专题05 知识点33 两角和与差的正切公式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

知识点33两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式。m区+0=0口-时片品 常用变形：tana+tanB=tan(a+B)(1-tan ctan B;)l--tan c tan B=tan+anE tan(a+B)i tan a-tan B=tan(a-B)(1+tana tan B):1+tanc tan B=tanc-tan B tan(a-B）9 实战演练 一、单选题 1.己知tana=子tam(a+g)=-2,则anB=() A.9 2.已知ana+乃=2：则tana=（） 4 A. C.3D.-3 3 3.tan15-tan75=（） A.-4B.-6C.-3D.-23 4.tan15=（） A6+2 6.6-2 C.2+3D.2-3 4 4 5.若tanc=4,tanB=6,则tan(B-a)=() A是 B号 c D贵 6.已知点A(0,3),B(0,7),点C在x轴正半轴上运动，则tan∠ACB的最 大值为() 4.21 8.221 2V21 7 7 c21 21 D. 21 7.1-tan15°-() 1+tan15' A.2-3 B.3 c 0.-3 3 8.已知tana+tanβ=2，且tan(a+β)=3，则tana tanβ=() B c 二、多选题 9.若(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B的大小可能是() A是&号cD. 4 10.若0<g<受，且-方：tangtanB-号，则(） A.c-B-话 B.sin(a+β)= 35 6 C.c0s2a=36 .5 D.tan2B=5V35+1 5-9385 1.已知0<B<a<受，且cos(aB)=22 ，tana=2tanB,则() A.sin-B-时号 B.sina cos B= V2 Ca*B=号 D.tano= 三、填空题 12.若tan(c-阝)=2，tanB=1,则tana= 13.计算tan乃= 12 14.求值：1+tan15 1-tan 15 tan70+tan50°-V3tan50°tan70°=—g 四、解答题 15.你能借助两角和与差的正、'余弦公式推导tan(ax+β)与tan(a-B)吗？ 16.求下列各式的值： (1)tan75°-tan15°： 1±tan75°tan15 (2)3-tan15: 1+9V3tan15 (3)tan12°+tan33°+tan12'tan33 17.己知&，B是锐角，sin&+B)=sng,求an&的最大值。 sinB' 18.若锐角a,B满足（1+3tana)(1+3tanβ)=4，求ac+B。 19.化简： (1)tan74°+tan76°； 1-tan74°tan76 (2)tan+tan 23 tantan +o2π 9 9 9 9 参考答案与解析 一、单选题 1.答案：A 部新：ma+a=品-2将ama-子代入： +tanB 4 1 -2一+amB=-2+号an0=am8=号 -tan B 选A。 2.答案：A 解析： tan Q+ 4 卫=2-1=上，选A。 4厂1+2×13 3.答案：D 解析：tan15°=2-3，tan75°=cot15=2+9/3, tan15°-tan75°=(2-93)-(2+V3)=-2/3 选D。 4.答案：D 1-3 解析：tan15=tan45°-30°)= 3 1+ 3-3=2-3 3+V3 3 选D。 5.答案：c 祥折：mB-a146分，旅C 6.答案：D 解析：设点C(x,0),x>0,记∠OCB=c,∠OCA=β，∠ACB=a-B, ma=子ng=3 X 7_3 4 4x 则an人ACB=tana-Btanotan。=X7文31+21X2+21' XX 由基本不等式，x2+21≥2Vx2.21=2V21x, 故an∠ACB=4x≤4X=2 x2+21221x2当且仅当x=21时等号成立。 B 0 C主 选D。 7.答案：C 解析：逆用公式： }-tam15=tan(45-15）=tan30=3 1+tan15' 3 选C。 8.答案：B 解析：由ana+p=tanctan tana+tanβ 3= 2 =1-tana tanβ= 2一tan a tan B 1-tan a tanβ 选B。 二、多选题 9.答案：AD 解析：展开：1+tanA+tanB+tan Atan B=2,即 tan A+tan B=1-tan A tan B-tan(A+B)=tan A+tan B=1 1-tan Atan B (两边均有意义，故1-tan A tan B≠0。) 所以A+B=子+ka,ke乙。对照选项。可能取子平选AD. 10.答案：BD 解折根器短琉，a月=子manf-台-手所以如anB 3 则cos(a-B)=coB+sinsnB=+=5 ,A错误； 236 cosa+g-叭-si-号君若 因为0<a<B<7则0<a+p< 8正确， 所以sin(a+B)=1-cosa+B=35 由-<a-B<0,则sina-B)=-1-os(a-B=- 6, 所以cos2a=cos(a+B)+(ax-β)=cos(a+β)cosa-β)-sin(a+β)sin(a-B) -1×5-35×-面-5+V385,c错误： 666 6 36 因为tam(a+B)=sn+B-35,tan(a-B=sina-g-T, cos(a+B】 cos(a-β）5' 28a+月-a-62把C8-gD正 确。 选BD。 11.答案：ACD 解折：sa-B-2要0a-B∈0，引故ane-B-1-日}A斤 3 确。 由tana=2tanB: ma-8e612e2 V2 4 3 改1=m60e要-20r-4+拉-0-g-2-o故1号 1+2t241 B:aa=2'1,即sinasin=p,故 cosa-Aj=2-月22-co月=2 3 则 sin&cosB=tan cos cosB=2,3=号≠Y2. C:tan a tanB=l,且a,B均为锐角，故tanc=-cotB,a+B=乃 2: D:am&=2anB=2×2=2. 选ACD。 三、填空题 12.答案：-3 2+1=3=-3。 解析：ama=tam[(a-B)+B]=1-2x11 13.答案：2-V3 3 1 解析：m音am(45-30') 3 3-3=2-3。 1+距3+5 3 14.答案：3：-3 解析： 第一空：1+an15=an(45+15)=an60°=3 1-tan15' 第二空：由变形公式 tan70+tan50°=tan120(1-tan70'tan50)=-/3(1-tan70°tan50y代入： 原式=-3+3tan70°tan50°-V3tan70°tan50°=-V3 四、解答题 15.解： 由商数关系及两角和的正、余弦公式： tan(aB)=sin(B)sina cosB+cosasinB cos(a+β)cosa&cosβ-sina sinβ 当cos a cos B≠0时，分子分母同除以cos a cos B: tan(a+B)- tana+tanβ 1-tana tan B 把阝换成-B(注意tan(-B)=-tanβ)： tan(tanctan tana-tanβ 16.解： (1)因tan75tan15=(2+3)(2-3)=1,分母1-tan75tan15=0无意义， 故取"+"号： an75'-anl5=tan(75-15')=tan60'=3 1+tan75°tan15° (2) 3-tanl5=an60'-tan15=tan(60°-15)=tan45'=1 1+V3tan15°1+tan60°tan15° (3)由变形公式tan12°+tan33°=tan45°(1-tan12°tan33)=1-tan12°tan33°，故 原z式=1-tan12°tan33°+tan12°tan33°=1 l7.解：条件sin(a+B)=sing即sina=sin(a+B)sinB。展开： sin B sina cosβsinB+cos a sin2β=sina cos a sin2B=sina(1-sinβcosβ) sin2β tanc=1-sin BcosB 设(-an0>0则smg1snfa8 1+t2 t2 tana=-1+t2 t2 1-t t-t+1 1+t2 令ft t,求导： t2-t+1 fe)=2t-t+1-2t-1-2- (t2-t+1)2 (t2-t+1 当0<t<2时f(t)>0,t>2时f(t)<0,故t=2时取最大值： 44 amam-fl2到F4-1-号 (此时tanB=2,tana= 均为正，符合锐角条件。) 18.解：展开： (1+3tan a)(1+3tan B)=1+3(tan a+tan B)+3tan a tan B=4 即3(tana+tanB)+3 tanatan B=3,也即 tana+tanβ=3(1-tana tanβ) 因1+3tana>1>0、1+3tanB>1>0,乘积为4，易知1-tan tanβ≠0，故 mu*pa85 又a,B为锐角，a+Be0,,且tam(a+B)=3>0,故a+B=号 19.解： (1) an74+an76=tan74+76)=tan150=-an30-3 1-tan74°tan76° 3 2,出ang+lm2号-a悟*2g1-a后m-1-m号an号故 9 原式=5-5a号an2号+3tn写n手 m2π=只3 9