四川省绵阳中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

绵阳中学2025级高二上期第一学月月考 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．点在平面的射影的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，由于有2台这样的设备，所以每2个随机数为一组，代表两台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 41 45 31 53 22 34 15 25 42 14 43 41 13 43 12 23 31 23 35 44 据此估计一年内这2台设备都不需要维修的概率为（ ） A．0.4 B．0.6 C．0.64 D．0.8 3．若，，不能构成空间向量的一个基底，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．假设，，且A与B相互独立，则（ ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 5．在空间四边形中，已知点M、N分别是、的中点，且，，，用向量，，表示向量正确的是（ ） A． B． C． D． 6．一组递增数据，，，，的平均数为1，方差为4，极差为6，若（，2，3，4，5），则（ ） A．，，，，的极差为6 B．，，，，的方差为16 C．，，，，的上四分位数为 D．，，，，的平均数为2 7．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，下列说法错误的是（ ） A．四面体一定为正四面体 B．这6个中点的连线构成的多面体一定为八面体 C．这三组相对棱的中点的连线交于一点 D．四面体三组相对的棱两两垂直 8．有三角形，对于其三边、、，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次朝下的数字为2或3”，事件B为“两次朝下的数字积为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A． B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件B互斥 D． 10．对于空间一点O，下列命题中正确的是（ ） A．若，则P，A，B，C四点共面 B．若，则P，A，B，C四点共面 C．若，则P，A，B三点共线 D．若，则P是线段的中点 11．已知，，，，都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确的是（ ） A．这组数据最多有4个数据小于7 B．这组数据最多有4个数据大于7 C．若这组数据的方差为2，则 D．若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6 三、填空题（每题5分，共15分） 12．七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的__________（请从“中位数，众数，平均数，极差”选一个合适的填空） 13．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为__________． 14．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为2，则该几何体外接球的表面积为__________． 四、解答题（本大题5小题，共77分） 15．（13分）如图，在长方体中，，，点E在上，且． （1）求点E到直线的距离； （2）求三棱锥的体积． 16．（15分）为了调查某市居民对的了解情况，随机选取100名市民参加有奖考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为，，的市民中，用分层抽样的方法抽取15人调查反馈，则考核成绩在中的市民应抽取多少人？ （2）若已知样本中考核成绩为的市民的平均成绩是56，方差是5，考核成绩为的市民的平均成绩为76，方差是8，求这两组市民整体的平均成绩和方差． 17．（15分）如图，在三棱锥中，若，，点D为棱上一点，且，，且． （1）求的棱长； （2）若为等腰三角形，求异面直线与的夹角． 18．（17分）某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率． （2）若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题1位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求p的取值范围． 19．（17分）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E在母线上，且，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若点M为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时平面与平面的夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $