5.3一元一次方程应用题讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册期末复习

人教版七年级上册《一元一次方程应用题专项讲义》 适用章节：第五章 一元一次方程 —— 实际问题与一元一次方程 —————————————————————————————— 第一部分　课前导读 1.1　解应用题通用步骤（审、设、找、列、解、验、答） 审：审题。读清题意，找出已知量与未知量，明确题目要求什么，注意单位是否统一。 设：设未知数。一般设所求量为 x（直接设元）；当直接设元不便列式时，可设间接未知数。 找：找等量关系。抓住“一共”“是……的几倍”“比……多（少）”“相等”“刚好配套”等关键词，写出表示相等关系的语句。 列：列方程。把等量关系中的每个量都用含 x 的式子表示出来，列出方程。 解：解方程。按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的顺序求解。 验：检验。既要把解代回原方程检验左右两边是否相等，又要检验是否符合实际意义（人数、长度、时间、年龄等不能为负或不合常理）。 答：作答。写清单位，把结论说完整。 1.2　本讲题型总目录 题型1：配套、工程与调配问题 题型2：行程问题（相遇、追及、流水、火车过桥） 题型3：销售盈亏问题（进价、标价、售价、打折、利润率） 题型4：积分问题与表格信息题 题型5：几何问题与图形信息题 题型6：分段计费与方案选择 题型7：和差倍分问题 题型8：数字问题 题型9：年龄问题 题型10：储蓄利息问题 说明：题型 1～6 对应该章教材“实际问题与一元一次方程”的六类课时内容，题型 7～10 为常见补充类型。 第二部分　分题型精讲 【题型1：配套、工程与调配问题】 ✅ 模型解读：①配套：两种零件按固定比例装配成整体，把总人数（或总工时）分配去做两类零件，要求正好配套；②工程：只给出“单独完成所需时间”，工作量没有具体数值，常涉及先做后合作；③调配：把人员从一处调往另一处，按人数关系列方程。 ✅ 核心公式/等量关系： 配套：若 1 个 A 配 n 个 B，则 n×（A 的产量）= B 的产量，即 A、B 产量之比为 1:n； 工程：把总工作量看作 1，工作效率 =1/单独完成所需时间，各人工作量之和 =1； 调配：调配前后总人数不变，按要求的人数倍数关系列方程。 ✅ 经典例题：某车间有 45 名工人，每人每天可生产螺栓 15 个或螺母 20 个，1 个螺栓需要配 2 个螺母．为使每天生产的螺栓和螺母正好配套，应安排多少名工人生产螺栓？ ✅ 变式训练： 1．某家具加工厂有 21 名木工加工桌子和椅子，1 张桌子配 4 把椅子．已知每名木工一天能加工 5 张桌子或 8 把椅子，应安排多少名木工加工桌子，才能使一天加工的桌子和椅子恰好配套？ 2．一项工程，甲单独做 15 天完成，乙单独做 10 天完成．若甲先做 3 天，剩下的工程由乙单独完成，问乙还需要做多少天？ 3．甲班有 48 人，乙班有 42 人．现从甲、乙两班各抽调一部分同学参加歌咏比赛，若从甲班抽调的人数比从乙班抽调的人数多 2 人，则甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的 2 倍．求从甲、乙两班各抽调了多少人？ 【题型2：行程问题（相遇、追及、流水、火车过桥）】 ✅ 模型解读：题目涉及路程、速度、时间三个量，按运动方式分为相遇（相向）、追及（同向）、流水（顺流与逆流）、火车过桥（车长与桥长）四类。 ✅ 核心公式/等量关系： 路程 s=vt（速度 × 时间）； 相遇：v1t+v2t=s总（两车路程之和等于总路程）； 追及：v快t-v慢t=s差（两车路程之差等于初始距离）； 流水：v顺=v静+v水，v逆=v静-v水；火车过桥：s过桥= 桥长 + 车长，s全在桥上= 桥长 - 车长。 ✅ 经典例题：甲、乙两车分别从相距 130 km 的两地同时出发，相向而行，经过 2 h 相遇．已知甲车比乙车每小时快 15 km，求甲、乙两车的速度． ✅ 变式训练： 1．小明骑自行车从 A 地出发前往 B 地，速度为 10 m/s．5 min 后，小伟骑自行车沿同一路线从 A 地出发追赶小明，速度为 15 m/s．问小伟出发后经过多长时间追上小明？ 2．一艘轮船在静水中的速度为 15 km/h，它从甲码头顺流航行到乙码头用了 4 h，从乙码头逆流返回甲码头用了 6 h．求水流的速度． 3．一列火车从长 800 m 的桥上通过，从车头上桥到车尾离桥共用 50 s；而整列火车完全在桥上的时间是 30 s．求这列火车的速度和车长． 【题型3：销售盈亏问题（进价、标价、售价、打折、利润率）】 ✅ 模型解读：题目中出现进价、标价、售价、打折、利润率等词语，核心是找准“利润”或“利润率”对应的等量关系；两类问题常出现——同类商品“一盈一亏”，或同种商品“两种折扣下盈亏不同”。 ✅ 核心公式/等量关系： 利润 = 售价 - 进价；利润率 =利润/进价×100%； 售价 = 标价 × 折扣（打 n 折即乘 n/10）；售价 = 进价 ×(1+利润率)。 ✅ 经典例题：某商场将一件商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是 25%．已知这件商品的进价为 800 元，求这件商品的原价． ✅ 变式训练： 1．某服装店以每件 150 元的价格卖出两件不同的衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%．卖这两件衣服，该服装店是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 2．某服装店销售一批服装，若按标价的六折出售，则每件亏损 20 元；若按标价的九折出售，则每件盈利 40 元．求每件服装的标价和成本价． 3．一家店铺将一款文创产品按成本价提高 40% 后标价，再打八折销售，结果每件仍可获利 12 元．求这款文创产品每件的成本价． 【题型4：积分问题与表格信息题】 ✅ 模型解读：比赛（球类联赛、知识竞赛、飞镖游戏）按得分规则累计得分，或由一张部分数据被遮盖的表格反推每题（每场）的分值，再据此列一元一次方程。 ✅ 核心公式/等量关系： 总积分 = 各类得分之和（如胜场积分 + 平场积分 + 负场积分）； 表格信息题：先从未被遮盖的行（或整场全对/全错的行）求出每场（每题）的分值，再计算所求量； 常用检验：算出的场次（题数）必须是非负整数，否则该得分不可能。 ✅ 经典例题：在某次足球联赛中，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分．某队在 14 场比赛中保持不败，一共得到 30 分，求该队在这 14 场比赛中胜了多少场． ✅ 变式训练： 1．某校组织知识竞赛，共设 20 道单项选择题，答对 1 题得 5 分，不答或答错 1 题扣 1 分．若参赛者李小萌得了 76 分，则她答对了几道题？ 2．下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分表（篮球比赛没有平局）： 球队：前进，比赛 12 场，胜 9 场，负 3 场，积分 21； 球队：光明，比赛 12 场，胜 7 场，负 5 场，积分 19． (1) 求胜一场、负一场各积多少分；(2) 若某队共比赛 12 场，积分为 15 分，求该队胜了多少场． 3．某磁性飞镖游戏每局投 10 次，投到边界不计入次数需重投．计分规则：投中 A 区得 3 分，投中 B 区得 1 分，脱靶得 -2 分． (1) 第一局珍珍投中 A 区 3 次、B 区 3 次、脱靶 4 次，求第一局的得分； (2) 第二局珍珍投中 A 区 k 次、B 区 2 次，其余全部脱靶，若本局得分比第一局提高了 12 分，求 k 的值． 【题型5：几何问题与图形信息题】 ✅ 模型解读：题目给出图形的边长、周长、面积或体积，先用含未知数的式子表示相关量，再按“周长关系”“面积相等”“体积不变”等列方程。 ✅ 核心公式/等量关系： 长方形周长 =2×( 长 + 宽)；圆的周长 =2π r； 面积（或体积）在变形前后保持不变（等积变形）； “变为正方形”即变形后长与宽相等；“按比例”可设一份为 k。 ✅ 经典例题：一个长方形的宽为 30 cm，若把它的长减少 4 cm、宽增加 3 cm，就得到一个正方形．求这个长方形的长． ✅ 变式训练： 1．一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为 10 cm，容器内水的高度为 12 cm．把一根半径为 5 cm 的圆柱形玻璃棒垂直插入水中（水未溢出且玻璃棒完全浸入），求容器内的水升高了多少厘米． 2．如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为 80 m，两端是两个半圆．若第 1 跑道的总长度为 400 m，求第 1 跑道半圆的半径（π 取 3）． 3．某小区长方形绿地的长、宽分别为 35 m、15 m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽都增加相同的长度后，得到一个新的长方形绿地．若新绿地的长是新宽的 2 倍，求新绿地的长． 【题型6：分段计费与方案选择】 ✅ 模型解读：①分段计费：收费标准按用量分成若干段，各段单价（或折扣）不同，总费用 = 各段费用之和；②方案选择：给出两种（或多种）收费（优惠）方案，比较费用大小，判断“哪家更省钱”或“何时费用相等”。 ✅ 核心公式/等量关系： 分段计费：先判断所给费用落在哪一段，再按该段单价列方程； 方案选择：分别用含 x 的式子表示各方案的费用；费用相等时列方程。 ✅ 经典例题：某市自来水收费实行阶梯水价，月用水量不超过 12 t 的部分按 2.00 元/t 收费；超过 12 t 但不超过 18 t 的部分按 2.50 元/t 收费；超过 18 t 的部分按 3.00 元/t 收费．某户 3 月份交水费 36.5 元，求该户 3 月份的用水量． ✅ 变式训练： 1．某市出租车的收费标准是：起步价 10 元（不超过 3 km 都付 10 元），超过 3 km 后，每增加 1 km 加收 3 元（不足 1 km 按 1 km 计算）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费 28 元，求甲地到乙地路程的最大值． 2．王叔叔打算邮寄一些优质水产品，现有 A、B 两家物流公司．A 公司的收费标准是：所有货品一律 6 元/千克；B 公司的收费标准是：首重（20 千克以内）150 元，超过 20 千克的部分按 4 元/千克收费．王叔叔计算后发现两家公司的邮费一样，求他要邮寄的水产品的质量． 3．某运营商通话收费有 A、B 两种套餐：A 套餐月租 20 元，通话费每分钟另收 0.1 元；B 套餐无月租，通话费每分钟 0.2 元．当使用 A、B 两种套餐的通话费一样时，求每月的通话时间． 【题型7：和差倍分问题】 ✅ 模型解读：题干中出现“一共”“比……多（少）”“是……的几倍”等语句，其中一个量可以用另一个量按倍数关系表示出来，再按“总量 = 各部分量之和”列方程。 ✅ 核心公式/等量关系：甲 = 乙 × k；甲 = 乙 ± d（k 为倍数，d 为相差数）；总量 = 各部分量之和。 ✅ 经典例题：某市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，某段时间内，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量的总和为 1696 万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的 4 倍少 69 万人次．求这两种交通方式日均客运量各为多少万人次． ✅ 变式训练： 1．甲、乙、丙三人共加工 1350 个零件，甲加工的数量是乙的一半，丙加工的数量是乙的 3 倍．甲、乙、丙各加工了多少个零件？ 2．一名同学用三天时间读完一本杂志，第二天阅读的页数是第一天的 2 倍，第三天阅读的页数是第二天的 2 倍．若这本杂志共 84 页，求他这三天分别阅读了多少页． 3．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树 61 棵，其中甲班植树的棵数比乙班植树棵数的 2 倍多 1 棵．求甲、乙两班各植树多少棵． 【题型8：数字问题】 ✅ 模型解读：题目围绕两位数的十位、个位数字（或多位数的各位数字）展开，涉及数字之和、数字间的大小关系，或交换数位后的新数。 ✅ 核心公式/等量关系：设十位数字为 a、个位数字为 b，则 两位数 =10a+b；交换数位后的两位数 =10b+a； 交换前后两数之差 =9(a-b)（a>b 时原数较大）。 ✅ 经典例题：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的 2 倍多 1．若把这个两位数的十位数字与个位数字调换位置，所得的新数比原数小 27，求原数． ✅ 变式训练： 1．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为 12．若把两个数字交换位置，所得的两位数比原两位数小 18，求原来的两位数． 2．一个两位数的个位数字为 7，已知这个两位数比它各个数位上的数字之和大 27，求这个两位数． 3．一个五位数最高位上的数字是 2，如果把这个数字移到其余数字的右边，那么所得的新数比原来的数大 5778，求原数． 【题型9：年龄问题】 ✅ 模型解读：题目涉及现在与若干年前（后）的年龄，各人的年龄随年份同步增长（每人增加或减少相同的岁数），两人的年龄之差始终不变。 ✅ 核心公式/等量关系： n 年后每人年龄各增加 n 岁，n 年前每人年龄各减少 n 岁；两人的年龄之差始终不变； 常用等量关系：n 年后 甲的年龄 = 乙的年龄 × k。 ✅ 经典例题：今年小明的年龄是弟弟年龄的 4 倍，5 年后小明的年龄将是弟弟年龄的 3 倍．求小明今年多少岁． ✅ 变式训练： 1．爸爸比儿子大 30 岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的 6 倍．求今年爸爸和儿子各多少岁． 2．今年爸爸的年龄是萌萌年龄的 3 倍，3 年前爸爸的年龄是萌萌年龄的 4 倍．求萌萌今年多少岁． 3．小华出生时妈妈 26 岁，现在妈妈的年龄比小华年龄的 3 倍多 2 岁．求小华现在的年龄． 【题型10：储蓄利息问题】 ✅ 模型解读：题目涉及本金、利率、期数、利息、本息和，通常按单利（利息不计入下一期本金）计算。 ✅ 核心公式/等量关系： 利息 = 本金 × 利率 × 期数； 本息和 = 本金 + 利息 = 本金 ×(1+ 利率 × 期数)。 ✅ 经典例题：文文爸爸把一笔钱按三年期的定期储蓄存入银行，年利率是 2.5%，到期后获得本息和 21500 元．求文文爸爸存入的本金． ✅ 变式训练： 1．小杰将春节收到的 2500 元压岁钱的 80% 存入银行，存期两年，到期后共取出 2050 元．求这项储蓄的本金和年利率． 2．小红把 5000 元存入银行，年利率为 3%，定期 2 年．到期后可得利息多少元？ 3．王叔叔把一笔钱存入银行，定期 4 年，年利率为 2.75%，到期后共得本息和 5550 元．求他存入的本金． 第三部分　综合小测 1．某班 42 名学生参加手工课，制作圆柱形茶叶筒，1 个茶叶筒由 1 个筒身和 2 个筒底组成．每名学生每节课能做筒身 20 个或筒底 30 个，为使做成的筒身和筒底正好配套，应安排多少名学生做筒身？ 2．某学校计划铺设一条总长为 6300 m 的热力管道．甲工程队先单独铺设了 5 天，平均每天铺设 220 m；随后乙工程队加入，与甲工程队合作铺设，乙工程队平均每天铺设 180 m．问乙工程队参与铺设多少天后才能完成这项工程？ 3．某学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 16 人，在乙处植树的有 10 人，现另调 70 人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍．应调往甲、乙两处各多少人？ 4．A、B 两地相距 450 km，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲车的速度为 120 km/h，乙车的速度为 80 km/h．经过多少小时后两车相距 50 km？ 5．小明骑自行车从 A 地以 8 m/s 的速度出发前往 B 地，2 min 后，小伟骑自行车沿同一路线从 A 地出发追赶小明，速度为 12 m/s．问小伟出发后经过多长时间追上小明？ 6．一艘轮船从码头顺流而下，再逆流返回原码头，计划共用 5 h．已知轮船在静水中的速度是 10 km/h，水流速度是 2 km/h，求这艘轮船最多顺流航行多少千米就必须返回． 7．某商品的进价是 120 元，售价是 150 元．求这件商品的利润率． 8．某商品的进价为每件 200 元，按标价打八折后出售，每件可获利 40 元．求该商品每件的标价． 9．某商店以每盒 120 元的售价卖出两盒不同的坚果，其中一盒盈利 50%，另一盒亏损 25%．该商店卖出这两盒坚果后是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 10．某篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队赛了 14 场，共得 23 分，求该队胜了多少场． 11．某次数学竞赛共有 10 道题，每答对一道题得 5 分，不答或答错一道题扣 3 分．若要得到 34 分，必须答对多少道题？ 12．一场篮球比赛中，李明一人得了 21 分．若他只投进了 2 分球和 3 分球，且投进的 2 分球比 3 分球多 3 个，求他投进了多少个 2 分球、多少个 3 分球． 13．一个长方形的周长是 26 cm，把它的长减小 1 cm、宽增加 2 cm，就得到一个正方形．求这个长方形的长和宽． 14．把一根 36 cm 长的铁丝分成两段，分别围成两个正方形，已知这两个正方形的边长之比为 4:5，求这两个正方形的面积之和． 15．向一个底面直径为 5 cm、高为 18 cm 的圆柱形水瓶甲内装满清水，然后将甲瓶内的水倒入一个底面直径为 6 cm、高为 10 cm 的圆柱形水瓶乙中．(1) 通过计算判断乙瓶能否装下甲瓶内的全部水；(2) 若装不下，求甲瓶内剩余水的高度． 16．某市用电实行阶梯电价，月用电量不超过 100 度的部分按 0.5 元/度收费；超过 100 度但不超过 200 度的部分按 0.6 元/度收费；超过 200 度的部分按 0.75 元/度收费．若小明家某月缴纳电费 200 元，求小明家当月的用电量． 17．某校准备为毕业班学生每人制作一本纪念册，现有甲、乙两家公司：甲公司每册收材料费 5 元，另收设计费 1500 元；乙公司每册收材料费 8 元，不收设计费．若两家公司收费一样，求该校毕业班学生的人数． 18．某文具店毛笔每支 25 元，书法练习本每本 5 元，推出两种优惠方案．方案一：买一支毛笔赠送一本练习本；方案二：按购买金额的九折付款．某校购买毛笔 10 支、练习本 x 本（x>10）．当购买多少本练习本时，两种方案的实际付款金额一样多？ 19．学校机房今年和去年共购置了 100 台计算机，已知今年购置的计算机数量是去年的 3 倍，求去年购置计算机多少台． 20．某集团前三个季度共销售冰箱 2800 台，其中第一季度的销售量是第二季度销售量的 2 倍，第三季度的销售量是第一季度销售量的 2 倍．求该集团第二季度销售冰箱多少台． 21．某班原有男、女生人数之比为 4:3．后来调走 8 名女生，此时男生人数恰好是女生人数的 2 倍．求原来这个班共有多少名学生． 22．一个两位数，个位上的数是 1，十位上的数是 x．把 1 与 x 对调后，所得的新两位数比原数小 18，求原两位数． 23．一个两位数，个位数字比十位数字大 5，且这个两位数等于它的两个数字之和的 3 倍．求这个两位数． 24．定义：对于一个两位数，如果个位数字与十位数字互不相同且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”．把一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数相加，再除以 11，所得的商记为 S(x)．已知一个“相异数” y 的个位数字的一半比十位数字小 1，且 S(y)=10，求这个“相异数” y． 25．今年小明妈妈和小明的年龄之和是 36 岁，再过 5 年，妈妈的年龄是小明年龄的 4 倍还大 1 岁．求今年小明的年龄． 26．今年哥哥的年龄是妹妹年龄的 2 倍，4 年前哥哥的年龄是妹妹年龄的 3 倍．求今年妹妹和哥哥各多少岁． 27．今年小明比妈妈小 24 岁，3 年前妈妈的年龄正好是小明年龄的 5 倍．求小明今年多少岁． 28．某人存入本金 3000 元，定期 2 年，到期后取出本息和 3180 元．求这项储蓄的年利率． 29．张阿姨把一笔钱按三年期定期储蓄存入银行，年利率为 3%，到期后共得本息和 21800 元．求张阿姨存入的本金． 30．李明把 8000 元存入银行，定期 5 年，年利率为 2.75%．到期后可得利息多少元？一共可取回多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级上册《一元一次方程应用题专项讲义》 适用章节：第五章 一元一次方程 —— 实际问题与一元一次方程 —————————————————————————————— 第一部分　课前导读 1.1　解应用题通用步骤（审、设、找、列、解、验、答） 审：审题。读清题意，找出已知量与未知量，明确题目要求什么，注意单位是否统一。 设：设未知数。一般设所求量为 x（直接设元）；当直接设元不便列式时，可设间接未知数。 找：找等量关系。抓住“一共”“是……的几倍”“比……多（少）”“相等”“刚好配套”等关键词，写出表示相等关系的语句。 列：列方程。把等量关系中的每个量都用含 x 的式子表示出来，列出方程。 解：解方程。按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的顺序求解。 验：检验。既要把解代回原方程检验左右两边是否相等，又要检验是否符合实际意义（人数、长度、时间、年龄等不能为负或不合常理）。 答：作答。写清单位，把结论说完整。 1.2　本讲题型总目录 题型1：配套、工程与调配问题 题型2：行程问题（相遇、追及、流水、火车过桥） 题型3：销售盈亏问题（进价、标价、售价、打折、利润率） 题型4：积分问题与表格信息题 题型5：几何问题与图形信息题 题型6：分段计费与方案选择 题型7：和差倍分问题 题型8：数字问题 题型9：年龄问题 题型10：储蓄利息问题 说明：题型 1～6 对应该章教材“实际问题与一元一次方程”的六类课时内容，题型 7～10 为常见补充类型。 第二部分　分题型精讲 【题型1：配套、工程与调配问题】 ✅ 模型解读：①配套：两种零件按固定比例装配成整体，把总人数（或总工时）分配去做两类零件，要求正好配套；②工程：只给出“单独完成所需时间”，工作量没有具体数值，常涉及先做后合作；③调配：把人员从一处调往另一处，按人数关系列方程。 ✅ 核心公式/等量关系： 配套：若 1 个 A 配 n 个 B，则 n×（A 的产量）= B 的产量，即 A、B 产量之比为 1:n； 工程：把总工作量看作 1，工作效率 =1/单独完成所需时间，各人工作量之和 =1； 调配：调配前后总人数不变，按要求的人数倍数关系列方程。 ✅ 经典例题：某车间有 45 名工人，每人每天可生产螺栓 15 个或螺母 20 个，1 个螺栓需要配 2 个螺母．为使每天生产的螺栓和螺母正好配套，应安排多少名工人生产螺栓？ 解：设安排 x 名工人生产螺栓，则安排 (45-x) 名工人生产螺母． 每天生产螺栓 15x 个，螺母 20(45-x) 个． 由配套关系，得 20(45-x) =2×15x 900-20x =30x 50x =900 x =18 所以安排 18 名工人生产螺栓，27 名工人生产螺母． 答：应安排 18 名工人生产螺栓． ✅ 变式训练： 1．某家具加工厂有 21 名木工加工桌子和椅子，1 张桌子配 4 把椅子．已知每名木工一天能加工 5 张桌子或 8 把椅子，应安排多少名木工加工桌子，才能使一天加工的桌子和椅子恰好配套？ 2．一项工程，甲单独做 15 天完成，乙单独做 10 天完成．若甲先做 3 天，剩下的工程由乙单独完成，问乙还需要做多少天？ 3．甲班有 48 人，乙班有 42 人．现从甲、乙两班各抽调一部分同学参加歌咏比赛，若从甲班抽调的人数比从乙班抽调的人数多 2 人，则甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的 2 倍．求从甲、乙两班各抽调了多少人？ 【变式答案】 1．设安排 x 名木工加工桌子，则安排 (21-x) 名木工加工椅子．由配套关系，得 8(21-x)=4×5x，即 168-8x=20x，28x=168，x=6．答：应安排 6 名木工加工桌子． 2．设乙还需要做 x 天．由题意，得 3/15+x/10=1，即 1/5+x/10=1，x/10=4/5，x=8．答：乙还需要做 8 天． 3．设从乙班抽调 x 人，则从甲班抽调 (x+2) 人．由题意，得 48-(x+2)=2(42-x)，即 46-x=84-2x，x=38．所以从甲班抽调 40 人，从乙班抽调 38 人．答：从甲班抽调 40 人，从乙班抽调 38 人． 【题型2：行程问题（相遇、追及、流水、火车过桥）】 ✅ 模型解读：题目涉及路程、速度、时间三个量，按运动方式分为相遇（相向）、追及（同向）、流水（顺流与逆流）、火车过桥（车长与桥长）四类。 ✅ 核心公式/等量关系： 路程 s=vt（速度 × 时间）； 相遇：v1t+v2t=s总（两车路程之和等于总路程）； 追及：v快t-v慢t=s差（两车路程之差等于初始距离）； 流水：v顺=v静+v水，v逆=v静-v水；火车过桥：s过桥= 桥长 + 车长，s全在桥上= 桥长 - 车长。 ✅ 经典例题：甲、乙两车分别从相距 130 km 的两地同时出发，相向而行，经过 2 h 相遇．已知甲车比乙车每小时快 15 km，求甲、乙两车的速度． 解：设乙车的速度为 x km/h，则甲车的速度为 (x+15) km/h． 由两车路程之和等于两地距离，得 2(x+15)+2x =130 2x+30+2x =130 4x =100 x =25 所以乙车的速度为 25 km/h，甲车的速度为 25+15=40（km/h）． 答：甲车的速度为 40 km/h，乙车的速度为 25 km/h． ✅ 变式训练： 1．小明骑自行车从 A 地出发前往 B 地，速度为 10 m/s．5 min 后，小伟骑自行车沿同一路线从 A 地出发追赶小明，速度为 15 m/s．问小伟出发后经过多长时间追上小明？ 2．一艘轮船在静水中的速度为 15 km/h，它从甲码头顺流航行到乙码头用了 4 h，从乙码头逆流返回甲码头用了 6 h．求水流的速度． 3．一列火车从长 800 m 的桥上通过，从车头上桥到车尾离桥共用 50 s；而整列火车完全在桥上的时间是 30 s．求这列火车的速度和车长． 【变式答案】 1．设小伟出发 t s 后追上小明，5 min =300 s．由路程相等，得 10(t+300)=15t，即 10t+3000=15t，5t=3000，t=600．答：小伟出发后 600 s（即 10 min）追上小明． 2．设水流的速度为 x km/h．由往返路程相等，得 4(15+x)=6(15-x)，即 60+4x=90-6x，10x=30，x=3．答：水流的速度为 3 km/h． 3．设火车的速度为 v m/s，车长为 L m．由题意，得 800+L=50v，800-L=30v．两式相加，得 1600=80v，v=20；代入得 L=800-30×20=200．答：火车的速度为 20 m/s，车长为 200 m． 【题型3：销售盈亏问题（进价、标价、售价、打折、利润率）】 ✅ 模型解读：题目中出现进价、标价、售价、打折、利润率等词语，核心是找准“利润”或“利润率”对应的等量关系；两类问题常出现——同类商品“一盈一亏”，或同种商品“两种折扣下盈亏不同”。 ✅ 核心公式/等量关系： 利润 = 售价 - 进价；利润率 =利润/进价×100%； 售价 = 标价 × 折扣（打 n 折即乘 n/10）；售价 = 进价 ×(1+利润率)。 ✅ 经典例题：某商场将一件商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是 25%．已知这件商品的进价为 800 元，求这件商品的原价． 解：设这件商品的原价为 x 元． 打八折后的售价为 0.8x 元． 由“售价 = 进价 ×(1+ 利润率)”，得 0.8x =800×(1+25%) 0.8x =1000 x =1250 答：这件商品的原价为 1250 元． ✅ 变式训练： 1．某服装店以每件 150 元的价格卖出两件不同的衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%．卖这两件衣服，该服装店是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 2．某服装店销售一批服装，若按标价的六折出售，则每件亏损 20 元；若按标价的九折出售，则每件盈利 40 元．求每件服装的标价和成本价． 3．一家店铺将一款文创产品按成本价提高 40% 后标价，再打八折销售，结果每件仍可获利 12 元．求这款文创产品每件的成本价． 【变式答案】 1．盈利那件的成本为 150÷(1+25%)=120（元），盈利 150-120=30（元）；亏损那件的成本为 150÷(1-25%)=200（元），亏损 200-150=50（元）．因为 50>30，所以总的情况是亏损，亏损 50-30=20（元）．答：该服装店亏损 20 元． 2．设每件服装的标价为 x 元．由成本不变，得 0.6x+20=0.9x-40，即 0.3x=60，x=200，成本为 0.6×200+20=140（元）．答：每件服装的标价为 200 元，成本价为 140 元． 3．设每件成本价为 x 元．由题意，得 1.4x×0.8-x=12，即 1.12x-x=12，0.12x=12，x=100．答：这款文创产品每件的成本价为 100 元． 【题型4：积分问题与表格信息题】 ✅ 模型解读：比赛（球类联赛、知识竞赛、飞镖游戏）按得分规则累计得分，或由一张部分数据被遮盖的表格反推每题（每场）的分值，再据此列一元一次方程。 ✅ 核心公式/等量关系： 总积分 = 各类得分之和（如胜场积分 + 平场积分 + 负场积分）； 表格信息题：先从未被遮盖的行（或整场全对/全错的行）求出每场（每题）的分值，再计算所求量； 常用检验：算出的场次（题数）必须是非负整数，否则该得分不可能。 ✅ 经典例题：在某次足球联赛中，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分．某队在 14 场比赛中保持不败，一共得到 30 分，求该队在这 14 场比赛中胜了多少场． 解：设该队胜了 x 场，因为保持不败，所以平了 (14-x) 场． 由总积分等于各场得分之和，得 3x+1×(14-x) =30 3x+14-x =30 2x =16 x =8 答：该队胜了 8 场． ✅ 变式训练： 1．某校组织知识竞赛，共设 20 道单项选择题，答对 1 题得 5 分，不答或答错 1 题扣 1 分．若参赛者李小萌得了 76 分，则她答对了几道题？ 2．下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分表（篮球比赛没有平局）： 球队：前进，比赛 12 场，胜 9 场，负 3 场，积分 21； 球队：光明，比赛 12 场，胜 7 场，负 5 场，积分 19． (1) 求胜一场、负一场各积多少分；(2) 若某队共比赛 12 场，积分为 15 分，求该队胜了多少场． 3．某磁性飞镖游戏每局投 10 次，投到边界不计入次数需重投．计分规则：投中 A 区得 3 分，投中 B 区得 1 分，脱靶得 -2 分．(1) 第一局珍珍投中 A 区 3 次、B 区 3 次、脱靶 4 次，求第一局的得分；(2) 第二局珍珍投中 A 区 k 次、B 区 2 次，其余全部脱靶，若本局得分比第一局提高了 12 分，求 k 的值． 【变式答案】 1．设她答对了 x 道题，则不答或答错 (20-x) 道．由题意，得 5x-(20-x)=76，即 6x-20=76，6x=96，x=16．答：她答对了 16 道题． 2．(1) 设胜一场积 a 分，负一场积 b 分．由前进、光明两队的数据，得 9a+3b=21，7a+5b=19．由第一式得 3a+b=7，即 b=7-3a；代入第二式得 7a+5(7-3a)=19，-8a+35=19，a=2，b=1．所以胜一场积 2 分，负一场积 1 分．(2) 设该队胜 x 场，则负 (12-x) 场，由 2x+(12-x)=15，得 x=3．答：胜一场积 2 分，负一场积 1 分；该队胜了 3 场． 3．(1) 第一局得分 =3×3+1×3+(-2)×4=9+3-8=4（分）．(2) 第二局得分 =3k+1×2+(-2)(10-k-2)=3k+2-16+2k=5k-14．由题意，得 5k-14=4+12，5k=30，k=6．答：第一局的得分为 4 分；k=6． 【题型5：几何问题与图形信息题】 ✅ 模型解读：题目给出图形的边长、周长、面积或体积，先用含未知数的式子表示相关量，再按“周长关系”“面积相等”“体积不变”等列方程。 ✅ 核心公式/等量关系： 长方形周长 =2×( 长 + 宽)；圆的周长 =2π r； 面积（或体积）在变形前后保持不变（等积变形）； “变为正方形”即变形后长与宽相等；“按比例”可设一份为 k。 ✅ 经典例题：一个长方形的宽为 30 cm，若把它的长减少 4 cm、宽增加 3 cm，就得到一个正方形．求这个长方形的长． 解：设这个长方形的长为 x cm． 长减少 4 cm 后为 (x-4) cm，宽增加 3 cm 后为 (30+3) cm． 由变形后为正方形（长 = 宽），得 x-4 =33 x =37 答：这个长方形的长为 37 cm． ✅ 变式训练： 1．一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为 10 cm，容器内水的高度为 12 cm．把一根半径为 5 cm 的圆柱形玻璃棒垂直插入水中（水未溢出且玻璃棒完全浸入），求容器内的水升高了多少厘米． 2．如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为 80 m，两端是两个半圆．若第 1 跑道的总长度为 400 m，求第 1 跑道半圆的半径（π 取 3）． 3．某小区长方形绿地的长、宽分别为 35 m、15 m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽都增加相同的长度后，得到一个新的长方形绿地．若新绿地的长是新宽的 2 倍，求新绿地的长． 【变式答案】 1．水升高前后水的体积不变．设水升高 x cm．插入玻璃棒后，水的底面积变为 π(102-52)=75π，水的高度变为 (12+x) cm．由体积不变，得 100π×12=75π(12+x)，即 1200=900+75x，x=4．答：容器内的水升高了 4 cm． 2．设半圆的半径为 r m．跑道总长由中间长方形的两条长边和两端两个半圆（合起来是一个圆）组成，得 2×80+2π r=400，即 160+6r=400，6r=240，r=40．答：第 1 跑道半圆的半径为 40 m． 3．设长、宽都增加 x m，则新长 (35+x) m，新宽 (15+x) m．由新长是新宽的 2 倍，得 35+x=2(15+x)，即 35+x=30+2x，x=5．所以新长为 35+5=40（m）．答：新绿地的长为 40 m． 【题型6：分段计费与方案选择】 ✅ 模型解读：①分段计费：收费标准按用量分成若干段，各段单价（或折扣）不同，总费用 = 各段费用之和；②方案选择：给出两种（或多种）收费（优惠）方案，比较费用大小，判断“哪家更省钱”或“何时费用相等”。 ✅ 核心公式/等量关系： 分段计费：先判断所给费用落在哪一段，再按该段单价列方程； 方案选择：分别用含 x 的式子表示各方案的费用；费用相等时列方程。 ✅ 经典例题：某市自来水收费实行阶梯水价，月用水量不超过 12 t 的部分按 2.00 元/t 收费；超过 12 t 但不超过 18 t 的部分按 2.50 元/t 收费；超过 18 t 的部分按 3.00 元/t 收费．某户 3 月份交水费 36.5 元，求该户 3 月份的用水量． 解：先判断用水量所在的范围．用水 12 t 应交 12×2.00=24（元），用水 18 t 应交 24+6×2.50=39（元）． 因为 24<36.5<39，所以该户 3 月份的用水量超过 12 t 但不超过 18 t． 设该户 3 月份用水 x t（12<x≤18）． 由总水费为各段费用之和，得 24+2.50(x-12) =36.5 2.50(x-12) =12.5 x-12 =5 x =17 答：该户 3 月份的用水量为 17 t． ✅ 变式训练： 1．某市出租车的收费标准是：起步价 10 元（不超过 3 km 都付 10 元），超过 3 km 后，每增加 1 km 加收 3 元（不足 1 km 按 1 km 计算）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费 28 元，求甲地到乙地路程的最大值． 2．王叔叔打算邮寄一些优质水产品，现有 A、B 两家物流公司．A 公司的收费标准是：所有货品一律 6 元/千克；B 公司的收费标准是：首重（20 千克以内）150 元，超过 20 千克的部分按 4 元/千克收费．王叔叔计算后发现两家公司的邮费一样，求他要邮寄的水产品的质量． 3．某运营商通话收费有 A、B 两种套餐：A 套餐月租 20 元，通话费每分钟另收 0.1 元；B 套餐无月租，通话费每分钟 0.2 元．当使用 A、B 两种套餐的通话费一样时，求每月的通话时间． 【变式答案】 1．设甲地到乙地的路程为 x km．因为 28>10，所以 x>3．由题意，得 10+3(x-3)=28，即 3(x-3)=18，x-3=6，x=9．答：甲地到乙地路程的最大值为 9 km． 2．设他要邮寄 x 千克的水产品．A 公司收费 6x 元；因为两家邮费一样且超过 20 千克，所以 x>20，B 公司收费 150+4(x-20) 元．由 6x=150+4(x-20)，得 6x=150+4x-80，2x=70，x=35．答：他要邮寄 35 千克的水产品． 3．设每月的通话时间为 t min．A 套餐收费 (20+0.1t) 元，B 套餐收费 0.2t 元．由通话费一样，得 20+0.1t=0.2t，0.1t=20，t=200．答：每月的通话时间为 200 min． 【题型7：和差倍分问题】 ✅ 模型解读：题干中出现“一共”“比……多（少）”“是……的几倍”等语句，其中一个量可以用另一个量按倍数关系表示出来，再按“总量 = 各部分量之和”列方程。 ✅ 核心公式/等量关系：甲 = 乙 × k；甲 = 乙 ± d（k 为倍数，d 为相差数）；总量 = 各部分量之和。 ✅ 经典例题：某市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，某段时间内，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量的总和为 1696 万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的 4 倍少 69 万人次．求这两种交通方式日均客运量各为多少万人次． 解：设轨道交通日均客运量为 x 万人次，则地面公交日均客运量为 (4x-69) 万人次． 由两种客运量之和为 1696 万人次，得 (4x-69)+x =1696 5x-69 =1696 5x =1765 x =353 所以地面公交日均客运量为 4×353-69=1343（万人次）． 答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次． ✅ 变式训练： 1．甲、乙、丙三人共加工 1350 个零件，甲加工的数量是乙的一半，丙加工的数量是乙的 3 倍．甲、乙、丙各加工了多少个零件？ 2．一名同学用三天时间读完一本杂志，第二天阅读的页数是第一天的 2 倍，第三天阅读的页数是第二天的 2 倍．若这本杂志共 84 页，求他这三天分别阅读了多少页． 3．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树 61 棵，其中甲班植树的棵数比乙班植树棵数的 2 倍多 1 棵．求甲、乙两班各植树多少棵． 【变式答案】 1．设乙加工 x 个，则甲加工 1/2x 个，丙加工 3x 个．由题意，得 1/2x+x+3x=1350，即 4.5x=1350，x=300．所以甲加工 150 个，丙加工 900 个．答：甲加工 150 个，乙加工 300 个，丙加工 900 个． 2．设第一天阅读 x 页，则第二天 2x 页，第三天 4x 页．由题意，得 x+2x+4x=84，7x=84，x=12．所以第二天 24 页，第三天 48 页．答：三天分别阅读 12 页、24 页、48 页． 3．设乙班植树 x 棵，则甲班植树 (2x+1) 棵．由题意，得 (2x+1)+x=61，3x+1=61，x=20．所以甲班植树 2×20+1=41（棵）．答：甲班植树 41 棵，乙班植树 20 棵． 【题型8：数字问题】 ✅ 模型解读：题目围绕两位数的十位、个位数字（或多位数的各位数字）展开，涉及数字之和、数字间的大小关系，或交换数位后的新数。 ✅ 核心公式/等量关系：设十位数字为 a、个位数字为 b，则 两位数 =10a+b；交换数位后的两位数 =10b+a； 交换前后两数之差 =9(a-b)（a>b 时原数较大）。 ✅ 经典例题：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的 2 倍多 1．若把这个两位数的十位数字与个位数字调换位置，所得的新数比原数小 27，求原数． 解：设个位数字为 x，则十位数字为 (2x+1)． 原两位数 =10(2x+1)+x=21x+10，新两位数 =10x+(2x+1)=12x+1． 由新数比原数小 27，得 (21x+10)-(12x+1) =27 9x+9 =27 9x =18 x =2 所以十位数字为 2×2+1=5，原两位数为 52． 答：原数是 52． ✅ 变式训练： 1．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为 12．若把两个数字交换位置，所得的两位数比原两位数小 18，求原来的两位数． 2．一个两位数的个位数字为 7，已知这个两位数比它各个数位上的数字之和大 27，求这个两位数． 3．一个五位数最高位上的数字是 2，如果把这个数字移到其余数字的右边，那么所得的新数比原来的数大 5778，求原数． 【变式答案】 1．设十位数字为 a、个位数字为 b，则 a+b=12．由交换后比原数小 18，得 (10a+b)-(10b+a)=18，即 9(a-b)=18，a-b=2．解得 a=7，b=5，原两位数为 75．答：原来的两位数是 75． 2．设十位数字为 x，则原两位数为 10x+7．由题意，得 10x+7=(x+7)+27，即 10x+7=x+34，9x=27，x=3．答：这个两位数是 37． 3．设这个五位数除去最高位 2 后的四位数为 x，则原数为 20000+x，新数为 10x+2．由题意，得 (10x+2)-(20000+x)=5778，即 9x-19998=5778，9x=25776，x=2864．所以原数为 22864．答：原数是 22864． 【题型9：年龄问题】 ✅ 模型解读：题目涉及现在与若干年前（后）的年龄，各人的年龄随年份同步增长（每人增加或减少相同的岁数），两人的年龄之差始终不变。 ✅ 核心公式/等量关系： n 年后每人年龄各增加 n 岁，n 年前每人年龄各减少 n 岁；两人的年龄之差始终不变； 常用等量关系：n 年后 甲的年龄 = 乙的年龄 × k。 ✅ 经典例题：今年小明的年龄是弟弟年龄的 4 倍，5 年后小明的年龄将是弟弟年龄的 3 倍．求小明今年多少岁． 解：设今年弟弟 x 岁，则今年小明 4x 岁． 5 年后，弟弟 (x+5) 岁，小明 (4x+5) 岁． 由 5 年后小明年龄是弟弟年龄的 3 倍，得 4x+5 =3(x+5) 4x+5 =3x+15 x =10 所以小明今年 4×10=40（岁）． 答：小明今年 40 岁． ✅ 变式训练： 1．爸爸比儿子大 30 岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的 6 倍．求今年爸爸和儿子各多少岁． 2．今年爸爸的年龄是萌萌年龄的 3 倍，3 年前爸爸的年龄是萌萌年龄的 4 倍．求萌萌今年多少岁． 3．小华出生时妈妈 26 岁，现在妈妈的年龄比小华年龄的 3 倍多 2 岁．求小华现在的年龄． 【变式答案】 1．设今年儿子 x 岁，则今年爸爸 (x+30) 岁．由爸爸年龄是儿子的 6 倍，得 x+30=6x，5x=30，x=6．所以爸爸今年 36 岁．答：今年爸爸 36 岁，儿子 6 岁． 2．设萌萌今年 x 岁，则今年爸爸 3x 岁．3 年前萌萌 (x-3) 岁，爸爸 (3x-3) 岁．由题意，得 3x-3=4(x-3)，即 3x-3=4x-12，x=9．答：萌萌今年 9 岁． 3．设小华现在 x 岁，则妈妈现在 (x+26) 岁．由题意，得 x+26=3x+2，即 2x=24，x=12．答：小华现在 12 岁． 【题型10：储蓄利息问题】 ✅ 模型解读：题目涉及本金、利率、期数、利息、本息和，通常按单利（利息不计入下一期本金）计算。 ✅ 核心公式/等量关系： 利息 = 本金 × 利率 × 期数； 本息和 = 本金 + 利息 = 本金 ×(1+ 利率 × 期数)。 ✅ 经典例题：文文爸爸把一笔钱按三年期的定期储蓄存入银行，年利率是 2.5%，到期后获得本息和 21500 元．求文文爸爸存入的本金． 解：设文文爸爸存入的本金为 x 元． 三年到期后的利息为 x×2.5%×3=0.075x（元）． 由“本息和 = 本金 + 利息”，得 x+0.075x =21500 1.075x =21500 x =20000 答：文文爸爸存入的本金为 20000 元． ✅ 变式训练： 1．小杰将春节收到的 2500 元压岁钱的 80% 存入银行，存期两年，到期后共取出 2050 元．求这项储蓄的本金和年利率． 2．小红把 5000 元存入银行，年利率为 3%，定期 2 年．到期后可得利息多少元？ 3．王叔叔把一笔钱存入银行，定期 4 年，年利率为 2.75%，到期后共得本息和 5550 元．求他存入的本金． 【变式答案】 1．本金为 2500×80%=2000（元）．设年利率为 x．由题意，得 2000+2000× x×2=2050，即 4000x=50，x=0.0125=1.25%．答：本金为 2000 元，年利率为 1.25%． 2．利息 =5000×3%×2=300（元）．答：到期后可得利息 300 元． 3．设他存入的本金为 x 元．由题意，得 x(1+2.75%×4)=5550，即 1.11x=5550，x=5000．答：他存入的本金为 5000 元． 第三部分　综合小测 1．某班 42 名学生参加手工课，制作圆柱形茶叶筒，1 个茶叶筒由 1 个筒身和 2 个筒底组成．每名学生每节课能做筒身 20 个或筒底 30 个，为使做成的筒身和筒底正好配套，应安排多少名学生做筒身？ 2．某学校计划铺设一条总长为 6300 m 的热力管道．甲工程队先单独铺设了 5 天，平均每天铺设 220 m；随后乙工程队加入，与甲工程队合作铺设，乙工程队平均每天铺设 180 m．问乙工程队参与铺设多少天后才能完成这项工程？ 3．某学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 16 人，在乙处植树的有 10 人，现另调 70 人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍．应调往甲、乙两处各多少人？ 4．A、B 两地相距 450 km，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲车的速度为 120 km/h，乙车的速度为 80 km/h．经过多少小时后两车相距 50 km？ 5．小明骑自行车从 A 地以 8 m/s 的速度出发前往 B 地，2 min 后，小伟骑自行车沿同一路线从 A 地出发追赶小明，速度为 12 m/s．问小伟出发后经过多长时间追上小明？ 6．一艘轮船从码头顺流而下，再逆流返回原码头，计划共用 5 h．已知轮船在静水中的速度是 10 km/h，水流速度是 2 km/h，求这艘轮船最多顺流航行多少千米就必须返回． 7．某商品的进价是 120 元，售价是 150 元．求这件商品的利润率． 8．某商品的进价为每件 200 元，按标价打八折后出售，每件可获利 40 元．求该商品每件的标价． 9．某商店以每盒 120 元的售价卖出两盒不同的坚果，其中一盒盈利 50%，另一盒亏损 25%．该商店卖出这两盒坚果后是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 10．某篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队赛了 14 场，共得 23 分，求该队胜了多少场． 11．某次数学竞赛共有 10 道题，每答对一道题得 5 分，不答或答错一道题扣 3 分．若要得到 34 分，必须答对多少道题？ 12．一场篮球比赛中，李明一人得了 21 分．若他只投进了 2 分球和 3 分球，且投进的 2 分球比 3 分球多 3 个，求他投进了多少个 2 分球、多少个 3 分球． 13．一个长方形的周长是 26 cm，把它的长减小 1 cm、宽增加 2 cm，就得到一个正方形．求这个长方形的长和宽． 14．把一根 36 cm 长的铁丝分成两段，分别围成两个正方形，已知这两个正方形的边长之比为 4:5，求这两个正方形的面积之和． 15．向一个底面直径为 5 cm、高为 18 cm 的圆柱形水瓶甲内装满清水，然后将甲瓶内的水倒入一个底面直径为 6 cm、高为 10 cm 的圆柱形水瓶乙中．(1) 通过计算判断乙瓶能否装下甲瓶内的全部水；(2) 若装不下，求甲瓶内剩余水的高度． 16．某市用电实行阶梯电价，月用电量不超过 100 度的部分按 0.5 元/度收费；超过 100 度但不超过 200 度的部分按 0.6 元/度收费；超过 200 度的部分按 0.75 元/度收费．若小明家某月缴纳电费 200 元，求小明家当月的用电量． 17．某校准备为毕业班学生每人制作一本纪念册，现有甲、乙两家公司：甲公司每册收材料费 5 元，另收设计费 1500 元；乙公司每册收材料费 8 元，不收设计费．若两家公司收费一样，求该校毕业班学生的人数． 18．某文具店毛笔每支 25 元，书法练习本每本 5 元，推出两种优惠方案．方案一：买一支毛笔赠送一本练习本；方案二：按购买金额的九折付款．某校购买毛笔 10 支、练习本 x 本（x>10）．当购买多少本练习本时，两种方案的实际付款金额一样多？ 19．学校机房今年和去年共购置了 100 台计算机，已知今年购置的计算机数量是去年的 3 倍，求去年购置计算机多少台． 20．某集团前三个季度共销售冰箱 2800 台，其中第一季度的销售量是第二季度销售量的 2 倍，第三季度的销售量是第一季度销售量的 2 倍．求该集团第二季度销售冰箱多少台． 21．某班原有男、女生人数之比为 4:3．后来调走 8 名女生，此时男生人数恰好是女生人数的 2 倍．求原来这个班共有多少名学生． 22．一个两位数，个位上的数是 1，十位上的数是 x．把 1 与 x 对调后，所得的新两位数比原数小 18，求原两位数． 23．一个两位数，个位数字比十位数字大 5，且这个两位数等于它的两个数字之和的 3 倍．求这个两位数． 24．定义：对于一个两位数，如果个位数字与十位数字互不相同且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”．把一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数相加，再除以 11，所得的商记为 S(x)．已知一个“相异数” y 的个位数字的一半比十位数字小 1，且 S(y)=10，求这个“相异数” y． 25．今年小明妈妈和小明的年龄之和是 36 岁，再过 5 年，妈妈的年龄是小明年龄的 4 倍还大 1 岁．求今年小明的年龄． 26．今年哥哥的年龄是妹妹年龄的 2 倍，4 年前哥哥的年龄是妹妹年龄的 3 倍．求今年妹妹和哥哥各多少岁． 27．今年小明比妈妈小 24 岁，3 年前妈妈的年龄正好是小明年龄的 5 倍．求小明今年多少岁． 28．某人存入本金 3000 元，定期 2 年，到期后取出本息和 3180 元．求这项储蓄的年利率． 29．张阿姨把一笔钱按三年期定期储蓄存入银行，年利率为 3%，到期后共得本息和 21800 元．求张阿姨存入的本金． 30．李明把 8000 元存入银行，定期 5 年，年利率为 2.75%．到期后可得利息多少元？一共可取回多少元？ 【参考答案与详细解析】 1．设安排 x 名学生做筒身，则 (42-x) 名学生做筒底．由配套关系，得 30(42-x)=2×20x，即 1260-30x=40x，70x=1260，x=18．答：应安排 18 名学生做筒身． 2．设乙工程队参与铺设 x 天．甲队先做 5 天铺了 220×5=1100（m），余下 6300-1100=5200（m）由两队合作完成．由题意，得 (220+180)x=5200，即 400x=5200，x=13．答：乙工程队参与铺设 13 天． 3．设调往甲处 x 人，则调往乙处 (70-x) 人．由题意，得 16+x=2(10+70-x)，即 16+x=160-2x，3x=144，x=48．所以调往乙处 70-48=22（人）．答：调往甲处 48 人，调往乙处 22 人． 4．设经过 t h 后两车相距 50 km．分两种情况：①相遇前，得 (120+80)t=450-50，即 200t=400，t=2；②相遇后，得 (120+80)t=450+50，即 200t=500，t=2.5．答：经过 2 h 或 2.5 h 后两车相距 50 km． 5．设小伟出发 t s 后追上小明，2 min =120 s．由路程相等，得 8(t+120)=12t，即 8t+960=12t，4t=960，t=240．答：小伟出发后 240 s（即 4 min）追上小明． 6．设顺流航行 x km 就必须返回．顺流速度为 10+2=12（km/h），逆流速度为 10-2=8（km/h）．由往返总时间为 5 h，得 x/12+x/8=5，即 2x+3x/24=5，5x=120，x=24．答：最多顺流航行 24 km 就必须返回． 7．利润 =150-120=30（元），利润率 =30/120×100%=25%．答：这件商品的利润率为 25%． 8．设该商品每件的标价为 x 元．打八折后的售价为 0.8x 元，由 0.8x-200=40，得 0.8x=240，x=300．答：该商品每件的标价为 300 元． 9．盈利那件的成本为 120÷(1+50%)=80（元），盈利 120-80=40（元）；亏损那件的成本为 120÷(1-25%)=160（元），亏损 160-120=40（元）．盈利与亏损相抵，所以不盈不亏．答：该商店卖出这两盒坚果后不盈不亏． 10．设该队胜了 x 场，则负了 (14-x) 场．由题意，得 2x+(14-x)=23，即 x+14=23，x=9．答：该队胜了 9 场． 11．设必须答对 x 道题，则不答或答错 (10-x) 道．由题意，得 5x-3(10-x)=34，即 5x-30+3x=34，8x=64，x=8．答：必须答对 8 道题． 12．设投进 3 分球 x 个，则投进 2 分球 (x+3) 个．由题意，得 3x+2(x+3)=21，即 3x+2x+6=21，5x=15，x=3．所以 2 分球为 3+3=6（个）．答：投进 2 分球 6 个，3 分球 3 个． 13．设这个长方形的长为 x cm，则宽为 (13-x) cm．由变形后为正方形，得 x-1=(13-x)+2，即 x-1=15-x，2x=16，x=8，宽为 13-8=5（cm）．答：这个长方形的长为 8 cm，宽为 5 cm． 14．设两个正方形的边长分别为 4k cm、5k cm．由铁丝总长 36 cm，得 4×4k+4×5k=36，即 36k=36，k=1．所以两个正方形的边长分别为 4 cm、5 cm，面积之和为 42+52=41（cm²）．答：两个正方形的面积之和为 41 cm²． 15．甲瓶内水的体积为 π×2.52×18=112.5π（cm³），乙瓶的容积为 π×32×10=90π（cm³）．因为 112.5π>90π，所以乙瓶不能装下全部的水．(2) 剩余水的体积为 112.5π-90π=22.5π（cm³），甲瓶内剩余水的高度为 22.5π/π×2.5²=3.6（cm）．答：乙瓶不能装下全部的水；甲瓶内剩余水的高度为 3.6 cm． 16．用水 100 度应交 100×0.5=50（元），用水 200 度应交 50+100×0.6=110（元）．因为 200>110，所以月用电量超过 200 度．设当月用电 x 度（x>200）．由题意，得 110+0.75(x-200)=200，即 0.75(x-200)=90，x-200=120，x=320．答：小明家当月的用电量为 320 度． 17．设该校毕业班学生有 x 人．甲公司收费 (5x+1500) 元，乙公司收费 8x 元．由两家收费一样，得 5x+1500=8x，3x=1500，x=500．答：该校毕业班学生有 500 人． 18．设购买 x 本练习本（x>10）．方案一：毛笔 10 支花费 25×10=250（元），赠练习本 10 本，其余 (x-10) 本需另付 5(x-10) 元，共 250+5(x-10)=200+5x（元）；方案二：全部按九折付款，共 0.9(25×10+5x)=225+4.5x（元）．由两种方案付款一样多，得 200+5x=225+4.5x，0.5x=25，x=50．答：购买 50 本练习本时两种方案付款一样多． 19．设去年购置计算机 x 台，则今年购置 3x 台．由题意，得 3x+x=100，4x=100，x=25．答：去年购置计算机 25 台． 20．设第二季度销售 x 台，则第一季度销售 2x 台，第三季度销售 4x 台．由题意，得 2x+x+4x=2800，7x=2800，x=400．答：该集团第二季度销售冰箱 400 台． 21．设原来男生 4k 人、女生 3k 人．调走 8 名女生后女生为 (3k-8) 人，由男生人数是女生的 2 倍，得 4k=2(3k-8)，即 4k=6k-16，2k=16，k=8．所以原来共有 4k+3k=7k=56（人）．答：原来这个班共有 56 名学生． 22．原两位数为 10x+1，对调后新两位数为 10+x．由新数比原数小 18，得 (10x+1)-(10+x)=18，即 9x-9=18，9x=27，x=3．答：原两位数为 31． 23．设十位数字为 x，则个位数字为 (x+5)，两位数为 10x+(x+5)=11x+5．由题意，得 11x+5=3[x+(x+5)]，即 11x+5=3(2x+5)，11x+5=6x+15，5x=10，x=2．所以个位数字为 7，两位数为 27．答：这个两位数是 27． 24．设十位数字为 a、个位数字为 b．因为 S(y)=(10a+b)+(10b+a)/11=11(a+b)/11=a+b，所以 a+b=10．又由个位数字的一半比十位数字小 1，得 a-1/2b=1，即 2a-b=2．把 b=10-a 代入，得 2a-(10-a)=2，3a=12，a=4，b=6．答：这个“相异数” y 是 46． 25．设今年小明 x 岁，则妈妈今年 (36-x) 岁．5 年后小明 (x+5) 岁，妈妈 (41-x) 岁．由题意，得 41-x=4(x+5)+1，即 41-x=4x+21，5x=20，x=4．答：今年小明 4 岁． 26．设今年妹妹 x 岁，则哥哥 2x 岁．4 年前妹妹 (x-4) 岁，哥哥 (2x-4) 岁．由题意，得 2x-4=3(x-4)，即 2x-4=3x-12，x=8．所以哥哥为 2×8=16（岁）．答：今年妹妹 8 岁，哥哥 16 岁． 27．设小明今年 x 岁，则妈妈 (x+24) 岁．3 年前小明 (x-3) 岁，妈妈 (x+21) 岁．由题意，得 x+21=5(x-3)，即 x+21=5x-15，4x=36，x=9．答：小明今年 9 岁． 28．设这项储蓄的年利率为 x．利息为 3000× x×2=6000x（元）．由本息和的关系，得 3000+6000x=3180，6000x=180，x=0.03=3%．答：这项储蓄的年利率为 3%． 29．设张阿姨存入的本金为 x 元．由题意，得 x(1+3%×3)=21800，即 1.09x=21800，x=20000．答：张阿姨存入的本金为 20000 元． 30．利息 =8000×2.75%×5=1100（元），本息和 =8000+1100=9100（元）．答：到期后可得利息 1100 元，一共可取回 9100 元． 学科网（北京）股份有限公司 $