教材之外阅读材料：数理思维的基本流程2025-2026学年人教版七年级数学上册

第2/4页 四川省华蓥中学·叶超·2026年2月 四川省华蓥中学·叶超·2026年2月 第1/4页 内容提要： 一、概述 二、巩固练习 数理思维的基本流程：理、联、比、转 一、概述 数理思维的基本流程为：理解、联想、比较、转化。 1．理解： 思维运行的第一步，当然是理解所研究内容（学习时的知识与解题时的问题）的含义。 理解的实质是一边读题一边将其翻译成我们所熟悉的语言（如：数学表达式、物理量等）。对一般的题目，读一遍即可弄清其含义，但少数题理解起来较为困难，需要用心去领悟，甚至，在解题的过程中还要回去重新读题（此时一定要读慢一点）。 示例：去分母 与 通分 的区别： 去分母的实质：利用 等式的性质（同乘除……）对方程 进行 等价变形。即：若a=b，则ac=bc。（方程两端的值已变，但等式仍成立） 如：解方程： 解：去分母得：5(x－3)+30=3(2x+3)（后略） 通分的实质：利用 分式的基本性质（同乘除……）对分式 进行 等值变形（目的：将异分母分式相加减 转化 为同分母分式相加减）。 如： 千万注意，做任何事情之前都要明白你要干的是什么事情，不能只知其然，不知其所以然。 2．联想： 一切思维都以联想为基础，一定是先有了想法再考虑能否解决以及如何解决的问题。 联想就是有联系地想，是指看到什么就要想到什么，其实质是 寻找联系（寻找已知条件、所求问题及所学知识三者内部或三者之间的联系）。联想思维可分为 发散思维 与 聚合思维。发散思维是指看到一点而想到一点或几点，即：散得开。聚合思维是指看到几点而想到一点或几点，即：聚得拢。读题时，要一边读题一边进行适当的联想，只要熟悉了看到某某内容的 通常想法（如：看到中点就想到其3种处理方法），很多题进行简单的联想处理后就已经被解决了。 ( A B E D O C ) ( A B E D O C )有的题目的已知条件、所求问题及所学知识之间的联系较为繁杂，仅仅凭想象难以发现它们之间的联系，或者，虽然知道它们之间有某种联系，却把这种联系理不清，此时就需要借助一定的工具将联系清晰化。 示例：如图，A，O，C在同一直线上，OD平分∠ AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE=______。 析：本题较为简单，将相等的量标上相同的 符号即可得解。对于复杂的的问题，改 用字母作标记则能将它们之间的联系清晰化，并便于利用 方程的思想 和 函数的思想（引入一个或多个自变量，将题中的量用这些自变量表示出来，这就是各量间的联系）。 ( A N M O D C B 2 α 3 α )示例：（华蓥市2025秋期末统考）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AON：∠NOD=2：3，OM⊥ON。3∠AOC—5∠DOM是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。 ( A N M O D C B )析：由“∠AON：∠NOD=2：3”想到： 设∠AON=2α，∠NOD=3α，则： 3∠AOC—5∠DOM =3(180°—5α)—5(90°—3α) =90°，为定值。 ( A F E D C B )示例：如图，AB：BC：CD=3：2：4，E，F分别是AB，CD的中点，EF=22，求BC。 析：由“AB：BC：CD=3：2：4”想到： ( A F E D C B 2 x 2 x 2 x )设AB=3x，BC=2x，CD=4x，则： ，解得x=4 故BC=2x==2×4=8 在货币诞生之前，人们之间进行的是物物交换，物与物之间的联系较复杂，十分不便，但是，引入货币这个桥梁之后，各物与货币这个中介产生联系（不但可以交换，还可以量化），各物间的联系就十分清楚了。这里的字母与货币的作用相同。马克思主义认为，制造并使用工具是人与动物的本质区别。事实上，动物也是可以制造工具的，人与动物的区别只是思维能力不同而已，将字母作为工具是思维的一大进步！ 3．比较： 比较是指将联想到的两个事物进行对比分析，找出它们之间的联系、共同点与不同点等。 比较是联想的延续，是将 新接触的事物 与 联想到的事物 进行比对，大脑在联想后一般会自发地进行比较。识别事物就是将被识别事物与大脑中的记忆相比较，学习新知识时常常将其与旧知识相比较，求解问题时常常将被求解的问题与熟悉的问题进行比较，将已知与欲求（或欲证）相比较，将几个研究对象进行比较……最后，我们根据比较的结果决定怎样对题目进行处理：如果是熟悉的问题，直接按知道的方法进行求解；如果不是，则根据比较的结果进行转化探索。 示例：（华蓥市2024秋期末统考）定义：当a≤b时，F(a，b)=a+b；当a>b时，F(a，b)=a—b。试求F(1，101)+F(2，101)+F(3，101)+…+F(198，101)+F(199，101)的值。 析：理解题意可得：原式=(1+101)+(2+101)+…+(101+101)+(102—101)+…+(199—101) 由其中的1，2，3，…联想到等差数列的求和方法，但比较发现本题与等差数列的求和又有区别，于是考虑分别求和： 原式=(1+2+3+…+199)+(101×101—(199—101)×101)，后略。 4．转化： 转化是指将题目的 全部或某一局部 从一种状态转化为另一种状态（如：将证明题转化为计算题，等），其一般原则是：简单化，熟悉化，联系化，明显化，清晰化，……，其根本目的是 将难题可解化。广义地讲，对题目所进行的任何处理都是转化，转化是数理思维的核心。 转化离不开联想与比较。转化是联想与比较的延续，联想与比较是转化的起点。 转化分等价转化（…⇔…）与不等价转化（如果能…则…）两类，我们一般先考虑等价转化。 示例：三个空酒壶可以换一壶酒，现在你手上有十个空酒壶，你最多可以喝几壶酒？ 析：“三个空酒壶可以换一壶酒”意即：3个空酒壶=酒1壶+酒壶1个 也即：2个空酒壶=酒1壶 理解、联想与比较、转化，只是理性思维运行的基本流程，事实上，理解中也需要联想，转化时也需要理解……一切思维从理解开始，对问题所作的一切处理都是转化，转化一定以联想与比较为基础，它们是数理思维的主要过程。 二、巩固练习 1．（理解）定义，根据该定义解方程： 2．在一张日历上，用3×3的正方形方框任意框出9个数，它们的和可能是（ ） A．83 B．116 C．99 D．63 ( A N M P B )3．如图，AB=24cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度向点B运动，M为AP的中点，N为BP的中点。以下说法：①运动4s后，MN=12cm；②在点P运动过程中，2BM—BP的值随着点P位置的变化而变化；③当AN=6PM时，运动时间为2.4s。 正确的有：__________（填序号）。 ( A E C D B O 图2 ) ( A E C D B O 图1 )4．(1)如图1，OC平分∠AOB，OE平分∠DOB，试 探究∠AOD与∠COE之间的数量关系。 提示：设∠DOE=∠BOE=α，∠COD=β。 (2)如图2，OD在OA左边，条件不变，(1)中的关 系是否仍成立，并说明理由。 参考答案： 1．解：由题意得：，后略。（答案：） 2．C 析：设这9个数最中间的数为x，则这9个数分别为x—8 x—7 x—6 x—1 x x+1 x+6 x+7 x+8 它们的和为9x 由于选项A、B均不是9的整数倍，排除； 对选项D：若9x =63，则x=7，x—8与x—7不是1—31之间的正整数，排除。 ( A N M P B t t 12 — t 12 — t )3．①③ 析：设运动时间为t秒。 对于②：2BM—BP=2(24—t)—(24—2t)=24，其值恒定不变，不随点P位置的变化而变化； 对于③：12+t=6t，解得t=2.4s。 ( A E C D B O β α α 2 α + β 图1 )4．解：(1)如图，设∠DOE=∠BOE=α，∠COD=β，则∠AOC=2α+β。 ∠AOD=2α+2β=2(α+2β)=2∠COE (2) (1)中的结论仍成立，理由： 法1：仍设∠DOE=∠BOE=α，∠COD=β，则： ( A E C D B O α β —α 图2法1 ) ( A E C D B O y x x — y 图2法2 )∠AOD=β—α ∴∠AOD=2∠COE 法2：设∠BOC=∠AOC=x，∠COE=y，则： ∠AOD=∠DOE—∠AOE=(x+y)—(x—y) =2y=2∠COE 说明：本题需引入两个字母（自变量），具体将哪两个量设为自变量都是可以的，但常常设小量为自变量。 学科网（北京）股份有限公司 $