安徽省淮南第二中学2025-2026学年高二上学期阶段测试数学试卷

淮南二中2025-2026学年高二年级第一学期阶段测试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ） A． B． C． D． 2. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知抛物线C：焦点为F，准线为，点A在抛物线C上，点B在准线上，若是边长为4的等边三角形，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，．点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6．已知数列满足，则数列前2025项和为（ ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 7. 已知抛物线的焦点为F．点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为．点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及x轴均相切，的内切圆为圆．若圆与圆外切，且圆圆的面积之比为9，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 10．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则点到轴的距离为6 C．当，则直线的倾斜角为 D． 11. 已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（ ） A. 动点P的轨迹方程为 B. 直线为成双直线 C. 若直线与点P的轨迹相交于A，B两点，点M为点P的轨迹上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，则 D. 点M为点P的轨迹上的任意一点，，则面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的焦点到其准线的距离为_________. 13．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时的的值． 16. 已知椭圆：的离心率为，焦距为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于A，B两点，且.求弦长 17．已知数列满足，且. （1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18．已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点､､的坐标分别为，，. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点，是坐标原点. （i）记和的面积分别为，，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，求点的轨迹方程. 19. 已知椭圆：的右焦点为，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于），直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值； （3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮南二中2025-2026学年高二年级第一学期阶段测试数学试卷 1、 单选题 1．若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点，又双曲线的渐近线方程为， 所以焦点到双曲线渐近线的距离为. 3. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【详解】因为， 所以，又，所以，所以， 所以. 4. 已知抛物线C：焦点为F，准线为.点A在抛物线C上，点B在准线上，若是边长为4的等边三角形，则的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【详解】因为是边长为4的等边三角形， 由题意可知，，由抛物线定义可得， 设准线与轴的交点为D，如下图所示： 因此与平行，由 ，可得， 所以，即. 5. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由双曲线定义知，又，则，， 在中，，，则， 所以，可得，则， 所以的渐近线方程为. 6．已知数列满足，则数列前2025项和为（   ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】D 【详解】依题意， ， 其中后1012对（）的和均为， 故这1012对的和为， 由得. 7. 已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为．点P在C上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及x轴均相切，的内切圆为圆．若圆与圆外切，且圆圆的面积之比为9，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出，的关系式，从而求得离心率． 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心、在的角平分线上．如图： 设圆、与轴的切点分别为，，由平面几何知识可得，直线为两圆的公切线， 切点也在的角平分线上，所以， 由椭圆的定义知，则， 所以， 所以， 所以，． 又圆与圆的面积之比为9， 所以圆与圆的半径之比为3， 因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率． 2、 多选题 9．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A．数列是递增数列 B． C． D．当取得最大值时， 【答案】BD 【解析】因数列是等差数列， 则，， 则，，则， 则公差（数列是递减数列），，时取得最大值， 故A、C错误；B、D正确； 10．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则点到轴的距离为6 C．当，则直线的倾斜角为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意可得，所以抛物线， 所以抛物线的准线方程为：，故A正确； 对于B，设， 由，所以， 所以点到轴的距离为6，故B正确； 对于C，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 过点作的垂线，垂足为点，由， 设，则，所以， 所以，在中，有，此时直线的倾斜角为， 根据抛物线的对称性有直线的倾斜角为或，故C错误； 对于D，设直线，， 所以， 所以，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 11. 已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（ ） A. 动点P的轨迹方程为 B. 直线为成双直线 C. 若直线与点P的轨迹相交于A，B两点，点M为点P的轨迹上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，则 D. 点M为点P的轨迹上的任意一点，，则面积为 【答案】ABC 【分析】对A，根据题意先求出动点P的轨迹方程判断即可；对B，联立与，得出二次方程，根据判别式判断是否有解即可；对C，设，则，再表达出，结合椭圆的方程求解即可;对D，根据焦点三角形的面积公式求解即可. 【详解】对于A，设，则，即， 化简得，故A正确； 对于B，由消去，整理得：， 因，即该方程有实数根，直线上存在这样的点, 所以直线为成双直线，故B正确； 对于C，如图，设则，则， 于是 ，故C正确； 对于D，如图，易知点分别为椭圆的左右焦点，， 设，因， 又由余弦定理：， 化简得，则，故D错误. 3、 填空题 12. 抛物线的焦点到其准线的距离为_________. 【答案】 【详解】解：抛物线的标准方程为， 所以焦点坐标为，其准线方程为， 所以抛物线的焦点到其准线的距离为， 13．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 【答案】 【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以的前项和为，故答案为：. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，若上存在点满足，则的离心率的最小值为___________. 【答案】 【分析】设，根据平面向量的坐标运算以及数量积的坐标运算，结合在双曲线上，可得，利用列不等式求解即可. 【详解】设，则 所以，又因为， 所以① 又② ②代入①得，， 整理得，因为， 所以， 化简可得， 即的离心率的最小值为， 4、 解答题 15. 设等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时的的值． 【解析】（1）设公差为. 由已知可得，解得， ∴，. （2）因为，，. 所以， 所以，当时，单调递增；当时，单调递减. 又， 所以，或时，最大，最大值为30． 16. 已知椭圆：的离心率为，焦距为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于A，B两点，且.求弦长. 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 ∵椭圆：的离心率为，故， 又焦距为，故，即有，，则， ∴椭圆的方程为； 【小问2详解】 联立，消去整理得， 由，则， 设，，则，， 故， 则， 化简得，即，满足， 故. 17．已知数列满足，且. （1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【详解】（1）证明：因为数列满足， 所以，两边取倒数可得，即， 又，所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，所以. （2） ， 所以. 18．已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点､､的坐标分别为，，. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点，是坐标原点. （i）记和的面积分别为，，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案. 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得， 设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点轨迹方程为. 19. 已知椭圆：的右焦点为，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于），直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值； （3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 分析】（1）根据题意求出，即得椭圆方程； （2）先考虑直线的斜率不存在时，求出点的坐标，进而写出的方程，令，即可求得点的坐标即得定值；再设直线：，与椭圆方程联立，写出韦达定理，同法求出点的坐标，化简计算即得定值； （3）依题先求出抛物线的方程，记点，直线的方程为，与抛物线方程联立，求出，再由的重心在轴上，求得和，由直线的方程求得，列出的表达式，利用基本不等式即可求得其范围. 【小问1详解】 依题意，得，则， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆的方程可知. 若直线的斜率不存在，则直线，易得，， 直线的方程为， 的方程为 令，易得，，此时、两点的纵坐标之积为. 若直线的斜率存在，则可设直线：， 由消去可得. 设，，则，， ∵直线的方程为令，易得点的纵坐标. 同理，点的纵坐标. 所以 . 综上，、两点的纵坐标之积为定值. 小问3详解】 由题意，抛物线的方程形如，为其焦点，故， 则抛物线的方程为，设 设，记点， 则直线的斜率为，可设其方程可为， 由消去可得 由韦达定理，，∴，则. ∵的重心在轴上，∴，即， 解得，从而，则得， 由则得. 进一步可得直线的斜率为， 则其方程：，令，可得， 又在焦点的右侧，∴，即. 因此 当（注意到），即时，取等号， 即有，当时， 故的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $