单位长度，得的图象，故函数的图象关于直线对称） 又函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增. 因为，所以， 又，所以， 所以. 3．已知函数的最小正周期为，当时，取得最大值2，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由周期为可得，再由最大值可得和值，由三角函数的图象与性质可得答案． 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，得， 当时，取得最大值2，则， 所以，， 即，可得，所以， 所以， 则， 因为，所以， 又因为， 且，所以， 因为当时，取得最大值2，所以是的一条对称轴方程， 由于，可得， 所以. 4．已知函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得关于对称，判断的奇偶性，再利用函数的单调性即可判断. 【详解】由，所以关于对称， 又，， 所以为偶函数， 当时，， 所以在单调递增， 所以，， 又， 所以， 所以. 5．函数是奇函数，且在上单调递减，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性与单调性分析即可. 【详解】因为函数是上的奇函数，所以且， 由，且定义域为关于原点对称， 所以函数是上的偶函数，即 又在上单调递减，当时，， 设，则， 因为，所以即， 所以， 即对，有， 所以当时，函数在上单调递减， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，由题意，因为， 所以，故B正确； 对于C，由，因为， 所以，故C错误； 对于D，由题意，因为， 所以，故D错误. 6．已知定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在R上单调递增，然后利用基本不等式，换底公式，可完成大小比较. 【详解】因定义在R上的函数满足：当时，恒有成立，则在R上单调递增. ， 注意到， 又由基本不等式可得， 则，从而； ， 从而. 则，得. 7．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数在上的单调性，再分别化简、、的取值范围，由单调性得到函数值的大小关系. 【详解】设，当时，， 故在上单调递减. 对于，由得， 对于，由换底公式，， 由得， 对于，即，故， 于是，又函数在上单调递减，故. 8．已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数判断的单调性，进而比较大小. 【详解】定义域为，， 当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，又， 所以，即. 9．已知函数．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，求导判断函数单调性，比较自变量大小，利用单调性比较函数值； 【详解】因为， 所以是偶函数， 因此， 求导， 当时：， 令，则，在单调递增， ，可得， 故 又时，，故，所以在单调递增， 对取对数得，令，求导得， 当时，单调递增；当时，单调递减； 因为， 计算得， 所以，即 因为在单调递增， 所以，即， 故选：A. 10．已知函数在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的性质得，再由函数的单调性进行判断． 【详解】因为，所以， 则，即， 故， 由于函数在区间上单调递减， 所以． 11．已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 令得，A错误； 令得，C错误； 又函数在上单调递增，， 所以，，B错误，D正确. 12．已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用题目条件将其化为比较x的取值 【详解】由题目可知在内，x值越大，函数值就越大， 因为，且， 所以. 又因为，所以. 因为，所以， 因此，故B选项正确. 13．已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的周期性、奇偶性将、、的自变量转化到同一单调区间上，结合该区间单调递增的性质比较函数值大小. 【详解】由得是周期为的周期函数， 因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以在区间上单调递增， 对于：， 由周期性得，其中， 对于：由周期性得， 由奇偶性得，故，， 对于：，， 因为，， 所以，又在区间上单调递增， 所以，即. 14．已知函数的定义域为,且,当时,函数单调递增,若,,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数可得函数的对称轴，再结合时的单调性得出整个定义域内单调性，最后比较与对称轴距离的大小根据函数单调性比较大小 【详解】根据函数对称轴的性质，若， 则函数的图象关于直线对称，所以函数关于对称， 又因为时，函数单调递增， 由函数对称性知，当时，函数单调递减， 比较自变量到对称轴的距离， 对于 ， ，故， 同理， ，， 对于 ，因为，所以， ， 先比较与，因为，且对数函数在上单调递增， 在上单调递增，当同取时，， 又，所以， 同理，因为，且对数函数在上单调递增， 在上单调递增， 当同取时，，又，所以， 即， 因为时，函数单调递增，且自变量到对称轴的距离越远，函数值越大， 所以 ，即 15．已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得在上单调递减，进一步通过偶函数性质以及将自变量都转换到区间内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解． 【详解】因为是偶函数，，在上单调递减， 所以在上单调递减． ，， 因为，所以， 所以， 所以，故． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $