精品解析：北京市西城区德胜中学2025-2026学年九年级上学期十二月数学月考试卷

初三年级数学学科 满分：100分 考试时间：120分钟 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念，作答即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B选项为轴对称图形， 根据中心对称图形的定义可知：B选项为中心对称图形． 故选：B． 2. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式得出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，故A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 3. 抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线是， 故选：C． 4. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意即可列出方程求解． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为， 根据题意得． 故选：A． 5. 如图，点A、B、C在上，为等边三角形，则的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解. 【详解】∵为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴=∠AOB =×60°=30°. 故选D. 【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B，可判断C，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D． 【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确； 事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B正确； 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C不正确； 图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D不正确． 故选择B． 【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键． 7. 如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则正六边形的面积是（ ） A. B. 12 C. D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，，过点O作于点H，如图所示： ∵O是正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴正六边形的面积． 故选：A． 8. 二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值，如表，其中 0 2 2 2 下列结论：①；②当时，的值随值的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ①③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线和，然后根据二次函数的性质进行分析判断即可得解． 【详解】解：由表格可知，对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， 当时，， ， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ，①正确； ∵，且对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，②错误； 将代入方程左边， 得 ， 当时，得， ∴代入得 ， ∴是的一个根，③正确； 由表格可知，抛物线与交于与，且和， ∴当时，， ，④错误， 综上所述，正确的有①③， 故选B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______． 【答案】（-4，7） 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而得出答案． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为（-4，7）， 故答案是：（-4，7）． 【点睛】此题主要考查了原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 10. 关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实根，可得，即可解答，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实根， ， 解得， 故答案为：4． 11. 在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到0.01） 【答案】0.95 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格数据，利用频率估算概率即可． 【详解】从频数表可知，发芽频率分别为0.953，0.948，0.952，0.951，0.950，这些值稳定在0.95附近，根据频率的稳定性，大量重复试验时频率接近概率，故该稻种的发芽概率约为0.95． 故答案为：0.95． 12. 如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则点B的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点B作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点B的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点B作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，先根据旋转性质得到，，，再利用三角形的内角和定理，结合等边对等角求得即可． 【详解】解：由旋转性质得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱，如图所示的马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为1米，圆心角，则长度为______． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知扇形弧长的计算公式是解题的关键，根据的长度及的度数，可求出的长，再结合的长可求出的长，再利用弧长公式计算即可得解． 【详解】解：的长为米，， ， 解得： 长为1米， 的长为米， 的长度为：(米)， 故答案为：米． 16. 如图，的半径为，是直径，点在上，，点是上一动点，取弦的中点，连接，当点在上运动时，线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确得出点的运动轨迹是解题关键．过点作于点，取的中点，连接，先根据三角形的中位线定理可得，则在点的运动过程中，点在以点为圆心、半径为2的圆上运动，再根据圆的性质可得当点在线段上时，线段的值最小，最小值为，然后根据勾股定理可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， ∵的半径为， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴在点的运动过程中，点在以点为圆心、半径为2的圆上运动， 由圆的性质可知，当点在线段上时，线段的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴在中，， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18-19题4分，第20题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程，即可求解； （2）先化简方程，再利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 或 18. 已知二次函数. （1）求该二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，的取值范围是 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后利用的性质即可得解； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴二次函数的图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：且对称轴在的范围内， 当时函数值有最大值，最大值为， 当时函数值有最小值，最小值为， ∴函数值的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 19. 如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论与勾股定理；连接，并设圆的半径为r；由垂径定理推论得，；在中，利用勾股定理建立方程即可求得半径． 【详解】解：如图，连接，设圆的半径为r； ∵D是中弦的中点， ∴，； ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：； 答：的半径为． 20. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图，作射线OP； ① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ②连接并延长BA与⊙A交于点C； ③作直线PC； 则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴ ∠BPC=90° （填推理依据）． ∴ OP⊥PC． 又∵ OP是⊙O的半径， ∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）． 【答案】 解；（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求； （2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 21. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； （2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得从这4张书签中随机抽取2张的所有等可能的结果，再找出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果， ∴从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从这4张书签中随机抽取2张共有12种等可能的结果，其中，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果有2种， 则随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为， 答：随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 22. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 【答案】（1） ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程． （1）根据，进行作答即可； （2）由，解得，，由方程的实数根均为非负数，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，，， ∵该方程的实数根均为非负数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． 23. 如图，为直角三角形，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，求证：． 【答案】 证明：∵将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为， ∴，， ∴， 在中，是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，再结合直角三角形斜边上的中线的性质即可推出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握旋转的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 24. 如图，在中，，以为直径的交，于点，连接，是上一点，满足． （1）求证：是的切线． （2）过点作于点，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵四边形是内接四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴ ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∵为半径， ∴是切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先通过，，得再通过，得，得到，再通过求解得到，，即可得到是切线； （2）连接，过点作于点，先求，得半径，则．通过勾股定理求得，在和中，，可得，则，据边与边的关系求得．在，利用勾股定理即可得：得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在中， 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在，， ∴． 【点睛】本题考查了利用三角函数解直角三角形，圆的内接四边形的性质、切线的判定，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下： 令，则， 解得或（舍去）， ∴球第一次落在球桌面上的点为， 把代入，得， 解得（舍去）或， ∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系， 当时，， 解得或（舍去）， ∵， ∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上． 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质； （1）从表格中发现高度的最大值为50，可知顶点为，可知，再将代入即可求出； （2）乒乓球在桌面的落点就是抛物线与x轴的交点，在中令，即可求出球第一次落在球桌面上的落点，再将代入到求出弹起后满足的关系式，再令，就可求出第二次的落点，然后跟桌面长度比较即可，注意乒乓球是向前运动的，即在坐标系中是向右运动的，所以求出在左侧的落点要舍去. 【小问1详解】 解：乒乓球竖直高度的最大值 依题意，， ∴与的函数关系式为， 把代入函数解析式得：， 解得， ∴与的函数关系式为. 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，抛物线 （1）若抛物线经过点， ①求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； ②已知和是抛物线上的两点．若，当，时，则的最大值是______； （2）若抛物线经过点，已知和是抛物线上的两点，对任意，，，，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）①先将点代入抛物线的解析式可得，再将抛物线的解析式化成顶点式，由此即可得； ②先求出抛物线的解析式，再根据二次函数的增减性求出的取值范围，由此即可得； （2）先求出，再分两种情况：①当时，结合二次函数的增减性求出的最小值，的最大值，建立一元一次不等式，解不等式即可得；②当时，根据当时的值与当时的值也满足，由此即可得． 【小问1详解】 解：①∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． ②∵， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∵抛物线开口向上，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵和是抛物线上的两点，且，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， ①当时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线， ∴在内，当时，取得最小值4；在内，当或时，取得最大值，即的最大值为或1， 又∵， ∴要使得当，时，都有，则需， 解得，符合题设； ②当时， ∵当，时，都有， ∴当时的值与当时的值也满足，即， 解得，与题设不符，舍去； 综上，的取值范围是． 27. 如图，在锐角中，，，线段绕点顺时针旋转，得到线段，将射线绕点逆时针旋转，分别交，的平分线于点，点． （1）依题意补全图形，并直接写出（用表示）； （2）连接，分别交，于，，判断与的数量关系并证明； （3）直接写出，和的数量关系． 【答案】（1） 由题意，补全图形如下： （2） ，证明如下： 由题意，连接，分别交，于，， 如图，过点作于点， 由上可得：， ， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，是的平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）先根据题意补全图形，再根据等腰三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）过点作于点，先根据等腰三角形的判定可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得； （3）过点作于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 ∵在锐角中，，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，连接， 由（2）已得：，，， ∴（等腰三角形的三线合一），， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴， 由（2）已得：， ∴， 由（2）已得：，即， 在中，，即， ∴． 28. 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：若图形上两点，与图形上两点，（点与点可以重合）满足，则称图形是图形的“倍限距图形”．特别地，若点与图形上两点，（点与点可以重合）满足，则称点是图形的“倍限距点”． （1）已知点，； ①，，中，______是线段的“2倍限距点”； ②的圆心为，半径为1，若是线段的“2倍限距图形”，则的取值范围是______； （2）的半径为5，点，是上的两点，分别以，为圆心，1为半径作圆得到和，若对于任意点，，和互为“倍限距图形”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①E、G；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据“2倍限距点”的定义判断即可； ②分K在y轴的正半轴上和负半轴上讨论，取极限状态即找出y轴上到点C的距离是到点O的距离2倍的点，然后根据“2倍限距图形”并数形结合即可得出答案； （2）取极限状态即和在的两端时，找出此时最大距离和最短距离结合“倍限距图形”的关系式求k的取值范围即可． 【小问1详解】 解：①取点， ∵，， ∴在上， 又， ∴，， ∴， ∴E是线段的“2倍限距点”； ∵，，， ∴， ∵， ∴为F到线段的最短距离，为F到的最长距离， ∵，，， ∴，， ∴， ∴F不是线段的“2倍限距点”； 取点， ∵，， ∴在上， 又， ∴，， ∴， ∴G是线段的“2倍限距点”； ∴E、G是线段的“2倍限距点”， 故答案为：E、G； ②当在y轴的正半轴时，如图， 在y轴正半轴取点， ∵，， ∴， ∵， ∴为A到线段的最短距离，为A到的最长距离， ∵，，， ∴，， ∴， ∴A是线段的“2倍限距点”； 当经过点A时，是线段的“2倍限距图形”， ∴或， 又的圆心为，半径为1， ∴结合图形可知：当时，是线段的“2倍限距图形”； 当在y轴的负半轴时，如图， 同理可得：当时，是线段的“2倍限距图形”， 综上，当时，是线段的“2倍限距图形” 【小问2详解】 解：不妨设，的圆心在x轴上位于y轴的两侧， 两圆的距离的最小值为，最大值为， ∵和互为“倍限距图形”， ∴，即． 【点睛】本题考查新定义问题，勾股定理，圆的有关知识，理解新定义的意义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科 满分：100分 考试时间：120分钟 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. “读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的全年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C在上，为等边三角形，则的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得 7. 如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则正六边形的面积是（ ） A. B. 12 C. D. 24 8. 二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值，如表，其中 0 2 2 2 下列结论：①；②当时，的值随值的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ①③④ D. ②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______． 10. 关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则______． 11. 在同样条件下对某种水稻种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 1000 2000 3000 4000 5000 发芽频数 953 1896 2856 3804 4750 发芽频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.950 根据频率的稳定性，估计该稻种的发芽概率约为______．（精确到0.01） 12. 如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 13. 如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则点B的坐标是____． 14. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则__________． 15. 近年来传统服饰马面裙受到大众的喜爱，如图所示的马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为1米，圆心角，则长度为______． 16. 如图，的半径为，是直径，点在上，，点是上一动点，取弦的中点，连接，当点在上运动时，线段的最小值为______． 三、解答题（共68分，第17题8分，第18-19题4分，第20题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 解方程： （1）； （2） 18. 已知二次函数. （1）求该二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，的取值范围是 . 19. 如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 20. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图，作射线OP； ① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ②连接并延长BA与⊙A交于点C； ③作直线PC； 则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴ ∠BPC=90° （填推理依据）． ∴ OP⊥PC． 又∵ OP是⊙O的半径， ∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）． 21. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； （2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 22. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 23. 如图，为直角三角形，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，求证：． 24. 如图，在中，，以为直径的交，于点，连接，是上一点，满足． （1）求证：是的切线． （2）过点作于点，，求的长． 25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：cm）与水平距离（单位：cm）近似满足函数关系．乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式； 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 18 42 50 42 18 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线 （1）若抛物线经过点， ①求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； ②已知和是抛物线上的两点．若，当，时，则的最大值是______； （2）若抛物线经过点，已知和是抛物线上的两点，对任意，，，，都有，求的取值范围． 27. 如图，在锐角中，，，线段绕点顺时针旋转，得到线段，将射线绕点逆时针旋转，分别交，的平分线于点，点． （1）依题意补全图形，并直接写出（用表示）； （2）连接，分别交，于，，判断与的数量关系并证明； （3）直接写出，和的数量关系． 28. 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：若图形上两点，与图形上两点，（点与点可以重合）满足，则称图形是图形的“倍限距图形”．特别地，若点与图形上两点，（点与点可以重合）满足，则称点是图形的“倍限距点”． （1）已知点，； ①，，中，______是线段的“2倍限距点”； ②的圆心为，半径为1，若是线段的“2倍限距图形”，则的取值范围是______； （2）的半径为5，点，是上的两点，分别以，为圆心，1为半径作圆得到和，若对于任意点，，和互为“倍限距图形”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $