31.2.2 第2课时 三角形相似的判定(2) 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级下册

31.2.2 第2课时 三角形相似的判定(2) 素养目标 1.知道“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法,以及“斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似”的判定方法 2.经历用类比、实验操作、分析归纳探究判定两个三角形相似的过程,体会数学知识间的联系. 3.能通过边长计算、比例验证进行三角形相似的判定,体会数形结合与从特殊到一般的数学思想,提升识图辨析和几何演绎推理能力,发展几何推理素养. 重点 相似三角形的判定定理及其应用. 【自主预习】 预学思考 知识点一 三边成比例的两个三角形相似 　　阅读课本本课时开始至“例4”的内容,补全下列新知要点: 1.三边 的两个三角形相似.  2.几何语言: 如图,∵ ,  ∴△ABC∽△A'B'C'. 知识点二 直角三角形相似的判定 阅读课本本课时“例4”之后的内容,补全下列新知要点: 1.有 组锐角相等的两个直角三角形相似.  2.两组直角边 的两个直角三角形相似.  3. 边和 直角边成比例的两个直角三角形相似.  自学检测 1.如图,已知∠ACB=∠D=90°,请添加一个条件使△ABC和△CBD相似,下列添加方式不成立的是 ( ) A.∠A=∠BCD　　　　 B.∠ABC=∠CBD C.=　　　　 D.= 2.在△ABC与△A'B'C'中,有下列条件:①=;②=;③∠A=∠A';④∠C=∠C'.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A'B'C的共有 组.  【合作探究】 题型精讲 题型1 三边成比例的两个三角形相似 例1　求证:三边成比例的两个三角形相似. 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,==.求证:△ABC∽△A'B'C'. 【方法归纳交流】已知三边的长判断两个三角形是否相似,应先将三角形的三边按照 顺序排列,再分别计算它们的 ,再根据比值确定它们是否相似.  变式训练　如图,已知==.∠ABD与∠CBE相等吗?请说明理由. 题型2 直角三角形中的多重相似 例2　如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中共有几对三角形相似?请写出来并说明理由. 【方法归纳交流】直角三角形斜边上的高把直角三角形分成两个小三角形,这两个小三角形与原三角形都 .  变式训练　在上题的条件下,①求证:AC2=AD·AB.②你还有类似的结论吗?试着写一写,证一证. 课堂检测 1.(新考法·开放性问题)如图,=,添加一个条件使△ABC∽△ADE,这个条件是　　　　　　　　　.(写一个即可)  2.如图,设网格中每个小正方形的边长均为1.点A1,B1,C1和点A2,B2,C2都在正方形的顶点上.求证:△A1B1C1∽△A2B2C2. 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 1.成比例 2.== 知识点二 1.一 2.成比例 3.斜　一 自学检测 1.C　2.3 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 证明:如图,在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E. ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴==. ∵==,AD=A'B', ∴=,=, ∴DE=B'C',AE=A'C'. 在△ADE和△A'B'C'中 ∴△ADE≌△A'B'C'(SSS), ∴△ABC∽△A'B'C'. 方法归纳交流　 大小　对应边的比 变式训练 解:∠ABD=∠CBE. 理由:∵==, ∴△ABC∽△DBE, ∴∠ABC=∠DBE, ∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, ∴∠ABD=∠CBE. 题型2 例2 解:图中共有三对三角形相似,分别是△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD. 理由:如图,∵∠ACB=90°, ∴∠1+∠2=90°. 又∵CD⊥AB, ∴∠2+∠B=90°,∠1+∠A=90°, ∴∠1=∠B,∠2=∠A. ∵∠1=∠B,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD. ∵∠2=∠A,∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD. ∵∠1=∠B,∠2=∠A,∴△ACD∽△CBD. 方法归纳交流 相似 变式训练　 解:①由上题可得△ABC∽△ACD, ∴=,∴AC2=AD·AB. ②有类似的结论,如CD2=AD·BD,BC2=BD·AB. 证明如下: 由上题可得△ABC∽△CBD, ∴=,∴BC2=BD·AB. 由上题可得△ACD∽△CBD, ∴=,∴CD2=AD·BD. 课堂检测 1.=(答案不唯一) 2.证明:由题图可知,A1B1==,A1C1==,B1C1=5, A2B2==,A2C2=2,B2C2==, ∴===, ∴△A1B1C1∽△A2B2C2. 学科网（北京）股份有限公司 $