函数性质之奇偶、对称、周期专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数性质之奇偶、对称、周期 常用结论 1.若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)． 2.若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称; 3.若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称; 4.若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点对称; 5.若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点对称. 6.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a+x)=f(-x). 7.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(2a-x)+f(x)=2b⇔f(a-x)+f(a+x)=2b. 8.若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图象关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称); 9.若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称). 10.若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c． 11.若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称． 12.若函数f(x)满足关系f (x＋a)＝－f (x)，则2|a|是f (x)的一个周期； 13.若函数f(x)满足关系f (x＋a)＝，则2|a|是f (x)的一个周期； 14.若函数f(x)满足关系f (x＋a)＝－，则2|a|是f (x)的一个周期． 15.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，关于直线x=b对称,则函数f(x)是周期函数，T=2|a-b| 16.函数y=f(x)的图象关于点（a,0）对称，关于点（b,0）对称,则函数f(x)是周期函数，T=2|a-b| 17.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，关于点（b,0）对称,则函数f(x)是周期函数，T=4|a-b| 理解：对称跟横坐标或纵坐标的和为定值有关，周期跟横坐标的差为定值有关 练习: 1．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的函数满足为偶函数，且，则（） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则（     ）． A．0 B．2 C．4 D．6 4．若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ）A． B． C． D． 7．函数与的图象（   ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 8．已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 9．设，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（    ） A． B． C． D． 12．定义在上的奇函数满足：函数的图象关于轴对称，当时，．则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为2 C．当时， D．在上单调递减 13．已知的定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．4为函数的一个周期 D． 14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝－f(x＋1)，数列是首项为1、公差为1的等差数列，则f＋f＋f＋…＋f的值为(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 15．(多选)已知函数f(x)对∀x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)，若f(a)＝－f(2 020)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上为单调函数，则下列结论正确的是(　　 ) A．f(3)＝0 B．a＝8 C．f(x)是周期为4的周期函数 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 16．(多选)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的图象关于直线x＝2对称 B．f (x)的图象关于点(2，0)对称 C．f (x)的周期为4 D．y＝f (x＋4)为偶函数 17．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则______ 18．已知定义在上的偶函数满足：对任意，有，则__________. 19．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则___________. 20．已知定义在R上的函数满足，当时，，若，则的最小值为_______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数性质之奇偶、对称、周期 常用结论 1.若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)． 2.若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称; 3.若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称; 4.若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点对称; 5.若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点对称. 6.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a+x)=f(-x). 7.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(2a-x)+f(x)=2b⇔f(a-x)+f(a+x)=2b. 8.若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图象关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称); 9.若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称). 10.若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c． 11.若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称． 12.若函数f(x)满足关系f (x＋a)＝－f (x)，则2|a|是f (x)的一个周期； 13.若函数f(x)满足关系f (x＋a)＝，则2|a|是f (x)的一个周期； 14.若函数f(x)满足关系f (x＋a)＝－，则2|a|是f (x)的一个周期． 15.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，关于直线x=b对称,则函数f(x)是周期函数，T=2|a-b| 16.函数y=f(x)的图象关于点（a,0）对称，关于点（b,0）对称,则函数f(x)是周期函数，T=2|a-b| 17.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，关于点（b,0）对称,则函数f(x)是周期函数，T=4|a-b| 理解：对称跟横坐标或纵坐标的和为定值有关，周期跟横坐标的差为定值有关 练习: 1．已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数展开可得，，由二次函数的对称性可推出. 2．已知定义在上的函数满足为偶函数，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，由于是偶函数，所以，即， 令，得：，即，又因为，所以. 3．已知函数，若，则（     ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【详解】，， 所以，则. 4．若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正比例函数、反比例函数的图像都关于原点中心对称， 故它们的两个交点也一定关于原点对称， 因为关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都变为原来的相反数， 已知一个交点坐标为，故另一个交点坐标为． 5．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是奇函数，所以.又因为的图象关于直线对称， 所以.已知，故，所以. 6．函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ）A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为最小正周期为4，，得，可排除AB选项. C选项，代入，，是函数图象的一条对称轴； D选项，，为函数图象的一个对称中心，不是函数图象的一条对称轴，故排除D. 7．函数与的图象（   ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【详解】将函数进行指数变形，得，设，代入，可得，因此，第二个函数即为. 由函数图象对称性质，与的图象关于直线对称， 此处，即，可得两函数图象关于直线对称. 8．已知函数与的图象关于轴对称，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【详解】函数图象上任意一点关于轴对称的点为， 代入中得，即，得. 9．设，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由.又. 原式. 10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由为奇函数得，令，则，解得， 由为偶函数得，在中将替换为，得，进而有，则， 所以的最小正周期为4，由得， ，， 由题意得，即，解得，进而，所以当时，， ，所以， 其中，所以，所以. 11．已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称， 即函数为奇函数，所以，因为对，都有成立， 所以，所以， 所以函数的周期为，因为当时，， 所以. 12．定义在上的奇函数满足：函数的图象关于轴对称，当时，．则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为2 C．当时， D．在上单调递减 【答案】C 【详解】因为函数的图象关于轴对称，所以关于对称，选项A错误； 由选项A知关于对称，则， 令，则，又为奇函数，所以， 再令，则，所以的最小正周期为4，选项B错误； 当时，，所以，当时，则，则， 因此，，选项C正确； 当时，，所以，当时，则，则， 因此，，根据二次函数性质易知，在上单调递增，选项D错误. 13．已知的定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．4为函数的一个周期 D． 【答案】D 【详解】已知为奇函数，所以，令，即，即，所以的图象关于点中心对称，正确； 令，即，所以，即，正确； 已知为偶函数，所以，因为，将替换为，得，将替换为，得， 联立等式，得，即4为函数的一个周期，正确；因为周期为4，，即，又因为为奇函数，所以，即，错误. 14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)＝－f(x＋1)，数列是首项为1、公差为1的等差数列，则f＋f＋f＋…＋f的值为(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案]：B 解析：∵f(x)＝－f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x)是以2为周期的函数， 而f(x)＝－f(x＋1)，∴f(1)＋f(2)＝0， 又∵数列是首项为1、公差为1的等差数列，∴an＝n， ∴f＋f＋f＋…＋f＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(51) ＝25＋f＝f(1)， 又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，而f(x)＝－f(x＋1)，∴f(0)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0， ∴f＋f＋f＋…＋f＝0． 15．(多选)已知函数f(x)对∀x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)，若f(a)＝－f(2 020)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上为单调函数，则下列结论正确的是(　　 ) A．f(3)＝0 B．a＝8 C．f(x)是周期为4的周期函数 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 [答案]：AB 解析：∵f(x)＝－f(6－x)，∴y＝f(x)的图象关于点(3，0)对称．∵f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，D错误．又f(x)＝－f(6－x)，∴－f(6－x)＝f(2－x)，∴f(x)＝－f(x＋4)，∴f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，∴f(x)是周期为8的周期函数，C错误．∵f(a)＝－f(2 020)＝－f(252×8＋4)＝－f(4)＝f(0)，a∈[5，9]，∴a＝8，B正确．∵f(3)＝－f(6－3)＝－f(3)，∴f(3)＝0，A正确．故选AB． 答案：AB 16．(多选)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的图象关于直线x＝2对称 B．f (x)的图象关于点(2，0)对称 C．f (x)的周期为4 D．y＝f (x＋4)为偶函数 [答案[ACD　 【详解】∵f (2＋x)＝f (2－x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，∴f (－x)＝f (x＋4)，又f (－x)＝f (x)， ∴f (x＋4)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，故C正确； ∵f (x)的周期为4且为偶函数，∴y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确． 故选ACD． 17．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则______ 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，即函数是以4为周期的周期函数．所以．令，由得，； 又因为函数为偶函数，所以， 所以．因为，所以，解得． 所以.所以. 18．已知定义在上的偶函数满足：对任意，有，则__________. 【答案】 【详解】对任意，，令，得，化简得， 因为是偶函数，所以，令，得，即， 综上，，所以，即是周期为的周期函数， 因此. 19．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则___________. 【答案】24 【分析】由题设可得的周期为8，且关于对称的奇函数，结合区间单调性判断上单调情况，根据与有4个交点，及函数的对称性求根的和. 【详解】由为偶函数，则，故， 又是定义在上的奇函数，则， 所以，故，即有， 综上，的周期为8，且关于对称的奇函数， 由在上单调递减，结合上述分析知：在上递增，上递减，上递增，所以在的大致草图如下： 要使在上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点，所以，必有两对交点分别关于对称，则.故答案为：24 20．已知定义在R上的函数满足，当时，，若，则的最小值为_______． 【答案】4 【详解】由题设，则， 所以，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 故答案为：4 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $