精品解析：河北省文安县第一中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间四点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则和平行四边形法则，根据起点相同的原则，首先计算，再计算，即可得出正确答案. 【详解】； 故选：. 2. 下列直线中，倾斜角为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角为，则该直线的斜率为，逐项判断即可. 【详解】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 所以这四条直线中，倾斜角为的是. 故选：C 3. 设空间向量，则（ ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行，列等式求解即可. 【详解】因为，所以，解得 故选：B. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 【答案】D 【解析】 【分析】写出两圆圆心和半径，由圆心距与半径和（差）的关系即可得到两圆的位置关系. 【详解】圆，圆的圆心分别为，则. 圆，圆的半径分别为，则，则这两个圆的位置关系是外切. 故选：D. 5. 在正三棱锥中，分别是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量运算化简已知条件，求得，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案， 【详解】由， 所以，由于，所以 在正三棱锥中，，则三角形是等边三角形， 分别是中点，所以， 所以，所以. 故选：C 6. 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，结合图象求得边界线得方程，可得答案. 【详解】由曲线，整理可得， 则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图： 由图可得直线与圆相切，则，解得， 由图可得直线的方程为；； 由图可得直线过，可得方程； 由图可得直线过，可得方程. 由图可得. 故选：A. 7. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可. 【详解】取的中点的中点，连接. 因为，所以，且. 以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以点到平面的距离为. 故选：A. 8. 已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含， ，得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，：，则下列判断正确的是（ ） A. 的斜率为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，相交于一点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式即可求解斜率判断A选项；由两直线平行与垂直的表示可判断BC选项；联立直线与求出交点坐标，再代入可判断D选项. 【详解】对于A选项：：，即，其斜率为，A错误； 对于B选项：若，则，解得，B正确； 对于C选项：若，则，解得，C正确； 对于D选项：联立：， 若，，相交于一点，等价于点在直线上， 则，解得.D错误. 故选：BC. 10. 在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D． 【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点， 所以，A正确，C错误. 因为，且，， 所以，B正确. ，D错误. 故选：AB． 11. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意得，即， 解得，. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 13. 若点与点关于直线对称，则的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由两点关于直线的性质可求得的坐标. 【详解】设，则，解得. 所以的坐标为. 故答案为： 14. 在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可； （2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解； （3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补， 即可求解 【详解】解：（1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （方法二）令，得， 令，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得， 解得， 所以所求直线的方程为. （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为， 即（或）. （3）（方法一）因为直线的倾斜角为， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 所以直线的倾斜角为. （方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 所以这两条直线的倾斜角互补， 所以直线的倾斜角为. 16. 在四棱锥中，底面. （1）证明：平面CDE. （2）设. （i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值； （ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于. 【答案】（1） 证明：因为平面平面CDE， 所以平面CDE. （2）（i）； （ii）证明：同上建系，设平面CDE的法向量为， 则,令，得. 设平面CDE与平面BCE的夹角为， 由， 所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于 . 【解析】 【分析】（1）直接运用线面平行的判定定理证明即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公式求解；（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，, 则. 设平面BCE的法向量为，则， 令，得. （i）设直线AD与平面BCE所成角为 ， 因为，所以， 所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为. （ii）略 17. 已知直线，圆. （1）证明：过定点. （2）若与圆相切，求的方程. （3）若点在圆上，求的取值范围. 【答案】（1） 由题意得. 由得 所以过定点. （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）整理的方程，通过解方程组求得定点坐标. （2）结合与圆相切，利用点到直线的距离公式（或对直线的斜率进行分类讨论）来求得直线的方程. （3）将问题转化为点和圆的位置关系，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一： 由题意得圆的圆心为，半径为1. 由，得或1. 故的方程为或. 法二： 由题意得圆的圆心为（0，1），半径为1. 当的斜率不存在时，直线与圆相切. 当的斜率存在时，设，即. 由，得，则. 故的方程为或. 【小问3详解】 由题意得， 表示点到点的距离的平方. 因为， 所以1. 故， 即的取值范围为. 18. 已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为，联立韦达定理，通过为定值写出方程，化简求解即可. 【小问1详解】 设动点，则，， 而，故，化简得：， 故的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 联立得：， 故， 根据弦长公式得： ， 令，， 故， 设，易知在上单调递减，故当，最大， 即 最大，此时，故（舍）或， 故最大值为. 【小问3详解】 设点坐标为，，，过点的动直线为：. 联立得：， 故， ，， 又，位于过点的动直线： 上， 故，. 则， 将代入上式， 得：， 若使为定值，则必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为，过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程，即，其中． （1）已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值． （2）已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，，证明：． （3）在斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为． 设两平面的交线的方向向量为，则， 令，则，，可得． 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量， 则，即． 又，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）根据给出的结论，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成的角的正弦值. （2）求平面与交线的方向向量和平面的法向量，利用向量的方法，证明直线与平面平行. （3）分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求平面角的余弦值. 【小问1详解】 解：由直线的点方向式方程为， 可知直线的一个方向向量为， 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由平面经过三点，，..， 可得，． 设侧面所在平面的法向量为， 则， 令，解得，，可得． 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为． 设平面与平面的交线的方向向量为， 则， 令，可得． 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 由，，得，，解得， 即． 故平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间四点，，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列直线中，倾斜角为的是（ ） A. B. C. D. 3. 设空间向量，则（ ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切 5. 在正三棱锥中，分别是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，：，则下列判断正确的是（ ） A. 的斜率为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，相交于一点，则 10. 在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 13. 若点与点关于直线对称，则的坐标为_____. 14. 在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 16. 在四棱锥中，底面. （1）证明：平面CDE. （2）设. （i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值； （ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于. 17. 已知直线，圆. （1）证明：过定点. （2）若与圆相切，求的方程. （3）若点在圆上，求的取值范围. 18. 已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为，过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程，即，其中． （1）已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值． （2）已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，，证明：． （3）在斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $