第08课时 函数的奇偶性、周期性专项训练-2027届高考数学一轮复习

第08课时 函数的奇偶性、周期性 一、单项选择题(每小题5分,共35分) 1．下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　 )． [A] [B] [C] [D] 2．已知函数,若,则(　　 )． [A] [B] [C] [D] 3．(2025·全国一卷)设是定义在上且周期为2的偶函数,当时,,则(　　 )． [A] [B] [C] [D] 4．设为奇函数,且当时,,则当时,(　　 )． [A] [B] [C] [D] 5．已知偶函数对于任意都有,且在区间上单调递增,则的大小关系是(　　 )． [A] [B] [C] [D] 6．已知函数,且,则实数的取值范围为(　　 )． [A] [B] [C] [D] 7．已知定义域为的函数满足对任意,,且,则下列结论错误的是(　　 )． [A] [B] 为偶函数 [C] 为奇函数 [D] 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 8．设函数的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则(　　 )． [A] 是偶函数 [B] 是偶函数 [C] 是奇函数 [D] 是奇函数 9．已知函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则(　　 )． [A] [B] 是周期函数 [C] 为偶函数 [D] 为奇函数 10．已知都是定义在上的函数,对任意,满足,且,则(　　 )． [A] [B] 如果,那么 [C] 函数的图象关于直线对称 [D] 三、填空题(每小题5分,共15分) 11．若函数,则不等式的解集是________． 12．已知,若为偶函数,则________． 13．若函数的定义域为,且为奇函数,为偶函数,则________． 四、解答题(共32分) 14．(双曲函数+函数奇偶性)意大利画家达·芬奇曾提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”．双曲余弦函数,就是一种特殊的“悬链线函数”,其函数表达式为,相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数． (1)证明:是奇函数．(4分) (2)判断在上的单调性(无须严格证明)．(5分) (3)若实数满足不等式,求的取值范围．(6分) 15．设是定义在上的奇函数,且对任意实数,恒有．当时,． (1)求证:是周期函数．(4分) (2)求当时,的解析式．(6分) (3)计算．(7分) 参考答案 1．C 2．C 3．A 4．D 5．D 6．A 7．C 8．BC 解析 是奇函数，是偶函数，是偶函数，是偶函数． 根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得为奇函数，为奇函数，为偶函数，故选项 A，D错误，选项 C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项 B正确． 故选 BC． 9．BC 解析 对于 A，是定义在 上的奇函数，所以，故 A错误； 对于 B，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又是定义在 上的奇函数， 所以的图象关于原点对称，所以是以 为周期的周期函数，故 B正确； 对于 C，由 B知，， 由为偶函数，得，又是奇函数，所以， 所以为偶函数，故 C正确； 对于 D，为偶函数，故 D错误． 故选 BC． 10．BD 解析 对于 A，令，可得，得， 令，，得， 可得，结合得，所以，故 A错误． 对于 D，令，得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数． 令，，得， 因为， 所以， 又因为，所以， 因为，所以，故 D正确． 对于 B，分别令 和 ，得 ，， 两式相加易得，所以， 即， 有， 即，所以为周期函数，且周期为 ． 因为，所以，所以，，所以， 所以，故 B正确． 对于 C，取，，满足及， 所以，又当时，，， 所以函数的图象不关于直线对称，故 C错误． 故选 BD． 11． 解析 因为，其定义域为，且，所以为奇函数，又，均为增函数，所以为上的增函数， 则原不等式等价于，即，整理得， 解得，故不等式的解集是． 12． 解析 ，令， 解得或，所以函数的定义域为． 因为为偶函数，所以，解得， 所以， ， 由，得， 则，所以． 13． 解析 由为奇函数，为偶函数， 得，， 故，即， 所以，所以，故函数的周期为 ，故． 由，得，即， 故． 14．解析 (1)由题意可知，的定义域为． 因为，所以为奇函数． (2)因为，且在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可知在上单调递增． (3)，由是奇函数得， 因为在上单调递增，所以，解得， 所以的取值范围是． 15．解析 (1)，，是周期为 的周期函数． (2)当时，，且， 又是奇函数，，当时，． 当时，，． 又是周期为 的周期函数， 当时，． (3)，，，． 又是周期为 的周期函数， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $