精品解析：四川绵阳市南山中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次月考数学试题

数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系即可求出. 【详解】化为， 设直线的倾斜角，则，即. 故选：B. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以, 即，即， 所以，所以. 4. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 5. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 6. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，，. . . 在上的投影向量的模为：. 7. 已知平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能的取值情况是（ ） A. 只有唯一值 B. 可取两个不同值 C. 可取三个不同值 D. 可取无穷多个值 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，再利用两条直线平行的条件求出的值． 【详解】解：若三条直线将平面划分成6个部分， 则其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，则或， 或者三条直线经过同一个点，即和的交点在直线上，此时． 综上， 或或， 故选：C． 8. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，且，则线段的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用等腰三角形性质求出和，通过向量分解及垂直关系计算 ，向量结合夹角公式列方程求解即可. 【详解】设， 因为是 的中点，，所以， 在 中，， 所以 ， 同理，因为是的中点，，所以， 在中，， 所以， 连接，因为，所以， 故， 又为中点，所以， 因为，所以，故， 又为中点，所以， 因为， 所以， ，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以，即， 将和进行分解：，， 以 ， 在中，， 由题意知， 即， 化简得， 解得， 因为，所以，即. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线l的两点式方程为，则下列选项正确的是（ ） A. 直线l经过点 B. 直线l的斜截式方程为 C. 直线l的横截距为 D. 与直线l垂直的直线的一个方向向量为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A：由直线方程可知直线l经过点和，故A正确； 对于选项B：由直线方程即为，可得， 所以直线l的斜截式方程为，故B错误； 对于选项C：对于直线l：，令，解得， 所以直线l的横截距为，故C正确； 对于选项D：因为直线l的斜率，则直线l的一个方向向量为， 且，即， 所以与直线l垂直的直线的一个方向向量为，故D正确. 10. 在棱长为1的平行六面体中，，点P满足，其中x，y，，则（ ） A. 当时， B. 当时，P在平面内 C. 当时，P的轨迹的面积为 D. 当时，不存在点P使得面 【答案】BC 【解析】 【分析】本题主要考查向量的模长计算方式；空间四点共面的证明转化为一个向量，用另外两个向量来线性表示；动点轨迹用向量来证明是平行四边形，再求面积；线面垂直的性质. 【详解】由题意可知， 对于A选项，当时， ，所以A选项错误. 对于B选项，当时， 、、三个向量共面，所以P在平面内，故B选项正确. 对于C选项，当时， ，表示以为起点，终点在平行四边形内部及其边上， 取M、N、E、F分别为、、、的中点，如下图， 表示点P的轨迹为平行四边形内部及其边界， 所以P的轨迹的面积为故C选项正确. 对于D选项，当时 假设存在点P使得面，则 ， 所以，x，y，符合题意，所以 所以存在点P使得面，故D选项错误. 【点睛】本题优先选择基底法，不用建立空间直角坐标系，利用空间向量基本定理，把几何条件全部转化为向量运算进行求解. 11. 在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的长最小值为 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间中两点间距离公式计算判断A；根据空间向量数量积坐标运算计算判断B；根据空间中两点间距离公式计算化简将问题转化为到两定点和的距离之和的倍，进而计算可判断C；结合正方体的对称性，利用正方体的外接球直径判断D. 【详解】如图，以D点为原点，建立空间直角坐标系，正方体棱长为1， 则:， ，设， 对于A选项，， 当时，的长有最小值为，故A选项错误； 对于B选项，若，则， ，故B选项正确. 对于C选项，， ， ， 整理得： ， 可看成是到两定点和的距离之和的倍，转化为平面上两点间折线距离问题，最小距离为，故C选项正确. 对于D选项，， ，， 因为，平面， 所以平面， 设与平面的垂足为， 则， 是正方体的外接球直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转，故D选项正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.） 12. 直线l过点，且横截距是纵截距的两倍，则直线l的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，， 即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得， 即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先证明平面，再求出平面的法向量和直线的方向向量，应用点到平面的距离公式求得结果. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 而平面，平面，故平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 又，， 设平面的法向量为， 故，即，取，则， 又， 故点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 设，点是平面上的定点，动直线和动直线交于点P，则的最大值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两动直线各过一定点且互相垂直可得 交点轨迹为以两定点为直径端点的圆，再用“圆外一点到圆上点的最大距离 = 点到圆心距离 + 半径”求解. 【详解】设 ，. 对于 ，令 得 ，故 恒过定点 . 对于 ，整理为 ，令 得 ，故 恒过定点 . 当 时， 的斜率 ， 的斜率 ，，故 ；当 时， 与 仍垂直. 因此点 P 对 M、N 的张角恒为直角，P 的轨迹是以 MN 为直径的圆. 圆心为 MN 的中点 ， 半径 . 点 到圆心 C 的距离为 . 故 |PA|的最大值为 . 【点睛】两动直线垂直且各过一定点时，交点轨迹是以两定点为直径端点的圆；圆外一点到圆上点的最大距离 = 点到圆心距离 + 半径. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线l的方程为，． （1）若直线l的斜率为2，求m的值； （2）若直线l与直线垂直，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为直线l：的斜率为2， 则，解得. 【小问2详解】 若直线l与直线垂直， 则，解得. 16. 如图，在三棱柱中，点D是的中点，，，，，设，，． （1）用表示，； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解， （2）根据数量积的运算求解模长，即可利用向量的夹角求解. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 由题意可得 故， , 故， 所以异面直线与所成角的余弦值为 17. 已知直线与． （1）若一条光线从与的交点射出，且经x轴反射后经过，求入射光线所在直线的方程； （2）若直线l经过点，且它夹在直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 先求两直线交点，利用反射的对称性得到反射光线上点关于x轴的对称点，该对称点与交点连线即为入射光线，两点式求方程； （2）设直线l与两已知直线的交点，利用中点坐标公式得交点坐标关系，代入已知直线方程求交点，进而得直线l的方程 【小问1详解】 联立，两式相加得，解得，代入得，故交点为， 设反射光线经过的点为，根据光线反射的对称性，点关于轴的对称点在入射光线上， 入射光线过和，斜率， 由点斜式得方程： ，整理得 【小问2详解】 设直线与交于，与交于， 因是中点，由中点坐标公式得： ，即 将坐标分别代入所在直线方程得： ， 解得，即， 直线过和，斜率， 由点斜式得方程： ，整理得. 18. 四棱锥中，为中点，为平面内任意一点，且满足，，，，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的余弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：为平面内任意一点，， 当与重合时，则，，当与重合时，同理， 而为中点，则平面，又，于是平面， 由平面，得，由，是中点，得， 而，，则，由，得， 又，则，在直角梯形中，， 因此，即，又平面， 所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求解. （3）假设在侧棱上存在点，再利用空间位置关系的向量证明求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，则，由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 由二面角的平面角的余弦值为，得， 解得，所以. 【小问3详解】 假设在侧棱上存在点，使得共面，即平面， 由（2）知，平面的法向量为， 设，则，而， 因此，由平面，得，解得， 所以在侧棱上存在点，使得共面，. 19. 如图1，在平面五边形中，，，，，、分别为、的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2． （1）若平面． （i）证明：； （ii）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围． （2）在翻折的过程中，二面角正弦值的范围为，求平面与平面夹角的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）如图，令， 由，得，由，，得， 则，， 而，则为正三角形，于是， 又，则， 由平面，平面，得， 而，、平面，因此平面， 又平面，所以. （ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证； （ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式列式求出球心坐标，再结合球面的性质求出的范围； （2）由二面角的定义确定二面角的平面角，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由、分别为、的中点，得，则， 作，则直线、、两两垂直， 以为原点，直线、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、， 设球心为，由， 得，解得， 即，因此球的半径， ， 则的最小值为，的最大值为， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 令，因为，且为的中点，所以为的中点， 连接，则，，作平面， 则直线、、两两垂直，以为原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， 设，由（1）知，而，则是二面角的平面角， ，由二面角正弦值的范围为，得， 由，得，， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，取，得， ，取，得， 设平面与平面夹角的大小为，则 ，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，此时取得最小值， 所以平面与平面夹角的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 6. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能的取值情况是（ ） A. 只有唯一值 B. 可取两个不同值 C. 可取三个不同值 D. 可取无穷多个值 8. 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，且，则线段的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线l的两点式方程为，则下列选项正确的是（ ） A. 直线l经过点 B. 直线l的斜截式方程为 C. 直线l的横截距为 D. 与直线l垂直的直线的一个方向向量为 10. 在棱长为1的平行六面体中，，点P满足，其中x，y，，则（ ） A. 当时， B. 当时，P在平面内 C. 当时，P的轨迹的面积为 D. 当时，不存在点P使得面 11. 在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的长最小值为 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.） 12. 直线l过点，且横截距是纵截距的两倍，则直线l的方程为________. 13. 在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______. 14. 设，点是平面上的定点，动直线和动直线交于点P，则的最大值为______________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线l的方程为，． （1）若直线l的斜率为2，求m的值； （2）若直线l与直线垂直，求m的值． 16. 如图，在三棱柱中，点D是的中点，，，，，设，，． （1）用表示，； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知直线与． （1）若一条光线从与的交点射出，且经x轴反射后经过，求入射光线所在直线的方程； （2）若直线l经过点，且它夹在直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 18. 四棱锥中，为中点，为平面内任意一点，且满足，，，，，． （1）求证：平面； （2）若二面角的平面角的余弦值为，求出的值； （3）在侧棱上是否存在点，使得共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图1，在平面五边形中，，，，，、分别为、的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2． （1）若平面． （i）证明：； （ii）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围． （2）在翻折的过程中，二面角正弦值的范围为，求平面与平面夹角的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $