第2讲 两角和差与二倍角公式专项训练（提高）-2027届高三数学一轮复习

两角和差与二倍角公式 和差角、正切公式与二倍角 两角和与差的正弦、余弦公式 提高题的第一个变化是凑角：题目给的角与要求的角都不是 、 本身，而是一串复合角。这时要做的是观察它们之间差多少 —— 所求角往往能写成已知角加上（或减去）一个特殊角，或者写成两个已知复合角的组合。把这件事看准了，剩下的就只是代公式；看错了，就会卡在「知道该用和角公式，却不知道从哪儿拆」的地方。 第二个变化是方程观点。当题目同时给出两个含 、 的关系式时，把它们都按和差角展开，会得到一组关于 与 （或者关于两个余弦乘积）的式子。把这两个乘积看作两个未知量，加减消元就能分别求出来，再回代到需要的地方。这个办法的适用范围比它看上去宽 —— 只要题目给的量足够凑出这样的方程组。 第三个变化是平方相加。若题目给的是 与 这类「同类项相加」的条件，把它们各自平方再相加，左边的 、 之和为 ，交叉项正好凑出两个角的和差角公式，于是条件与所求直接连通。单独看每一个条件都少一个方程，合起来才够用，这是这类题的设计思路。 还有一类题需要把复合角整体当作一个新角。设 之后，所求的 与已知的 就通过二倍角公式联系起来。整体换元的代价是最后可能要求回原角，好处是中间过程不必反复展开，代数式的长度会短很多。 最后要留意角的范围。提高题里的复合角经常跨过 ，同一个正弦值可能对应两个不同的余弦符号。判断的办法是先求出复合角的确切范围，再看它落在哪一个单调区间里；如果范围不够窄，就要用函数值的大小（比如与 比较）进一步把区间缩小。 例1（填空·★★★★☆） 已知，且，则 = __________． 【切入点】已知 ，要求 。两个角都带系数，先把所求角与已知角对照一下：所求角里的 提示要用二倍角，而 与 相差 ，于是把所求角拆成 。 【关键】先定范围。由 得 ，而它的正弦为 ，且 ，所以 ，。于是 ，。最后 。 【易错】范围讨论是这个方法的入口，不能省。若由 直接取 ，虽然本次结果相同，但这是碰巧 —— 与 比大小才是把区间压到 的正当理由。拆角时也要一次拆到位：先凑出 ，再补上 ，分两步而不是硬展开。 【答案】 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知，则 = __________． 【切入点】已知角与所求角分别是 与 ，两个都带 且系数相反。先把所求角写成 ，用诱导公式甩掉这个 ，再找 与已知角的关系。 【关键】。又 ，由互余关系得 。由 知 ，余弦为正，所以 ，所求为 。 【易错】两个诱导动作的符号要分别记清： 带一个负号，互余关系 不带负号。把 直接展开成 也能做，但要多算一组特殊角，容易出错。 【答案】 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】与知识点 1 里「给复合角求单角」是同一类，区别在于这次复合角的范围恰好跨在对称位置上，范围的判断更微妙，要先把它定准。 【关键】由 得 ，在这个区间上余弦非负，所以 。于是 。故选 B。 【易错】区间端点要带等号一起平移，，包含两端时余弦仍非负（端点处为零）。若把它错看成开区间，结论不变但要说明；若把区间算成 ，符号判断就完全错了。 【答案】B 例2（单选·★★★☆☆） 已知锐角，满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是两个复合角的正弦成 倍关系，要求 的最大值。把条件展开，同类项合并后会发现 与 之间有一个固定的倍数关系。 【关键】展开条件得 ，整理得 。、 都是锐角，两边同除以 得 。回到 ，把移项前的式子代进去，它等于 。设 ，则 。由 （当 时取等），分母最小为 ，故平方的最大值为 ， 的最大值为 。故选 D。 【易错】第一步的移项很容易漏： 展开后把 移到左边，才能得到 倍的关系。求最大值时分母用基本不等式，注意等号成立的条件 是能取到的，否则只能说「有上界」而不能说「最大值」。 【答案】D 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知，，则 = ________． 【切入点】两个条件里出现了 、、 三个不同的角，要求的却是 。注意到 ，，三个角其实都由 与 拼出来。 【关键】把 按和角展开：。再由 得 。记 、，上面两式就是 与 ，解得 、。于是 。 【易错】把两个乘积设成 、 是关键 —— 若试图分别求出 与 的三角函数值，条件根本不够。另外注意 、 不是独立的两个量，它们由同一个正切关系联系，这正是方程组能解出来的原因。 【答案】 例3（单选·★★★☆☆） 已知锐角满足，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里的两项长得像和角公式的右边：一项是「正余」，一项是「余正」，中间用加号连接。把 与 各看成一个整体，它就是 的展开式。 【关键】记 、，则条件是 ，即 ，也就是 。要求 ，把它平方：。 是锐角，，故它等于 。故选 C。 【易错】要敢于把 整体看成 —— 题目里出现的每个角都可以重新命名，这样和角公式才用得上去。开方时的符号由 的范围决定：锐角时 恒正，若题目把范围放宽，就必须重新讨论。 【答案】C 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【切入点】两个函数都含有 与 ，而这两个量之间由平方关系连通：把 平方，就出现 。于是令 ，两个函数都化成 的式子。 【关键】通分得 ，。由 得 。 时 。代入得 ，它在 上递减，最小值为 ，且没有最大值，故 A 正确、B 错误。同理 ，它在 上递增，最大值为 ，故 D 正确。故选 AD。 【易错】两个函数化简后都是 的一次反比例结构，单调性要和 的递增方向对照着看： 随 增大而减小， 随 增大而增大，凭印象写会把两个最值的取法弄反。另外 的范围由 的范围决定，分子分母约分前要先确认 、 这些前提成立。 【答案】AD 两角和与差的正切公式 正切的凑角题比正余弦更隐蔽。题目会给两个复合角的正切，要求第三个角的正切或它的二倍角 —— 关键在于看出所求角能写成已知两角的和或差。常见的形式是「所求角等于两个已知角相加再配一个特殊角」，或者「所求角是两个已知角之和的二倍」。把这件事定下来，剩下的就是连用两次公式。 遇到 这类比值条件时，直接代正切公式往往绕远。更好的做法是先把它写成 ，于是条件的含义变成「两个乘积的比已知」。再把题目里另一个含 或 的条件展开，两个式子联立就能把 与 分别解出来。这条路把「比值」翻译成了「乘积」，是这类题的标准入口。 切化弦还有另一个用途：当题目要的是 这类不含角的二次齐次量时，用 可以直接由正切算出，全程只做一次除法，不必讨论象限。 求角（而不是求值）的题要多做一步范围讨论。由某个三角函数值反推角时，同一个值通常对应两个角，必须借题目给的锐角、钝角等条件把另一个排除掉。若是求 这类和角，还要先用两个角各自的范围定出和角的范围，再在该范围内选值 —— 漏掉这一步是这类题最大的失分点。正切在这一步上有便利：它在整个 上单调递增，取值范围比正弦余弦窄，判断角的个数时往往一句话就能说清。 例4（单选·★★★☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】给的是 与 ，要求 。先把两个已知角相加：，求出它之后再减 就得到 。 【关键】由 得 ，解得 。再由 得 ，解得 。最后用二倍角：。故选 D。 【易错】本题不需要真的求出 或 的值，只要 就够 —— 因为 能完全用 表示。另外解 的那一步容易漏负号： 交叉相乘得 ，移项后是 。 【答案】D 变式4-1（单选·★★★☆☆） 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【切入点】情境给的是 ，第一次的比值已知，第二次要求的是新的比值。把两次的天顶距记为 、，已知 与 ，要求 —— 又是一个凑角问题，注意 。 【关键】第一次晷影长是表高的 倍，即 。于是 。所以第二次的晷影长是表高的 倍。故选 B。 【易错】凑角的方向要选对：把 写成 ，代入差角公式时分母是 ，这里的加号来自「用差角公式去算一个拆成差的角」。另外要记住 里的比值就是正切值，情境文字读完就应当把它翻译成 。 【答案】B 例5（填空·★★★☆☆） 已知，，则 = ________． 【切入点】条件是正切的乘积，要求的是两个复合角的余弦。把正切写成 ，条件就变成正弦余弦乘积的关系式，再与已知的 联立。 【关键】由 得 。又 ，所以 ，。于是 。 【易错】把 化成 后，要意识到分母上那个乘积正是 与 的公共部分，整道题就是在解这两个乘积。另外结果里的负号来自 比 大，不是算错。 【答案】 变式5-1（填空·★★★☆☆） 已知，则 = _________． 【切入点】先由差角正切公式解出 ，再把 用 表示。 【关键】，去分母得 ，所以 。又 。 【易错】 化成 时，分子分母同除以 即可，分母上的 是把式子齐次化的关键。用这条路不必讨论象限 —— 结果的正负已经由 带出来了。 【答案】 变式5-2（填空·★★★☆☆） 已知角满足，则 = __________． 【切入点】条件里 的正余弦分别与 、 配在一起。两边同时除以 ，左边立刻变成 ，右边是两个含 的式子之比。 【关键】把条件整理成 ，即 。用辅助角公式：，。所以 。 【易错】两边同除时要确认分母不为零 —— 显然成立， 则由条件可以推出（否则另一个 也得为零，矛盾）。另外 是负数，这一步的符号决定了答案的符号，不能丢。 【答案】 例6（单选·★★★☆☆） 已知锐角，满足，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】 是比值条件，把它写成乘积形式 ；再把 展开，两个式子联立就能解出这两个乘积。 【关键】由比值条件得 ；又 ，所以 ，。于是 。、 为锐角，故 ， 或 ，。故选 B。 【易错】最后一步不能想当然地取正号。两个角都是锐角只说明和角小于 ，而 内的正弦值为 的角有两个，对应余弦一正一负，题目给的选项是 ，正说明这两种情形都能取到。 【答案】B 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知，，，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 3 是同一套：比值条件译成乘积关系，与差角正弦的展开式联立，解出两个乘积；区别在于这次要求的是角，所以最后还要做范围判断。 【关键】由 得 ；又 ，所以 ，。于是 。、，故 ，在该区间上正弦为 的角唯一，即 。故选 C。 【易错】这题与例 3 的差别就在最后一步：正弦值为 时在 内只有一个角，所以答案唯一；而例 3 中正弦值为 有两个角，答案就有两组。判断有几个解，看的是正弦在该区间上的单调性与取值。 【答案】C 二倍角公式 凑角在二倍角题里有两个层次。浅的一层是「所求角恰是已知角的二倍」，直接代公式；深的一层是「所求角是已知角的二倍再加减一个特殊角」，例如 、、 这些。两个层次都要先把已知角的函数值补齐，再一次性代入，中间不要跳步 —— 跳步往往就跳过了范围判断。 第二种常见结构是把条件整体看成某个函数。当条件形如 等于一个常数时，先用辅助角公式把它合并成一个正弦（或余弦）函数，于是条件变成「某个复合角的函数值已知」，所求的二倍角也随之变成一个单一函数值。这一步的价值在于：合并之后只出现一个角，后续的二倍角公式就能直接套用。 第三种是给两个复合角的条件。例如已知 与 ，要求 —— 先把 展开解出 ，再由这两个乘积写出 ，最后把 整体看作一个新角用二倍角公式。整条链条上没有一处需要知道 、 各自是多少。 解答题里的二倍角，几乎都出现在「化简函数再研究性质」这个套路中。化简要按固定次序走：先用二倍角公式降幂，把 、 都换成含 的一次式；再合并同类项；最后用辅助角公式压缩成一个正弦函数。化简完就该求周期、求最值或解不等式了 —— 若化到含参方程有两个根的情形，还要借助正弦函数的对称性求两根之和。 例7（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件左边是 ，系数 提示可以用辅助角公式合并成一个正弦函数；合并之后条件就变成「某个角的函数值已知」，而所求的 恰好是这个角的二倍。 【关键】，于是 。又 ，所以 。故选 B。 【易错】辅助角的方向要看清：这里要把余弦写在前面，合并的结果才落在 上；若写成 ，后面的角就与所求对不上。合并之后立刻检查所求角与它的关系 —— 本题是正好二倍，若不是二倍则还要再凑一次。 【答案】B 例8（单选·★★★☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是 与 ，要求 。先把差角余弦展开，解出 ；有了两个乘积就能写出 ，最后把 整体看作一个新角用倍角公式。 【关键】，代入 得 。于是 。所以 。故选 C。 【易错】整道题的关键是「把 看成一个角」—— 题目从头到尾没有要求分别求出 、，所求的量只依赖于 。另外 要读成 ，而不是两个角各自的二倍之和，这一点决定了用哪条公式。 【答案】C 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. 7 C. D. 【切入点】条件里 与 混在一起，要把它们统一成同一个形式：由 把右边也写成倍角，就会得到 的值。 【关键】由 得 。而 ，，两个和角余弦展开后相加，含 的项相消，得 。代入 得 。于是 ，，所以 。故选 C。 【易错】把 、 分别拆成 是关键动作，这样两个和角余弦相加就能消去含正弦的项。最后求两个乘积时用到了「两式相加、相减」这一步，它的来源就是上面两个展开式，不必另记公式。 【答案】C 变式8-2（填空·★★★☆☆） 已知，，则 = ______． 【切入点】两个条件都含 与 ，而且右边都是 的表达式。把两个条件平方后相加，可以用 把 整体消掉，只剩下 。 【关键】由条件得 ，。两式平方相加：，左边等于 ，所以 ，进而 。于是 。 【易错】第二步的提取是关键：，两项都含 ，提取后括号里恰好是 ，而它由条件等于零。若分别去求 、 就要讨论正负号，绕远且易错。 【答案】 变式8-3（单选·★★★☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个条件里都有 与 的二倍角。把它们都用二倍角公式整理成只含 、 的式子，会发现两组式子的值对应相等。 【关键】 即 ； 两边用降幂得 ，即 。注意到 ，，所以 与 的终边相同，即 ，于是 ，。故选 A。 【易错】最后一步要求的是 ，而 的周期是 ，所以 里的 不影响结果 —— 这是正切比正弦余弦省事的地方。另外第二式右边要先化成 ，这一步靠的是 ，不能漏乘。 【答案】A 例9（解答·★★★★☆） 已知函数，.（1）求函数的最大值及所对应的值；（2）若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 【切入点】函数里同时有 与 ，都是二次的。化简的路子固定：用降幂公式把 换成 ，用二倍角公式把 换成 ，两项都变成 的一次式后再合并。 【关键】。由 得 ，正弦在该区间上的最大值为 ，此时 ，即 ，所以当 时， 的最大值为 。 【关键】第二问把 看成 （其中 ）的解的个数问题。，画正弦曲线可以看出：当 时直线 与曲线有两个交点，且这两个交点关于 对称，故 ，即 ，于是 ，。 【易错】第一问求最大值时必须带上对应的 值，漏掉会被扣分。第二问的端点要单独看： 时两个交点是 与 ，确实有两个，所以左端闭合；而 时只有 一个交点，所以右端必须开。另外对称轴是 （区间中点），两根之和等于 而不是 。 【答案】① 当 时， 的最大值为 ；② ， 变式9-1（填空·★★★☆☆） 求值： = ___________． 【切入点】式子里 、、 三个角成倍角关系（）。先把分母留住，把分子化成含 的形式。 【关键】由 （两个和差角余弦展开式相加，含正弦的项相消），分子可写成 。又 ，而 ，代入后两项相消：。所以原式等于 。 【易错】第一步「两个和差角余弦展开式相加」是把乘积化成和差的标准动作，它可以现场推，不必背公式名。后面把 拆成 是本题的题眼： 的特殊性让 恰好与前面的一项相消。找不到这个拆分时，可以先把目标定为「凑出 」，再把分子里的角都往 上靠。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 两角和差与二倍角公式 和差角、正切公式与二倍角 两角和与差的正弦、余弦公式 提高题的第一个变化是凑角：题目给的角与要求的角都不是 、 本身，而是一串复合角。这时要做的是观察它们之间差多少 —— 所求角往往能写成已知角加上（或减去）一个特殊角，或者写成两个已知复合角的组合。把这件事看准了，剩下的就只是代公式；看错了，就会卡在「知道该用和角公式，却不知道从哪儿拆」的地方。 第二个变化是方程观点。当题目同时给出两个含 、 的关系式时，把它们都按和差角展开，会得到一组关于 与 （或者关于两个余弦乘积）的式子。把这两个乘积看作两个未知量，加减消元就能分别求出来，再回代到需要的地方。这个办法的适用范围比它看上去宽 —— 只要题目给的量足够凑出这样的方程组。 第三个变化是平方相加。若题目给的是 与 这类「同类项相加」的条件，把它们各自平方再相加，左边的 、 之和为 ，交叉项正好凑出两个角的和差角公式，于是条件与所求直接连通。单独看每一个条件都少一个方程，合起来才够用，这是这类题的设计思路。 还有一类题需要把复合角整体当作一个新角。设 之后，所求的 与已知的 就通过二倍角公式联系起来。整体换元的代价是最后可能要求回原角，好处是中间过程不必反复展开，代数式的长度会短很多。 最后要留意角的范围。提高题里的复合角经常跨过 ，同一个正弦值可能对应两个不同的余弦符号。判断的办法是先求出复合角的确切范围，再看它落在哪一个单调区间里；如果范围不够窄，就要用函数值的大小（比如与 比较）进一步把区间缩小。 例1（填空·★★★★☆） 已知，且，则 = __________． 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知，则 = __________． 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★★☆☆） 已知锐角，满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知，，则 = ________． 例3（单选·★★★☆☆） 已知锐角满足，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 两角和与差的正切公式 正切的凑角题比正余弦更隐蔽。题目会给两个复合角的正切，要求第三个角的正切或它的二倍角 —— 关键在于看出所求角能写成已知两角的和或差。常见的形式是「所求角等于两个已知角相加再配一个特殊角」，或者「所求角是两个已知角之和的二倍」。把这件事定下来，剩下的就是连用两次公式。 遇到 这类比值条件时，直接代正切公式往往绕远。更好的做法是先把它写成 ，于是条件的含义变成「两个乘积的比已知」。再把题目里另一个含 或 的条件展开，两个式子联立就能把 与 分别解出来。这条路把「比值」翻译成了「乘积」，是这类题的标准入口。 切化弦还有另一个用途：当题目要的是 这类不含角的二次齐次量时，用 可以直接由正切算出，全程只做一次除法，不必讨论象限。 求角（而不是求值）的题要多做一步范围讨论。由某个三角函数值反推角时，同一个值通常对应两个角，必须借题目给的锐角、钝角等条件把另一个排除掉。若是求 这类和角，还要先用两个角各自的范围定出和角的范围，再在该范围内选值 —— 漏掉这一步是这类题最大的失分点。正切在这一步上有便利：它在整个 上单调递增，取值范围比正弦余弦窄，判断角的个数时往往一句话就能说清。 例4（单选·★★★☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 例5（填空·★★★☆☆） 已知，，则 = ________． 变式5-1（填空·★★★☆☆） 已知，则 = _________． 变式5-2（填空·★★★☆☆） 已知角满足，则 = __________． 例6（单选·★★★☆☆） 已知锐角，满足，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知，，，，则 = （ ） A. B. C. D. 二倍角公式 凑角在二倍角题里有两个层次。浅的一层是「所求角恰是已知角的二倍」，直接代公式；深的一层是「所求角是已知角的二倍再加减一个特殊角」，例如 、、 这些。两个层次都要先把已知角的函数值补齐，再一次性代入，中间不要跳步 —— 跳步往往就跳过了范围判断。 第二种常见结构是把条件整体看成某个函数。当条件形如 等于一个常数时，先用辅助角公式把它合并成一个正弦（或余弦）函数，于是条件变成「某个复合角的函数值已知」，所求的二倍角也随之变成一个单一函数值。这一步的价值在于：合并之后只出现一个角，后续的二倍角公式就能直接套用。 第三种是给两个复合角的条件。例如已知 与 ，要求 —— 先把 展开解出 ，再由这两个乘积写出 ，最后把 整体看作一个新角用二倍角公式。整条链条上没有一处需要知道 、 各自是多少。 解答题里的二倍角，几乎都出现在「化简函数再研究性质」这个套路中。化简要按固定次序走：先用二倍角公式降幂，把 、 都换成含 的一次式；再合并同类项；最后用辅助角公式压缩成一个正弦函数。化简完就该求周期、求最值或解不等式了 —— 若化到含参方程有两个根的情形，还要借助正弦函数的对称性求两根之和。 例7（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★★☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式8-1（单选·★★★☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. 7 C. D. 变式8-2（填空·★★★☆☆） 已知，，则 = ______． 变式8-3（单选·★★★☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 例9（解答·★★★★☆） 已知函数，.（1）求函数的最大值及所对应的值；（2）若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 变式9-1（填空·★★★☆☆） 求值： = ___________． 学科网（北京）股份有限公司 $