精品解析：四川省资阳中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高2025级第三学期10月月考 数 学 试 卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列试验是古典概型的是（ ） A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B. 某小组有男生人，女生人，从中任选人做演讲 C. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 D. 在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，A错误； 对于B，人数有限，且任选人与性别无关，是等可能的，B正确； 对于C，命中环，环，环……环的概率不相同，不满足等可能性特征，C错误； 对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，D错误． 2. 已知，，且，则（   ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，解得， 所以，， 得． 3. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 531 224 344 151 254 424 142 435 414 135 432 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.45 C. 0.5 D. 0.55 【答案】C 【解析】 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 4. 如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：，， 所以 . 5. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为，故选D． 6. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 7. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可. 【详解】平面的方程为， 平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则 设直线与平面所成角为， 则 故选：A 【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 一定有 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A：因为，故A正确； 对B：因为，所以， 所以. 故B正确； 对C：由，所以，所以C错误； 对D：记事件：掷一枚骰子，得到点数小于3.则，记事件：掷一枚骰子，得到点数为6,.则，但不成立，故D错误. 故选：AB 10. 给出以下命题，其中正确的命题是（     ） A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为； B. 若平面与平面的法向量分别是与，则； C. 若三棱锥的体积是三棱锥体积的，且，则λ的值为或2； D. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，由异面直线所成角的公式可判断；对B，计算两平面的法向量的数量积判断；对C，由点与点到平面的距离关系列式求解判断；对D，根据投影向量的计算公式计算判断. 【详解】对于A：异面直线所成角的取值范围是，因此异面直线与所成角的余弦值为，A错误； 对于B：因为，所以，因此，B正确； 对于C：两个三棱锥同底，体积比为，说明到平面的距离是到平面距离的， 由得， 整理为，设平面的法向量为， 则点到平面的距离， 又点到平面的距离且，所以，即，C错误； 对于D：计算得，，投影向量公式为，其中，，因此投影向量为，D正确. 11. 已知正方体的棱长为是正实数，点分别满足，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，与平面所成角为定值 C. 当时，平面将正方体分成体积比为的两部分 D. 当时，点到平面距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量法求解，选项A，利用向量的数量积求解；选项B，求出平面的法向量，利用向量的数量积求出与平面所成角的正弦值，通过反例得到结论；选项C，求出点的轨迹方程，从而得到平面截正方体的截面，得到截面将正方体截得的一部分为三棱台，利用棱台的体积公式求出三棱台的体积，从而得到结论；选项D，求出平面的法向量，利用距离公式求出点到平面的距离，利用二次函数的图像和性质求出点到平面的距离的最大值. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为， 所以，，，， ，，，， 则，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 则，， 选项A：当时，因为， 所以，则A正确. 选项B：因为平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 且， 因为，所以， 因为不是定值，所以不是定值，则B错误. 选项C：因为，所以， 将代入点，得到转化为， 设，则，则， 取的中点，的中点， 则点的轨迹为的中位线， 则平面截正方体得到梯形， 且为的中点，为的中点， 所以为三棱台， 因为，所以， 因为，所以， 则， 因为正方体的体积为， 所以另一部分的体积为， 则，则C正确. 选项D： ， 向量， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，则， ， 则点到平面的距离为 ， 令，则， 因为，所以，当且仅当时取等号， 则 设，对称轴为，， 则，则D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角的等价条件：两向量数量积小于0且不反向共线，列不等式求解参数范围. 【详解】由两向量夹角为钝角的必要条件，得， ，解得. 若与共线，则存在实数满足， 即，解得，此时， 故，实数的取值范围为. 13. 在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设出P点坐标，根据三点共线可得,再根据向量共线的坐标表示列方程组即可求得P点坐标. 【详解】设直线与平面的交点为,则, 即, 即, , , , 直线与平面的交点的坐标为 14. 如图，三棱柱的棱长均为，若，其中，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出与平面的法向量，再利用向量夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，再结合的取值范围以及函数的单调性可求解出范围. 【详解】 如图，取的中点，连接，因为， 所以，又， 所以， 所以，即. 又因为，所以，即，所以两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 因为，则. 设是平面的法向量，则即， 取， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 令，由，得， 又，故，，所以， 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸） 15. 某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖. （1）求顾客一次抽奖中奖的概率； （2）若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值. 【答案】（1）； （2）2000元. 【解析】 【分析】（1）由题意，利用列举法写出满足题意的样本空间，结合古典概型的概率公式计算即可求解； （2）由（1），求出每次中一、二等奖的概率，即可求解. 【小问1详解】 设，为两个标有“中奖”字样的小球，，，为三个未标有“中奖”字样的小球， 从中随机抽取两个小球，则有 ，，，，，，，，，共10种情况， 其中中奖的情况共有7种. 所以顾客一次抽奖中奖的概率为. 【小问2详解】 由（1）可知，每次中一等奖的概率为. 每次中二等奖的概率为. 故进行500人次抽奖克出奖品价值的估计值为元. 16. 如图，在中，，点，分别在，上，，，沿将翻折起来，使得点到的位置，满足． （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析. （2）. 【解析】 【分析】(1)结合已知条件，利用勾股定理证明，然后利用线面垂直判定定理即可证明； (2)结合已知条件，建立空间直角坐标系并求出平面和平面的法向量，然后利用二面角的向量公式求出二面角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 【小问1详解】 在中, 设， ∵，， ∴，，， ∴，即， 在中，，即， ∵，平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 ∵，，∴. 由(1)知，平面，以为坐标原点, 建立如下图所示坐标系， 则，，，， ，， 设是平面PDE的法向量， 则， 令，得，， 故， 同理, 可知平面PEC的一个法向量， 设二面角的平面角为，由图可知为钝角， 故， 故. 从而二面角的正弦值为. 17. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其他情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题1题2题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率； （2）若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ 【答案】（1） （2）应将题1放在中间，题2、题3放在首尾，即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大. 【解析】 【分析】(1)获得30天会员需三道题全部答对，直接利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算； (2) 先推导任意答题顺序下获得会员的概率表达式，发现概率大小由中间题的答对概率决定，将答对概率最高的题放在中间即可得到最大概率. 【小问1详解】 甲按题1→题2→题3的顺序答题，获得30天会员的条件是连续答对3道题，即3道题全部答对. 由于各题答对与否相互独立，因此所求概率为： . 【小问2详解】 设任意答题顺序为（为3道题的一个排列），获得会员的条件为至少存在连续2道题答对， 即事件“答对且答对”与“答对且答对”至少一个发生.  由各题答题结果相互独立得   而3道题的答对概率分别为，，， 类型①：中间放答对概率最低的题3， ， 类型②：中间放题2，， 类型③：中间放概率最高的题1，， 而，因此应将题1放在中间，题2、题3放在首尾， 即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大. 18. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是梯形，，，E为矩形两条对角线的交点，且平面．   （1）证明：； （2）若，侧棱(),求直线与平面所成角正弦值的取值范围. 【答案】（1） 证明：在直四棱柱中，，，， 所以以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，，，， 则，，，，， ，， 因为，，， 所以平面，所以为平面的法向量， 因为平面， 所以，即， 即，所以， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建系，设出各边长度，求出各点坐标，接着求出的坐标与平面的一个法向量的坐标，利用线面平行的向量关系列出方程，即可证明. （2）根据边长，求出各个点的坐标，求出的坐标与平面的一个法向量的坐标，利用线面角与向量夹角的关系即可用表示出线面角的正弦值，再利用基本不等式即可求出直线与平面所成角正弦值的范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为， 由(1)可得，， 所以各点坐标为：，，，，， ， 在平面中，，， 设平面的一个法向量， 所以有，即， 令，得，， 所以， 直线与平面所成角正弦值为 ， 由基本不等式得：， 当且仅当时，等号成立，即，即， 因此，， 因为，所以， 所以直线与平面所成角正弦值的取值范围为. 19. 已知四棱锥的底面为菱形，且，平面，且.平面与线段、、分别交于点、、，且满足. （1）当时，平面与棱交于点.证明：为中点； （2）当时，判断平面截四棱锥所得截面的形状，并求截面面积； （3）当时，记为中点，线段上是否存在一点满足平面.若存在说明理由找出位置，若不存在说明理由. 【答案】（1）当时，由，可得是中点，是中点，是中点，由三角形中位线定理可得， 又平面，平面，得平面， 又面平面，且面，结合平面， 由线面平行性质定理，得， 在底面菱形中，，是中点，即， 在中，因为，所以，即， 因此，为中点. （2）五边形， （3）不存在，理由如下： 当时，，得、、， ，， 设平面的一个法向量， 则，取，得， 由（2）设，得， 为中点，得，所以， 由平面，得， 即，解得，舍去， 所以线段上不存在点满足平面． 【解析】 【分析】（1）通过线面平行性质定理得到线线平行，利用相似三角形性质即可得证； （2）通过判断平面与各棱的交点，确定截面为五边形，截面五边形总面积等于三角形与四边形的面积和，； （3）根据在线段上表示出的坐标，将平面，转化为，即，通过运算得到的坐标，从而确定的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，、的方向分别为、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 、、， 因为四边形为菱形，，则、， 当时，、、， 则，， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，得， 在取一点，则截面为五边形， 设，得，， 由于也是平面的一个法向量，则， 所以，解得， 则，所以，， ，， 所以， 所以， 所以， 由（1）知为中点，得， 所以，，得， ，所以四边形是平行四边形， ，则， ，， ， ， ， 所以截面五边形的面积. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级第三学期10月月考 数 学 试 卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列试验是古典概型的是（ ） A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B. 某小组有男生人，女生人，从中任选人做演讲 C. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 D. 在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 2. 已知，，且，则（   ） A. B. C. 6 D. 3. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 531 224 344 151 254 424 142 435 414 135 432 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.45 C. 0.5 D. 0.55 4. 如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为 A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件发生的概率分别为，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 一定有 10. 给出以下命题，其中正确的命题是（     ） A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为； B. 若平面与平面的法向量分别是与，则； C. 若三棱锥的体积是三棱锥体积的，且，则λ的值为或2； D. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是 11. 已知正方体的棱长为是正实数，点分别满足，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，与平面所成角为定值 C. 当时，平面将正方体分成体积比为的两部分 D. 当时，点到平面距离的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 13. 在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 14. 如图，三棱柱的棱长均为，若，其中，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸） 15. 某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖.抽奖箱里放有5个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球，且商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖. （1）求顾客一次抽奖中奖的概率； （2）若顾客一次抽奖抽到两个“中奖”小球为一等奖，可兑取价值10元的奖品；一次抽奖只抽到一个“中奖”小球为二等奖，可兑取价值5元的奖品.某日该商场进行的抽奖共计500人次，估计兑出奖品的总价值. 16. 如图，在中，，点，分别在，上，，，沿将翻折起来，使得点到的位置，满足． （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的正弦值． 17. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其他情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立． （1）若，且甲按题1题2题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率； （2）若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ 18. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是梯形，，，E为矩形两条对角线的交点，且平面．   （1）证明：； （2）若，侧棱(),求直线与平面所成角正弦值的取值范围. 19. 已知四棱锥的底面为菱形，且，平面，且.平面与线段、、分别交于点、、，且满足. （1）当时，平面与棱交于点.证明：为中点； （2）当时，判断平面截四棱锥所得截面的形状，并求截面面积； （3）当时，记为中点，线段上是否存在一点满足平面.若存在说明理由找出位置，若不存在说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $