精品解析：福建省泉州市第六中学2026-2027学年八年级上学期数学第一次学情自测

泉州六中2026-2027学年上学期初二月度限时训练1 一、选择题（共10小题） 1. 9的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 2. 下列实数中，是无理数的是（    ） A. B. C. 0.1010010001 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，算术平方根，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 是有限小数，是有理数； B. ，5不是完全平方数，是无理数； C. 0.1010010001是有限小数，是有理数； D. ，是整数，是有理数． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据完全平方公式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键．运用运算法则即可求解． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故D不符合题意； 故选：C． 4. 如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故选：A． 5. 如果，那么的值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用算术平方根与平方数的非负性，求出x，y的值后代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 解得，， ∴． 6. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形广场，现因施工改造，将广场的长和宽各增加米，则广场面积增加了（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式与图形面积，解题关键是熟练掌握整式的乘法的应用． 由题意得出改造后广场的长、宽后即可算出增加的面积． 【详解】解：依题意得，改造后广场的长是米，宽是米， 广场面积增加了平方米． 故选：． 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的运算法则，把各数化为同底数幂进行比较． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方和有理数的大小比较，能灵活运用幂的乘方进行变形是解此题的关键． 8. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 9. 若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算法则及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键；由题意易得，，得到，进而问题可求解． 【详解】解：，，且满足， ，即， 故选：B． 10. 若用表示任意正实数的整数部分，例如：，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的定义，将整数部分相同的项分组，结合符号交替的特点计算每组和，再累加得到结果． 【详解】解：根据题意得：当（为正整数）时，， ∴，对应2项，和为； ，共5项，符号为，和为； ，共7项，符号首项为负，和为； …… ∵，， ∴，共项， 44为偶数，首项符号为正，89为奇数，故这组和为． 从到的和为， 分组得． 又∵，符号为负，，符号为正， ∴这两项和为， ∴原式． 二、填空题（共6小题） 11. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用幂的乘方法则计算乘方，再利用同底数幂的除法法则计算最终结果． 【详解】解： 13. 比较大小：_________．（填“”或者“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，根据两个负数比较大小的法则，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】解：，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 14. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，有理数的乘方运算，掌握其运算法则是关键．先将转化为，再根据积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 若展开后不含的二次项，则常数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用多项式乘多项式的法则，将整式展开后再合并同类项，因为不含二次项，令二次项系数为零，求解的值． 【详解】解： ， 展开后不含的二次项， ， 解得：． 故答案为：． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据杨辉三角规律，展开式中第二项的系数为，将，，代入计算即可． 【详解】解：观察杨辉三角中的展开式系数规律： ∵展开式第二项系数为 1 展开式第二项系数为2 展开式第二项系数为3 展开式第二项系数为4 ∴展开式中含项的系数为 ∵在中，，，，含的项即为展开式的第二项 ∴该项系数为． 三、解答题（共10小题） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，根据乘法公式去小括号，合并同类项，再根据整式的除法运算化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值． （2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 20. 根据条件求值： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用幂的运算法则变形所求式子，代入已知条件计算； （2）统一式子底数，提取公因式后化简求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴． 21. 在有理数范围内定义一种新运算，规定 （1）求 （2）当时，求的值 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，完全平方公式的运算，多项式乘多项式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据，得，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，． 22. 小明在做一道计算题目(21)(221)(241)(281)(2161)的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了(2 1)，并做了如下的计算： (21)(221)(241)(281)(2161) (21)(21)(221)(241)(281)(2161) (221)(221)(241)(281)(2161) 2321 请按照小明的方法，计算(31)(321)(341)(381)(3161) 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意以及平方差公式即可求出答案． 【详解】原式= = = = = = 【点睛】本题考查平方差公式的应用，注意平方差公式的结构． 23. 阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． （1）求的最小值为_____，的最小值为_____； （2）若多项式，试求M的最小值； （3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 【答案】（1）6； （2） （3）围成的菜地的最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）根据，求解作答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，有最小值6； ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：6，； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； 【小问3详解】 解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， 依题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值是， ∴围成的菜地的最大面积是． 24. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （1）的商是_______． （2）已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． （3）在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式，多项式乘以多项式，熟知多项式与多项式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）根据题中竖式求解； （2）根据长方形周长计算公式结合已知条件列出关于a、x的等式即可得到答案； （3）先求出长方形B的面积，进而求出长方形C的面积，再利用短除法求出长方形C的另一边长即可． 【小问1详解】 解：， ∴的商是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：； 【小问3详解】 解：长方形B的面积为， ∴长方形C的面积为 ， ， ∴长方形C的另一边长为． 25. 在学习“第11章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边和斜边有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在直角中，为直角边，为斜边，已知，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，在直角中，，其周长为，当为何值时，三角形的面积为定值，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）24 （4）时，三角形的面积为定值，理由如下： ，，，周长为n， ，， ， 在直角中，， ，即， 整理得： 代入 若要面积为定值，则需，即 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式即可得到结论； （2）根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据已知条件结合勾股定理列出方程求解即可； （4）由（2）的结论推出，即，再根据长方形的面积为定值列出关于x、y的式子求解即可． 【小问1详解】 解：这个等式是； 【小问2详解】 大正方形可以看成边长为c的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有， ． 整理得：； 【小问3详解】 ， ，即， 又， ， 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州六中2026-2027学年上学期初二月度限时训练1 一、选择题（共10小题） 1. 9的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，是无理数的是（    ） A. B. C. 0.1010010001 D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2 4. 如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么的值为（ ） A. 8 B. C. D. 6. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形广场，现因施工改造，将广场的长和宽各增加米，则广场面积增加了（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 9. 若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若用表示任意正实数的整数部分，例如：，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 11. 27的立方根为_____． 12. 计算：__________． 13. 比较大小：_________．（填“”或者“”） 14. 计算：________． 15. 若展开后不含的二次项，则常数的值为_______． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 三、解答题（共10小题） 17. 计算： （1）； （2） 18. 先化简再求值：，其中． 19. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 20. 根据条件求值： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 21. 在有理数范围内定义一种新运算，规定 （1）求 （2）当时，求的值 22. 小明在做一道计算题目(21)(221)(241)(281)(2161)的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了(2 1)，并做了如下的计算： (21)(221)(241)(281)(2161) (21)(21)(221)(241)(281)(2161) (221)(221)(241)(281)(2161) 2321 请按照小明的方法，计算(31)(321)(341)(381)(3161) 23. 阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． （1）求的最小值为_____，的最小值为_____； （2）若多项式，试求M的最小值； （3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 24. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （1）的商是_______． （2）已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． （3）在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 25. 在学习“第11章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边和斜边有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在直角中，为直角边，为斜边，已知，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，在直角中，，其周长为，当为何值时，三角形的面积为定值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $