精品解析：河北廊坊市部分校2026-2027学年高二上学期10月联考数学试卷

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的斜率为，则l的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 若，，三点共线，则n＝（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是直线l：上的两点，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 5. 已知空间向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，且是线段上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为1，P为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，E是的中点，F为棱上一点，若平面，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 零向量是任意直线的方向向量 B. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量 C. 空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个非零空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 10. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 恒过点 B. 的斜率不可能为 C. 若关于轴对称的直线方程为，则 D. 若坐标原点到的距离为，则 11. 若点平面，过点M作垂直于平面的直线，垂足为N，则称点N为点M在平面上的正投影，记．如图，在直三棱柱中，，，，记平面为β，平面为γ，P是棱上一动点（与A，C均不重合），，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 存在点P，使得平面 D. 存在点P，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线：与：的交点坐标为______． 13. 已知O为坐标原点，过点的直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当的面积最小时，l的一般式方程为______． 14. 如图，四边形和均为边长为的正方形，平面平面，为的中点，动点在上，若点到直线的距离为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：，：． （1）当时，求a的值； （2）当时，求与之间的距离． 16. 如图，在四面体中，，，且，E，G分别为，的中点，设，，． （1）试用，，表示； （2）求的长； （3）求直线与直线所成角的余弦值． 17. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积； （3）求的角平分线所在直线的方程． 18. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，点C在上，且，过点C的直线与圆O交于点M，N，，点D在母线上，且平面． （1）求的长； （2）求二面角的正弦值； （3）若点关于平面对称的点为E，求点E到平面的距离． 19. 如图，在直四棱柱中，点E在上，，F是的中点，． （1）证明：平面． （2）已知四边形是菱形． ①若，证明：平面． ②若为锐角，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的斜率为，则l的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由直线斜率的定义可知. 因为，所以. 2. 若，，三点共线，则n＝（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间三点共线时同起点的两个方向向量对应坐标成比例的性质，列等式求解n的值. 【详解】已知空间三点、、共线，则向量与共线， ， ，可得 ， 即，解得. 3. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间基底及空间向量共面性质求解． 【详解】对于A，， 则向量与向量，共面，故不能构成一个基底，A错误； 对于B，设，则， 得，显然方程组无解， 故向量与向量，不共面，故能构成一个基底，B正确； 对于C，，则向量与向量，共面， 故不能构成一个基底，C错误； 对于D，， 则向量与向量，共面，故不能构成一个基底，D错误． 4. 已知，是直线l：上的两点，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，是直线l：上的两点，所以，， ，即. 5. 已知空间向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，在上的投影向量. 6. 已知点，，且是线段上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转变为斜率问题求解. 【详解】 如图所示，代表直线的斜率， 当和点重合时，， 当和点重合时，， 所以的取值范围为. 7. 已知正方体的棱长为1，P为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的数量积计算即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 所以当时，. 8. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，E是的中点，F为棱上一点，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点建系，设，再结合即可求出. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，则，则， 若平面，则 即， 则，得，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 零向量是任意直线的方向向量 B. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量 C. 空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个非零空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查空间向量的基础概念，结合直线方向向量、相等向量、空间向量基底、空间向量共面的定义逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：直线的方向向量定义为与直线平行的非零向量，零向量不能作为直线的方向向量，A错误； 选项B：相等向量的定义就是方向相同且模相等的向量，与向量起点位置无关，B正确； 选项C：空间中只有三个不共面的向量才能构成空间的一个基底，共面的三个向量无法作为基底，C错误； 选项D：任意两个空间向量都可以通过平移使起点重合，两个共起点的向量可确定唯一平面，因此可转化为同一平面内的向量，非零向量也满足该性质，D正确. 10. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 恒过点 B. 的斜率不可能为 C. 若关于轴对称的直线方程为，则 D. 若坐标原点到的距离为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】把直线方程整理成含参数的直线系方程，分离参数求出定点，判断A；分与两种情况求斜率，判断B；利用直线关于轴对称的性质求出原直线，反求参数，判断C；利用点到直线距离公式列方程求解参数，判断D，综合选出正确选项. 【详解】对于A，直线：，变形为. 令，解得，即直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线方程为，斜率不存在； 当时，直线方程化为，斜率. 因为，所以的斜率不可能为，故B正确； 对于C，若直线关于轴对称的直线方程为，那么直线的方程为. 将代入直线方程得，要使得该方程代表直线，需要，解得，故C错误； 对于D，坐标原点到直线的距离. 两边平方得到，化简，解得，故D正确. 11. 若点平面，过点M作垂直于平面的直线，垂足为N，则称点N为点M在平面上的正投影，记．如图，在直三棱柱中，，，，记平面为β，平面为γ，P是棱上一动点（与A，C均不重合），，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 存在点P，使得平面 D. 存在点P，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，分别表示出，，的坐标，代入计算即可得出答案. 【详解】由题可得，，三条线两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 设平面的法向量为，，，，，其中， 易得平面的一个法向量为， 因为，， 所以，所以， 取，则平面的一个法向量为， 因为点在上，， 所以，即点坐标表示为， 由题可得平面，且平面，所以， 所以平面，平面，平面 所以， 所以有，即点在平面上，又因为平面平面， 所以点在上，易得， 联立，解得，即点坐标为， 同理可得点坐标为，点坐标为， 所以，， 所以， 因为，所以当时取得最小值， 若，，若，，， 因为，所以，故A正确； ， 对于二次函数，对称轴为直线， 当时，， 所以最小值为，故B错误； 若平面，则，即， 解得，故C正确； 若，则， ，所以有两个不同的实根， ，，符合题意， 所以存在点，使得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线：与：的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】联立直线与的方程，得方程组，解得. 所以直线与的交点坐标为 13. 已知O为坐标原点，过点的直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当的面积最小时，l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先用点斜式设出直线方程从而求出A，B两点坐标，再利用A，B两点坐标求出的面积，最后根据基本不等式求出最小值从而求出斜率得出直线方程. 【详解】由题可设直线方程为， 当时，，即，故， 当时，，即，故， 由题可得且，解得， ， 当且仅当时等号成立，即，因为，所以， 故直线方程为，一般式为. 14. 如图，四边形和均为边长为的正方形，平面平面，为的中点，动点在上，若点到直线的距离为，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】推导出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为四边形和均为边长为的正方形，则，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，所以、、， 则，， 所以点到直线的距离为， 整理可得，即，解得或，均符合题意， 故或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：，：． （1）当时，求a的值； （2）当时，求与之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 解得. 【小问2详解】 因为，所以， 解得或， 当时，直线：，：， 此时，与重合，不合题意，舍去. 当时，直线方程为，即， 直线方程为， 此时与之间的距离为. 16. 如图，在四面体中，，，且，E，G分别为，的中点，设，，． （1）试用，，表示； （2）求的长； （3）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的加减法、数乘运算即可得解； （2）利用空间向量数量积的运算性质求向量模长即可； （3）根据空间向量的夹角公式计算得解. 【小问1详解】 如图， 因为E为棱AB的中点，，，. 所以； 又G为棱CD的中点， 所以， 故. 【小问2详解】 由题知，，的两两夹角都为，且， 所以， 所以 . 所以的长为. 【小问3详解】 因为， 所以. 故直线与直线所成角的余弦值为. 17. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边所在直线的方程； （2）求的面积； （3）求的角平分线所在直线的方程． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先利用两点坐标，由斜率公式求出直线的斜率，再使用点斜式写出直线方程，整理成一般式. （2）先用两点间距离公式求出线段的长度作为三角形的底，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离作为高即可计算面积. （3）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，设角平分线上动点坐标，列出距离等式，结合点坐标，区分内角平分线与外角平分线，化简求出内角平分线直线方程. 【小问1详解】 直线的斜率. 由点斜式得， 整理得. 【小问2详解】 . 点到直线：的距离. 所以. 【小问3详解】 ，所以直线的方程为，即. 直线的方程为. 设角平分线上任意一点，则点到距离相等， ，得. 得到两种情况： ① ，化简，结合图象(舍去)； ② ，化简，即. 所以的角平分线所在直线方程为. 18. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，点C在上，且，过点C的直线与圆O交于点M，N，，点D在母线上，且平面． （1）求的长； （2）求二面角的正弦值； （3）若点关于平面对称的点为E，求点E到平面的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理，可得，由此得，从而求得； （2）建立空间直角坐标系，利用向量求得二面角的余弦值，从而求得其正弦值； （3）设点在平面内的投影为，则点E到平面的距离为点到平面的距离的2倍.由二面角的定义，结合（2）的结论求得点到平面的距离，从而得点E到平面的距离． 【小问1详解】 若平面，平面， 而平面平面，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 如图所示，以为原点，以所在直线为轴，以过垂直的直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 直线的方程为，即，而圆的方程为， 由，得或. 所以. 所以. 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量，则， 令，则，所以平面的一个法向量为. 所以. 设二面角的平面角为，则，所以. 【小问3详解】 设点在平面内的投影为，则平面，且为的中点， 所以点E到平面的距离为点到平面的距离的2倍. 而，且由（2）知，点到平面的距离为. 取的中点，由，得， 则平面，得， 因为平面，所以平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以. 所以，所以 所以点到平面的距离为，所以点E到平面的距离为． 19. 如图，在直四棱柱中，点E在上，，F是的中点，． （1）证明：平面． （2）已知四边形是菱形． ①若，证明：平面． ②若为锐角，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）取的中点，连接， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面． （2）①由题意知. 若，则，且， 因为，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以， 因为平面， 所以平面． ② 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据面面平行的判定定理，证明平面平面，从而证得平面； （2）①建立空间直角坐标系，利用向量根据线面垂直的判定定理证明平面；②设，根据等体积法用表示点到平面的距离，从而表示出直线与平面所成角的正弦值，再构造函数，利用导数求得其最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 中，， ， ， 所以， 所以， 所以. . 设点到平面的距离为， 由， 即， 得 所以直线与平面所成角的正弦值为. 令，则， ， ， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在，即，处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $