课时规范练8 函数的奇偶性与周期性专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以奇偶性定义为基础，通过“定义判断-性质应用-多性质综合”三级递进训练，系统提炼定义域对称、f(0)=0等实用技巧，强化抽象函数推理与性质迁移能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|定义法判断奇偶性、奇函数f(0)=0求参数、对称区间表达式推导|从奇偶性概念到基础性质应用，构建“定义-性质-简单应用”逻辑链| |综合提升|4题|偶函数f(|x|)转化、对称性与单调性解不等式、周期推导（奇函数+对称轴）|结合单调性、对称性，形成“性质综合-问题解决”递进| |创新应用|2题|抽象函数多性质（奇偶性/周期性/对称性）推导、函数最值与奇偶性结合|通过新定义情境，提升跨性质推理与数学抽象能力|

课时规范练8　函数的奇偶性与周期性 基础巩固组 1.(2025广西南宁二模)下列函数是偶函数的是(　　) A.y=sin x B.y=cos x C.y=x3 D.y=3x 2.已知函数f(x)=为奇函数,则a=(　　) A.-1 B. C.- D.1 3.已知f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x+m,则当x<0时,f(x)=(　　) A.x2-4-x+1 B.-x2-4-x-1 C.-x2+4-x-1 D.-x2+4-x+1 4.已知函数f(x)=ax5+bsin x-c,若f(-8)+f(8)=2,则c=(　　) A.-1 B.0 C.1 D. 5.(2025广西河池二模)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(a-1)>f(2),则a的取值范围是(　　) A.a>3 B.a<-1 C.a<-1或a>3 D.-1<a<3 6.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,2]上单调递减,且f(x+2)为偶函数,则不等式f(x-1)>f(2x)的解集为(　　) A.(-∞,-)∪(6,+∞) B.(-∞,-1)∪(,+∞) C.(-,1) D.(-1,) 7.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的图象关于直线x=1对称,当x∈(0,1]时,f(x)=-x2+2x,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的值域为(0,1] B.f(x)的周期为2 C.f(x+1)是偶函数 D.f(2 021)=1 8.(多选)已知∀x∈R,函数f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x+2)=-f(2-x),则下列结论一定正确的是(　　) A.f(x)的图象关于点(-2,0)对称 B.f(x)是周期为4的周期函数 C.f(x)的图象关于直线x=-2对称 D.f(x+4)为偶函数 9.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=a(x+1)-2x,则f(f(3))=　　　　　.  10.已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=2,g(x)=+1,y=f(x)与y=g(x)的图象交于点(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=　　　　　.  综合提升组 11.函数f(x)=ex-2-e2-x的图象(　　) A.关于点(-2,0)对称 B.关于直线x=-2对称 C.关于点(2,0)对称 D.关于直线x=2对称 12.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(　　) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 13.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,且f()≠0,若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy,则(　　) A.f(-)=0 B.f()=-2 C.函数f(x-)是偶函数 D.函数f(x+)是减函数 14.已知函数f(x)为R上的奇函数,且f(x+4)+f(x)=0,当0≤x≤2时,f(x)=,则f(-33),f(19),f(40)的大小关系为(　　) A.f(-33)<f(19)<f(40) B.f(40)<f(19)<f(-33) C.f(-33)<f(40)<f(19) D.f(40)<f(-33)<f(19) 15.已知函数f(x)=(x∈R且x≠1)的最大值为M,最小值为m,则M+m的值为　　　　　.  创新应用组 16.(2025江西九江一模)定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x∈R,都有f(2+x)=f(1)-f(-x);②f(2x)的图象关于直线x=1对称;③f(2)=1,f.则下列说法正确的是(　　) A.f(x+2)是奇函数 B.f(x+1)是偶函数 C.f=- D.=0 参考答案 1.B　解析 对于A,因为sin(-x)=-sin x,x∈R,所以函数y=sin x为奇函数,故A错误; 对于B,因为cos(-x)=cos x,x∈R,所以函数y=cos x为偶函数,故B正确; 对于C,因为(-x)3=-x3,x∈R,所以函数y=x3为奇函数,故C错误; 对于D,因为3-x=,x∈R,所以函数y=3x为非奇非偶函数,故D错误. 故选B. 2.D　解析函数的定义域为{x|x≠-1且x≠a},因为f(x)=为奇函数,所以定义域关于原点对称,则a=1,所以f(x)=,f(-x)==-f(x),满足f(x)为奇函数,故选D. 3.C　解析因为f(x)为奇函数,所以f(0)=m-1=0,即m=1.当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-4-x+1=x2-4-x+1,∴f(x)=-f(-x)=-x2+4-x-1.故选C. 4.A　解析∵f(-x)=a(-x)5+bsin(-x)-c=-ax5-bsin x-c,∴f(x)+f(-x)=-2c,∴f(-8)+f(8)=-2c=2,解得c=-1.故选A. 5.C　解析 由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),因此不等式f(a-1)>f(2)可以转化为f(|a-1|)>f(2). 因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减, 所以|a-1|>2,解得a<-1或a>3.故选C. 6.D　解析∵函数f(x+2)为偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2),即f(2-x)=f(2+x),∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称,又∵函数f(x)的定义域为R,在区间(-∞,2]上单调递减,∴函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,∴由f(x-1)>f(2x),得|(x-1)-2|>|2x-2|,解得-1<x<.故选D. 7.CD　解析对于A,当x∈(0,1]时,f(x)=-x2+2x,此时0<f(x)≤1,又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,且当x∈[-1,0)时,-1≤f(x)<0,故在区间[-1,1]上,-1≤f(x)≤1,A错误;对于B,函数f(x)图象关于直线x=1对称,则有f(2-x)=f(x),又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)=-f(-x)=-f(2+x),从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是最小正周期T=4的周期函数,B错误;对于C,f(x)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x+1)的图象关于y轴对称,f(x+1)是偶函数,C正确;对于D,f(x)是周期T=4的周期函数,则f(2 021)=f(1+4×505)=f(1)=1,D正确.故选CD. 8.AD　解析因为f(x+2)=-f(2-x),所以f(x)的图象关于点(2,0)对称.又因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)是最小正周期为8的周期函数,且它的图象关于点(-2,0)对称和关于直线x=4对称,所以f(x+4)为偶函数,故选AD. 9.11　解析由f(0)=a-1=0,得a=1.当x<0时,-x>0,f(-x)=-x+1-2-x=-f(x),即f(x)=x-1+2-x,所以f(x)=于是f(3)=4-23=-4,f(-4)=-5+24=11,故f(f(3))=11. 10.2　解析因为f(x)+f(-x)=2,所以曲线y=f(x)关于点(0,1)对称,曲线y=g(x)=+1也关于点(0,1)对称,则交点(x1,y1)与(x2,y2)关于点(0,1)对称,所以y1+y2=2. 11.C　解析∵f(x)=ex-2-e2-x,∴f(2+x)=e2+x-2-e2-(2+x)=ex-e-x,f(2-x)=e2-x-2-e2-(2-x)=e-x-ex, ∴f(2+x)+f(2-x)=0,因此,函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故选C. 12.ABC　解析对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC. 13.ABD　解析令x=,y=0,则f()+f()×f(0)=f() (1+f(0))=0.又f()≠0,故1+f(0)=0,即f(0)=-1.令x=,y=-,则f()+f()f(-)=4××(-),即f(0)+f()f(-)=-1.因为f(0)=-1,所以f()f(-)=0.又f()≠0,故f(-)=0,故A正确;令y=-,则f(x-)+f(x)f(-)=4x×(-),即f(x-)=-2x,故函数f(x-)是奇函数,故C错误;因为f(x-)=-2x,则f(x+1-)=-2(x+1)=-2x-2,即f(x+)=-2x-2,所以函数f(x+)是减函数,故D正确;令x=1,则f(1-)=f()=-2×1=-2,故B正确.故选ABD. 14.C　解析因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)==0,解得a=-1,所以当0≤x≤2时,f(x)==1-,所以f(x)在[0,2]上单调递增.又因为f(x)为奇函数,所以当-2≤x≤2时,f(x)单调递增.由f(x+4)+f(x)=0,即f(x+4)=-f(x),于是f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为8的一个周期函数,所以f(-33)=f(-1),f(40)=f(0),f(19)=f(3).把x=-3代入f(x+4)=-f(x)可得,f(1)=-f(-3),所以f(3)=f(1),即f(19)=f(1).因为f(x)在[-2,2]上单调递增,所以f(-1)<f(0)<f(1),所以f(-33)<f(40)<f(19).故选C. 15.2　解析f(x)==1-,则函数的定义域为R.设g(x)=,x∈R,则g(-x)==-=-g(x),∴g(x)为奇函数, ∴g(x)max+g(x)min=0. ∵M=f(x)max=1-g(x)min,m=f(x)min=1-g(x)max, ∴M+m=2-[g(x)max+g(x)min]=2. 16.C　解析 令x=-1,得f(2-1)=f(1)-f(1)=0,即f(1)=0,所以f(2+x)+f(-x)=0,故函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.又f(2x)的图象关于直线x=1对称,故f(2x)=f(2(2-x))=f(4-2x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称.f(x)=f(4-x)=-f(-2+x)=f(x-4),所以f(x)是以4为周期的周期函数. 对于A,f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,故f(x+2)的图象关于y轴对称,f(x+2)是偶函数,故A错误; 对于B,f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,故f(x+1)的图象关于原点对称,f(x+1)是奇函数,故B错误; 对于C,由f(2+x)+f(-x)=0,得f+f=0,由f(-x+2)=f(x+2),得f=f,所以f=-f=-,故C正确; 对于D,依题意,得f=-,f(1)=0,f,f(2)=1,f,f(3)=0,f=-,f(4)=-1,故=0,则=f=-,故D错误.故选C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $