精品解析：广东省江门市鹤山市第一中学附属中学2025-2026学年九年级12月数学学情自测

九年级数学科 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 13名学生中至少有两个人在同一个月过生日 D. 购买一张彩票，中奖 4. 关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 6. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，旋转角度为，点A的对应点为点D，连接若点A，D，E在同一条直线上时，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图像分布在第二、四象限内 B. 当时，随的增大而增大 C. 图像经过点 D. 若点都在函数的图像上，且时，则 9. 如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程没有实数根；④．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分．） 11. 若双曲线的图像经过第一、三象限，则的取值范围是____． 12. 如图，四边形四边形，若，，，则______. 13. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为_____． 14. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 15. 如图，是半圆的直径，，则的度数是_______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分．） 16. 在用配方法解方程时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得， 即 ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以， 请回答： （1）小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，画出，并写出点，，的坐标： ， ， ． 18. 某生理学家发现一个有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求关于的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分．） 19. 化学实验课上，蔡老师带来了四个常考的制取气体的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：； B．碳酸钙制取二氧化碳：； C．氯酸钾制取氧气：； D．电解水：； （1）若小聪从四个实验中任意选一个实验，则选到实验室制取氧气的实验的概率为______； （2）小聪先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 20. 如图，以的边为直径的与边相交于点，，过点作于点． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为，求的长． 21. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题10分，第23题12分，共22分．） 22. 综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 方案C：利用标杆 示意图 测量 过程 在同一时刻，小组同学测得身高为1.6米的李彤的影长为2.4米，同时测得旗杆的影长为22.5米. 王慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部.小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为1.5米，王慧到镜子的距离为2.1米，旗杆到镜子的距离为21米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，袁超的眼睛距离地面的高度为1.55米，他与旗杆之间的距离为40.35米. 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： （1）利用方案A测得旗杆的高度为____________米； （2）请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； （3）袁超在利用方案C计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 23. 如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”． （1）如图2，是⊙O的直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①是弧的“幸运角”吗？请说明理由； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“幸运角”度数； （2）如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学科 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式（），再根据一般形式确定一次项系数． 【详解】解： ∴ ∵一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数 ∴该方程的一次项系数是， 故选：D． 2. 有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，）或（为常数，）的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：∵反比例函数的定义为（为常数，）或可变形为该形式， ①，符合（），是反比例函数； ②，是正比例函数，不是反比例函数； ③，符合（），是反比例函数； ④可变形为，符合（），是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ⑥，不是的形式，不是反比例函数； ∴是反比例函数的有①③④，共3个． 故选：B． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 13名学生中至少有两个人在同一个月过生日 D. 购买一张彩票，中奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件的定义，必然事件指在一定条件下一定会发生的事件，需结合各选项事件的发生特性判断. 【详解】解：∵一年共有12个月份 ∴13名学生中，至少有两个人在同一个月过生日，该事件必然发生； 又∵A选项经过有交通信号灯的路口遇到红灯、B选项射击运动员射击一次命中靶心、D选项购买一张彩票中奖，均为可能发生也可能不发生的随机事件， ∴只有选项C是必然事件． 故选：C 4. 关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数解， ∴ 解得： 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值． 【详解】设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r-1， ∵OD⊥AB，AB=4， ∴AC=AB=2， 在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2， ∴r2=22+（r-1）2， r=， 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦是解题的关键． 6. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，旋转角度为，点A的对应点为点D，连接若点A，D，E在同一条直线上时，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，由旋转的性质可知，，又点，，在同一条直线上，则，最后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到，旋转角度为，点A的对应点为点D， ， 又点A，D，E在同一条直线上， ， ， ． 故选：D． 7. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 8. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图像分布在第二、四象限内 B. 当时，随的增大而增大 C. 图像经过点 D. 若点都在函数的图像上，且时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可得出答案. 【详解】∵反比例函数中； ∴A选项，图像分布在第二、四象限内，说法正确，不符合题意； B选项，当时，随的增大而增大，说法正确，不符合题意； C选项，将代入函数得，故图像经过点，说法正确，不符合题意； D选项，取，，则，代入得，，此时，故该说法不正确，符合题意. 9. 如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，根据正六边形的性质得出，即可证明是等边三角形，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，设正六边形的中心是，， ∴，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③一元二次方程没有实数根；④．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数图象判断式子的符号．根据开口方向，与y轴的交点位置，对称轴位置，可判断①正确；根据抛物线的对称性得出与轴的另一个交点的位置，可判断②错误；根据抛物线与直线有两个交点，可判断③错误；根据当时，y取最大值，可判断④正确． 【详解】解：由图可得，抛物线开口向下，与y轴的交点位于y轴的正半轴，对称轴为直线， ，，， ， ，故①正确； 抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 时，，故②错误； 抛物线开口向下，顶点坐标为， 抛物线与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误； 由图可知，当时，y取最大值， ， ，故④正确； 综上可知，正确的结论为① ④，共2个， 故选：B． 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分．） 11. 若双曲线的图像经过第一、三象限，则的取值范围是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质、解一元一次不等式．根据该双曲线的图像经过第一、三象限，可得，解不等式，即可获得答案． 【详解】解：∵双曲线的图像经过第一、三象限， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 如图，四边形四边形，若，，，则______. 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 【详解】解：四边形四边形， ， 又，， ， 故答案为：． 13. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】设主干长出个支干，小分支的数量为（个）， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 14. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 15. 如图，是半圆的直径，，则的度数是_______． 【答案】130 【解析】 【分析】根据AB为直径，得到∠ACB=90°，进而求出∠ABC，再根据圆内接四边形性质即可求出∠D． 【详解】解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠D=180°-∠ABC=130°． 故答案为：130° 【点睛】本题考查了“直径所对的角是圆周角”、“圆内接四边形对角互补”、“直角三角形两锐角互余”等定理，熟知相关定理，并能灵活运用是解题关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分．） 16. 在用配方法解方程时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得， 即 ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以， 请回答： （1）小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）二 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤． （1）等号两边应该加上； （2）先在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配成完全平方式，再直接开平方求解． 【小问1详解】 解：小颖的解答过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，画出，并写出点，，的坐标： ， ， ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求，，， 【解析】 【分析】本题考查了中心对称作图，旋转作图，以及写出点的坐标． （1）分别作出点关于原点成中心对称的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕点顺时针旋转后的点，再顺次连接即可作图，即可写出坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某生理学家发现一个有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求关于的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】（1） （2）28米 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． （1）设反比例函数的表达式为，将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数的表达式为， 由图象可知，反比例函数过点， ， 解得． 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当某人两腿迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分．） 19. 化学实验课上，蔡老师带来了四个常考的制取气体的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：； B．碳酸钙制取二氧化碳：； C．氯酸钾制取氧气：； D．电解水：； （1）若小聪从四个实验中任意选一个实验，则选到实验室制取氧气的实验的概率为______； （2）小聪先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到实验室制取氧气的实验的结果有3种（A、C、D），利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两个实验均能制取氧气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到实验室制取氧气的实验的结果有3种（A、C、D）， 选到实验室制取氧气的实验的概率为 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中两个实验均能制取氧气的结果有：，，，，，，共6种， 两个实验均能制取氧气的概率为． 20. 如图，以的边为直径的与边相交于点，，过点作于点． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵，， ∴为的中位线， ∴， ， ∴， 为的半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由三角形中位线定理可得，结合题意可得，即可得证； （2）证明是等边三角形，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的直径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 21. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． （1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【小问1详解】 将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题10分，第23题12分，共22分．） 22. 综合与实践 【活动主题】：测量学校旗杆的高度． 【活动目的】：利用相似三角形知识解决实际问题． 【测量工具】：标杆，小镜子，皮尺等． 【方案设计】 方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 方案C：利用标杆 示意图 测量 过程 在同一时刻，小组同学测得身高为1.6米的李彤的影长为2.4米，同时测得旗杆的影长为22.5米. 王慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部.小组同学测得王慧的眼睛距离地面的高度为1.5米，王慧到镜子的距离为2.1米，旗杆到镜子的距离为21米 袁超在他前面立一根标杆，当他的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，袁超的眼睛距离地面的高度为1.55米，他与旗杆之间的距离为40.35米. 【问题解决】根据上面的活动报告，解答下列问题： （1）利用方案A测得旗杆的高度为____________米； （2）请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； （3）袁超在利用方案C计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】（1）15 （2） 补全测量示意图如下所示，过点C作， 旗杆的高度为15米 （3）还需要测出线段（或线段）的长度 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，灵活运用相似三角形解决实际问题是解题的关键． （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知的长，则只需要求出的长即可，再可证明得到，则只需要知道的长即可． 【小问1详解】 解：∵同一时刻下，物长与影子的长对应成比例， ∴， ∴，即， 解得：． ∴利用方案A测得旗杆的高度为15米． 【小问2详解】 ， 又， ， ， ，， ， ∴， ，即，解得：米． ∴旗杆的高度为15米． 【小问3详解】 解：如图所示，根据题意可知的长， ∵ ∴， ∴，则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， ∴还需要测出线段（或线段）的长度． 23. 如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是弧的“幸运角”． （1）如图2，是⊙O的直径，弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接． ①是弧的“幸运角”吗？请说明理由； ②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“幸运角”度数； （2）如图3，在（1）的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长． 【答案】（1）①是弧的“幸运角”，理由： ∵是⊙O的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是弧的“幸运角”； ②用含n的式子表示弧的“幸运角”度数为n； （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据是⊙O的直径，弦可得，从而得到， 结合等腰三角形底边上三线合一即可得到答案；②根据圆周角定理可得，，结合可得，结合内外交关系即可得到答案； （2）连接，，由（1）可得，，即可得到，，设，则有，根据“幸运角”为结合勾股定理即可得到答案； 【小问1详解】 解：①略 ②∵弧的度数为n， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的“幸运角”度数为n； 【小问2详解】 解：连接，， ∵弧的“幸运角”为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， 解得：，， ∴或； 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质，解题的关键是作辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $