精品解析：福建省福州屏东中学2026-2027学年第一学期八年级10月学情自测数学试卷

福州屏东中学2026-2027学年第一学期 八年级数学校本练习121 一．填空题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 体育锻炼是提高人民健康水平的重要途径，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，图形找不到对称轴，不是轴对称图形； 选项B，图形沿竖直中线折叠，直线两旁部分能够完全重合，是轴对称图形； 选项C，图形找不到对称轴，不是轴对称图形； 选项D，图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质找出对应角即可作答． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ∴， 故选：D． 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：选项，，最短两边之和小于第三边，不满足条件，不能组成三角形 ． 选项，，最短两边之和等于第三边，不满足条件，不能组成三角形． 选项，，最短两边之和小于第三边,不满足条件，不能组成三角形． 选项，，，最短两边之和大于第三边，最长边和最短边两边之差小于第三边，满足条件，能组成三角形． 4. 如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据三角形看清楚部分的特点，结合三角形全等的判定定理解答即可． 【详解】解：根据三角形看清楚部分的特点是角，边，角， 结合所学三角形全等的判定定理有， 故选：D． 5. 如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点D到的距离为， 故选：B． 6. 如图，在中，、的平分线相交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的概念，先求出度数是解题的关键．先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后再利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：在中，， ， 分别平分， ， ，   故选： ． 7. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再利用三角形外角性质求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，，的平分线交于点，点为的中点．连接．点为上一点，且．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出、的面积，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于，于， ∵的平分线交于点， ∴， ∵，， ∴． 10. 如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，交于点F．若，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，等角对等边，先证是等边三角形，得，，由得 ，证是等边三角形即可解答． 【详解】解：如图所示，连接交于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果点和点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点B关于x轴对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的一个内角等于，则它的底角是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，的角不能是底角，否则内角和超过，因此只能为顶角，进而根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角等于， ∴顶角等于， ∴底角是． 故答案为：． 13. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格的特点证明三角形全等是解题的关键．取格点E、F，连接，根据网格的特点，利用易证，得到，结合，即可解答． 【详解】解：如图，取格点E、F，连接， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 14. 如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，平行线的性质，掌握以上知识，角的和差计算是关键，根据等边对等角得到，由平行线的性质得到，由此代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示，过点作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，，，，则的面积为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】首先作，作交的延长线于F，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高即为，即可求出面积． 【详解】解：作于E，作交的延长线于F. ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（AAS）， ∴，的高即为DF， ∴. 故答案为：9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构造全等三角形． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 如图，平分，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义知识，能根据三角形的外角性质得出是解此题的关键．根据角平分线定义求出，根据三角形的外角性质得出，即可求出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴． 18. 已知：如图，，．求证：． 【答案】证明：因为，， 所以，即， 又因为， 所以， 所以． 【解析】 【分析】首先得到，然后证明，即可得到． 【详解】略 19. 如图，在中，，、分别在、边上，且，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，，再设，根据三角形的外角性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形的内角和定理可得，求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 20. 如图，早上8：00，一艘轮船以h的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西方向上．到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西方向上．若在小岛P周围内有暗礁，则轮船继续向前航行，有无触礁的危险？ 【答案】轮船继续向前航行，有触礁的危险． 【解析】 【分析】分析已知和所求，过P作交AB延长线于点D，由，，根据三角形外角定理可得，由，根据等角对等边可得； 由轮船的速度是，经过两小时从点A到B处，可求AB的长，即得PB长，在中，，，根据直角三角形的性质可得，代入求其值与18比较大小即得答案． 【详解】解：如图，过点P作于点D． ， ， ． ， ． 在中，， ， ， 轮船继续向前航行，有触礁的危险． 【点睛】本题是一道关于解直角三角形应用的题目，应熟练掌握直角三角形的性质及三角形外角定理． 21. 如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） （1）求格点（顶点均在格点上）的面积； （2）画格点关于直线对称的； （3）在上画出点，使的周长最小． 【答案】（1） （2）如图，即为所求； （3）点Q即为所求． 【解析】 【分析】（1）用割补法求解即可； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据轴对称图形的性质，两点之间线段最短的方法即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵的周长为，的值是定值， ∴当的值最小时，的周长最小． 连接，交直线于点Q， ∵点B与点关于直线对称， ∴， ∴，此时的值最小， ∴点Q即为所求． 22. 如图，在中，是的垂直平分线．点在上，连接、、，且， （1）求证：点在边的垂直平分线上； （2）设，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：由是的垂直平分线可知，， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段中垂线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明； （2）由推出，，证明是等腰直角三角形，结合三角形内角和进行解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 化简得：． 23. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24. 综合与实践 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 南南和北北两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级上册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1，是直角三角形，． 操作：南南和北北画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点． 发现：当长度不变，长度变化时，点的位置也会随之变化．当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，南南发现：点正好落在边上． （1）请利用尺规作图帮助南南找出点的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法） 任务2 （2）点在图2的位置时，南南和北北发现： ① ； ②，请证明这一发现． 任务3 （3）继续探索发现，如图3所示，、、三点共线，此时，南南和北北又有了新的发现： ① ； ②若已知，，则能用含字母、的式子表示线段的长度．请写出的长度，并说明理由． 【答案】 （1）如图2所示： （2）①； ②证明：在中，， ， ， ； （3）①； ②解：线段的长度为，理由如下： 过点作于点，如图3所示： 平分，，， , 设， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ∴， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意作的角平分线，作的垂直平分线，与相交于，点正好落在边上， （2）①根据角平分线的定义设，根据垂直平分线的性质可得，则，根据直角三角形中两个锐角互余得出，解方程，即可求解； ②根据含度角的直角三角形的性质得出，进而结合，等量代换，即可得证； （3）过点作于点，根据角平分线的性质设，进而根据等面积法列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：作的角平分线，作的垂直平分线，与相交于，点正好落在边上， （2）①解：平分， 设， , 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 故答案为：； ②略 （3）①解：的垂直平分线为，、、三点共线， ， 是等腰直角三角形 ， 故答案为：； ②略 【点睛】本题考查了作角平分线与垂直平分线，角平分线的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 在等边中，点是边上的点（不与点，重合），连接． 【初步感知】 （1）如图①，点是边上的点，连接交于点，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图②，是的外角的角平分线，若，求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在【初步感知】的条件下，延长至点，连接，当时，设，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的外角的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先得出，再证出即可； （2）过点作，交于点，先得出是等边三角形，，进而可得，，再证出即可； （3）在上截取，连接，先证出，则，，再得出，然后设，则，分别求出，，代入化简即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学2026-2027学年第一学期 八年级数学校本练习121 一．填空题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 体育锻炼是提高人民健康水平的重要途径，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，、的平分线相交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 8. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，的平分线交于点，点为的中点．连接．点为上一点，且．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，交于点F．若，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果点和点B关于x轴对称，则点B的坐标是______． 12. 已知等腰三角形的一个内角等于，则它的底角是_____． 13. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 14. 如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 15. 如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是______． 16. 如图，，，，则的面积为__________. 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 如图，平分，，，求的度数． 18. 已知：如图，，．求证：． 19. 如图，在中，，、分别在、边上，且，，求的度数． 20. 如图，早上8：00，一艘轮船以h的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西方向上．到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西方向上．若在小岛P周围内有暗礁，则轮船继续向前航行，有无触礁的危险？ 21. 如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） （1）求格点（顶点均在格点上）的面积； （2）画格点关于直线对称的； （3）在上画出点，使的周长最小． 22. 如图，在中，是的垂直平分线．点在上，连接、、，且， （1）求证：点在边的垂直平分线上； （2）设，若，求的度数． 23. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 24. 综合与实践 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 南南和北北两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级上册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1，是直角三角形，． 操作：南南和北北画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点． 发现：当长度不变，长度变化时，点的位置也会随之变化．当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，南南发现：点正好落在边上． （1）请利用尺规作图帮助南南找出点的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法） 任务2 （2）点在图2的位置时，南南和北北发现： ① ； ②，请证明这一发现． 任务3 （3）继续探索发现，如图3所示，、、三点共线，此时，南南和北北又有了新的发现： ① ； ②若已知，，则能用含字母、的式子表示线段的长度．请写出的长度，并说明理由． 25. 在等边中，点是边上的点（不与点，重合），连接． 【初步感知】 （1）如图①，点是边上的点，连接交于点，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图②，是的外角的角平分线，若，求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在【初步感知】的条件下，延长至点，连接，当时，设，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $