第三章 相似三角形的判定与性质 专项训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

相似三角形的判定与性质专项训练 1.(26-27九年级上·福建宁德阶段检测)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点， ∠EDB+∠C=180° △ABCP△AED 求证： D B 2.(26-27九年级上·北京阶段检测)如图，口ABCD中，E为CD上一点，连接BE,F是BE上的一点， ∠AFE=∠D.求证：△ABF∽aBEC, B D 3.(26-27九年级上安徽六安阶段检测)如图，点BDE在一条直线上，BE交AC于点F, AB AC ADAE,且∠BAD=∠CAE·求证：AABC∽AADE· 答案第1页（共2页） 4.(2026九年级上·全国·专题练习)如图，在△ADE和△ABC中，AB·AE=AD·AC,且∠EAC=∠DAB 求证：△ABC∽AADE」 5.(26-27九年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD1BC于点D, BE⊥AC于点E,交AD于点F. (I)求证：CD=DF: (2)若BE平分∠ABC,在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与△AEF相似的三角形. D 6.(26-27九年级上全国单元复习)如图，在△ABC中，BA=BC=20cm,4C=30cm,点P从点A出发， 沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3Cm/s的速度向点A运动，当其中一 点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为x(S. 10 ()当x=3时，求证：△APOPAABC: (2)在运动过程中，点4、PQ组成的三角形与△CQB能否相似？若能，求出C的长；若不能，请说明 理由. 答案第2页（共2页) 7.(26-27九年级上·全国单元复习)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，且满足 ADE=∠C (I)求证：△ADE∽△ACB, (2若1B=3,AE=1,Se=6求S边形m ,求 D E 8.(26-27九年级上·陕西西安阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点E,点F在 AB AC BD上，且满足∠BAC=∠FAD,AF=AD· (I)求证：△ABF∽aACD: (2)若AC=2,AB=5,△ACD的面积为8，求△ABF的面积. B 答案第3页（共2页） 9.(25-26九年级上四川眉山阶段检测)如图所示，在矩形ABCD中，E是CD上一点，BF⊥AE于点 F. (I)求证：△ABF∽△EAD」 (2)若AB=2,BC=3,点E是边CD的中点，求BF的长. D E 10.(26-27九年级上陕西西安开学考试)如图，等边△ABC的边长为2，点D,B,C,E在同一直线上， CE=4,∠BAD=∠E (I)求证：△ABD△ECA: (2)求AD的长. B 11.(26-27九年级上·全国单元复习)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上， CF BD 2 EF Il AB:BF AD 3 BC=15 (I)求DE的长； 2如果Cs=24 ,则求BD+CE的长. 答案第4页（共2页） B 12.(26-27九年级上·吉林长春·开学考试)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连 结AC、BE,它们相交于点F,且∠ACB=∠ABE (I)求证：△FEA∽△AEB: (2)若AE=2,EF=1,则BF的长为 A E D F 13.(25-26九年级上·四川巴中期中)如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点， 且∠ADB+∠EDC=120°」 (I)求证：△ABDADCE: (2)若BD=4,CE=3,求AB的长度. 14.(26-27九年级上·上海金山阶段检测)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一 答案第5页（共2页） 点，DE分别交对角线AC于点G,交边BC于点F. (1)求证：DG2=GF.GE: BF BE (2)求证：CFCD G 15.(26-27九年级上广东深圳阶段检测)如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，已知 ∠DAC=∠B,CD=CE, (I)求证：△ACE∽△BAD: (2)若CE=7,AE=3,BD=4,求DE的长 D CA CD 16.(26-27九年级上·湖南岳阳阶段检测)如图，在AABC和ADEC中，CBCE,∠BCE=∠ACD· (I)求证：△ABC∽△DEC ②若5 me=16:25,BC=8,求BC的长 E 17.(26-27九年级上河南南阳阶段检测)在△ABC中，BC=18,AC=9,菱形DECF的三个顶点D、 答案第6页（共2页） E、F分别在边AB、AC、BC上. (I)求菱形DECF的周长. (2)若∠C=60°，直接写出菱形DECF的面积. 18.(26-27九年级上上海青浦阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,B,C,E在同一条 直线上，且∠D=∠CAE (I)求证：△ABD∽△ECA: (2)若AC=6,CE=4,求BD的长度. B 19.(26-27九年级上：广东佛山阶段检测)如图，在边长为6的等边△ABC中，BD=2,∠ADE=60° (1)求证：△ABD∽aDCE: (2)求AE的长. D 答案第7页（共2页） 20.(26-27九年级上山东济南阶段检测)如图，点D,E是△ABC中AB边上的点，DE∥BC. (1)求证：△ADE∽△ABC: (2)若AE=5,AC=6,BC=7,求DE的长. D 21.(26-27九年级上·甘肃张掖阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，BE 与CD交于点F. (I)求证：△DEF△CBF: EF 2 (②若ADEF的面积为4，FB3,求四边形ADFB的面积. E 22.(26-27九年级上安徽六安阶段检测)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB,AC2=AB·AD, ∠ADC=90°，E为AB的中点.。 (I)求证：△ADC△ACB, (2)CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由： AC (3)若AD=4?AB=7,求AF的值. 答案第8页（共2页） E 23.(26-27九年级上·河北石家庄阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上， BE与CD交于点F (I)求证：△DEF∽ACFB】 EF 2 (②)若ADEF的面积为4，FB3,求四边形ADFB的面积. 24.(26-27九年级上上海闵行阶段检测)如图，四边形ABCD中，AD‖BC，E是CD的中点， AE DE AD⊥DC,BEBC·求证： (I)△ADE∽△ECB: (2)AE平分∠BAD. 25.(26-27九年级上河北张家口·阶段检测)如图，AD是△ABC的高，点F,G在BC上，点E,H分 别在AB,AC上，四边形EFGH是矩形， 答案第9页（共2页） (I)证明：AE·AC=AH·AB (2)若EH=2EF,AD是△ABC的高，BC=8,AD=6,求EH的长. H 26.(26-27九年级上·陕西西安阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC中点，CE⊥AB 于点E. (1)求证：△ABD∽aCBE, (2)若BC=4,AD=8,求BE的长. E B D 27.(26-27九年级上山东济南阶段检测)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过点D分别作 答案第10页（共2页） DE AC,DF I AB AB,AC ,分别交 于点E、F (1)求证：四边形AEDF是菱形； (2)若AB=12,AC=8,求菱形的边长. D 28.(26-27九年级上江西九江阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且 AC2=AB·AD (I)求证：△ABC∽aACD (2)若∠BAC=30°，求∠BCD的度数. D B 答案第11页（共2页）相似三角形的判定与性质专项训练 1.(26-27九年级上·福建宁德阶段检测)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点， ∠EDB+∠C=180° △ABC∽△AED .求证： E D B 2.(26-27九年级上·北京阶段检测)如图，ABCD中，E为CD上一点，连接BE,F是BE上的一点， ∠AFE=∠D.求证：△ABF∽aBEC. 3.(26-27九年级上·安徽六安·阶段检测)如图，点BDE在一条直线上，BE交AC于点F, AB AC ADAE,且∠BAD=∠CAE·求证：△ABC∽AADE· D 试卷第1页（共3页） 4.(2026九年级上全国·专题练习)如图，在△ADE和△ABC中，AB·AE=AD·AC,且∠EAC=∠DAB 求证：AABC△ADE 5.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD1BC于点D, BE⊥AC于点E,交AD于点F. (I)求证：CD=DF: (2)若BE平分∠ABC,在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与△AEF相似的三角形. AE B D 6.(26-27九年级上全国单元复习)如图，在△ABC中，BA=BC=20cm4C=30cm,点P从点A出发， 沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3Cm/s的速度向点A运动，当其中一 点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为x($). 10 ()当x=3时，求证：△APOAABC: (2)在运动过程中，点APQ组成的三角形与△CQB能否相似？若能，求出C⑨的长；若不能，请说明 理由. 试卷第2页（共3页） 7.(26-27九年级上全国单元复习)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，且满足 ∠ADE=∠C (I)求证：△ADE∽△ACB, (2②)若AB=3，AE=1,Ss=6.求边形D ,求 B 8.(26-27九年级上·陕西西安·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点E,点F在 AB AC BD上，且满足∠BAC=∠FAD,AF=AD· (I)求证：△ABF∽aACD: (2)若AC=2,AB=5,△ACD的面积为8，求△ABF的面积. 9.(25-26九年级上四川眉山阶段检测)如图所示，在矩形ABCD中，E是CD上一点，BF⊥AE于点 F (1)求证：△ABF∽△EAD. (2)若AB=2,BC=3,点E是边CD的中点，求BF的长. 试卷第3页（共3页） D 10.(26-27九年级上陕西西安开学考试)如图，等边△ABC的边长为2，点D,B,C,E在同一直线上， CE=4,∠BAD=∠E (I)求证：△ABD∽△ECA: (2)求AD的长. B 11.(26-27九年级上全国单元复习)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上， CF BD 2 EF AB,BF AD 3'BC=15 (I)求DE的长： 2如果Caw=24 ,则求BD+CE的长. 12.(26-27九年级上·吉林长春开学考试)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连 结AC、BE,它们相交于点F,且∠ACB=∠ABE (I)求证：△FEA∽△AEB: (2)若AE=2,EF=1,则BF的长为 试卷第4页（共3页） E D 13.(25-26九年级上·四川巴中期中)如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点， 且∠ADB+∠EDC=120° (I)求证：△ABD∽aDCE: (2)若BD=4,CE=3,求AB的长度. 14.(26-27九年级上·上海金山阶段检测)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一 点，DE分别交对角线AC于点G,交边BC于点F (I)求证：DG=GF.GE: BF BE (2)求证：CFCD G 15.(26-27九年级上广东深圳阶段检测)如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，已知 试卷第5页（共3页） ∠DAC=∠B,CD=CE (I)求证：△ACEn△BAD； (2)若CE=7,AE=3,BD=4,求DE的长. CA CD 16.(26-27九年级上湖南岳阳阶段检测)如图，在a4BC和ADEC中，CBCE,∠BCE=∠ACD (I)求证：△ABC∽△DEC ②若c:m=16:25,BC=8,求BC 的长 17.(26-27九年级上河南南阳阶段检测)在△ABC中，BC=18,AC=9.菱形DECF的三个顶点D、 E、F分别在边AB、AC、BC上. (I)求菱形DECF的周长. (2)若∠C=60°，直接写出菱形DECF的面积. 18.(26-27九年级上·上海青浦阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,B,C，,E在同一条 直线上，且∠D=∠CAE」 试卷第6页（共3页） (I)求证：△ABD∽△ECA: (2)若AC=6,CE=4,求BD的长度. B C 19.(26-27九年级上：广东佛山阶段检测)如图，在边长为6的等边△ABC中，BD=2,∠ADE=60°， (I)求证：△ABD∽aDCE； (2)求AE的长. 20.(26-27九年级上山东济南阶段检测)如图，点D,E是△ABC中AB边上的点，DE∥BC. (I)求证：△ADE∽△ABC: (2)若AE=5,AC=6,BC=7,求DE的长. D E B 21,(26-27九年级上·甘肃张掖阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，BE 试卷第7页（共3页） 与CD交于点F. (I)求证：△DEF∽△CBF: EF 2 (②若ADEF的面积为4，FB3,求四边形ADFB的面积. 22.(26-27九年级上安徽六安阶段检测)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB,AC2=AB·AD, ∠ADC=90°，E为AB的中点， (I)求证：△ADC∽△ACB: (2)CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由； AC (3)若AD=4:AB=7,求AF的值. D E 23.(26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上， BE与CD交于点F (I)求证：△DEF∽△CFB EF 2 (2)若ADEF的面积为4，FB3,求四边形DFB的面积. 试卷第8页（共3页） 24.(26-27九年级上·上海闵行阶段检测)如图，四边形ABCD中，AD‖BC,E是CD的中点， AE DE AD⊥DC,BE=BC,求证： (I)△ADE∽△ECB： (2)AE平分∠BAD. 25.(26-27九年级上河北张家口阶段检测)如图，AD是△ABC的高，点F,G在BC上，点E,H分 别在AB,AC上，四边形EFGH是矩形， (I)证明：AE·AC=AH·AB, (2)若EH=2EF,AD是△ABC的高，BC=8,AD=6,求EH的长. E H B F 26.(26-27九年级上：陕西西安阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC中点，CE⊥AB 于点E. 试卷第9页（共3页） (I)求证：△ABD∽aCBE: (2)若BC=4,AD=8,求BE的长. 27.(26-27九年级上·山东济南阶段检测)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过点D分别作 DE AC,DF AB AB,AC 分别交 于点E、F (I)求证：四边形AEDF是菱形： (2)若AB=12,AC=8,求菱形的边长. D 28.(26-27九年级上·江西九江阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且 AC2=AB·AD 试卷第10页（共3页） (I)求证：△ABC∽△ACD (2)若∠BAC=30°，求∠BCD的度数. 试卷第11页（共3页） 参考答案 1.证明：：∠EDB+∠ADE=180°（平角），∠EDB+∠C=180° .∠ADE=∠C 又，∠A=∠A(公共角)， △ABCn△AED(两角分别相等的两个三角形相似)， 【分析】两角分别相等的两个三角形相似. 【详解】略 2.证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AD∥BC. ∴.∠ABF=∠BEC,∠D+∠C=180°， .∠AFE=∠D ∴.∠AFE+∠C=180° .∠AFE+∠AFB=180°， ∴.∠AFB=∠C,且∠ABF=∠BEC, ∴.△ABF∽ABEC 【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD,AD∥BC,可得∠ABF=∠BEC,∠AFB=∠C,即可证 △ABFABEC 【详解】略 3.证明：∠BAD=∠CAE .∠BAD+∠DAF=∠CAE+∠DAF,即∠BAC=∠DAE, AB AC 又.ADAE' ∴.△ABC∽AADE AB AC 【分析】根据∠BAD=∠CAE可得∠BAC=∠DAE,结合ADAE可证AABC△ADE· 【详解】略 4.证明：ABAE=AD·AC, AB_AC AD AE, .·∠EAC=∠DAB 答案第1页（共2页） ∴.∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE, .∠BAC=∠DAE .:.△ABC∽△ADE 【详解】略 5.(1)证明：∠ABC=45°，AD⊥BC, ∴.△ABD是等腰直角三角形， .AD=BD. BE⊥AC,AD⊥BC ∴.∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠BEC=90°， ∴.∠CAD+∠C=∠DBF+∠C=90°、 .∠CAD=∠DBF 、△ACD≌ABFD(ASA) ..CD=DF (2)ABDF、△BEC、△ADC、△BEA 【分析】(I)证明△ACD≌△BFD即可： (2)根据两组角对应相等，两三角形相似求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：.BE⊥AC,AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠BEC=90°. ∴.∠CAD+∠C=∠DBF+∠C=90°， .∠CAD=∠DBF .△AEFP△BDF,△AEF△BEC, .·∠EAF=∠DAC .△AEF∽△ADC. ,BE平分∠ABC ∴.∠ABE=∠DBF ∴.∠CAD=∠ABE '∠AEF=∠BEA ∴.△AEF∽△BEA 综上所述，与△AEF相似的三角形有△BDF、△BEC、△ADC、△BEA. 答案第2页（共2页） 6.(1)证明：由题意，AP=4x,CQ=3x, .A0=AC-CQ=30-3x, =10 3 AP=4x=40 cm),AQ=30-3x=20(cm). 3 APAQ2 ABAC3· :∠PAQ=∠BAC ∴.△APQ∽△ABC 10 (2)能，3cm或15cm 【分析】(1)利用两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似即可得证： (2)分△AP2∽aCQB和△AP2∽aCBO两种情况进行讨论求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：能. 由题意，AP=4x,CQ=3x, .AQ=AC-C9=30-3x, .BA=BC, ∴∠A=∠C, AP AO n4x_30-3x ①当a4P0%CQB时，C0CB,即3x=20, 解得：0〈合去)政=9。 ..co=3x=cm AP AO n4x_30-3x ②当A4 POACB0时，有CBCO,即20=3x 解得x=5或x=-0(舍去)， ∴.C9=3x=15cm 答案第3页（共2页） 10 综上所述，当cQ的长为3cm或15cm时，点小、RQ组成的三角形与△CQB相似. 7.(1)证明：∠ADE=∠C,A=∠A, ∴，△ADE∽△ACB (2)48 【分析】(1)根据有两个角相等的三角形相似即可证明： (2)根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解. 【详解】(1)略： (2)解：△ADE△ACB,AB=3,AE=1, :E1 AB 3 S.ADE=1 SMc9, S△ADE=6 SAANC=54 .S四边形8CED=SABC-SAADE=54-6=48 8.(I)证明：'∠BAC=∠FAD, .∠BAC-∠FAE=∠FAD-∠FAE,即∠BAF=∠CAD, AB AC AFAD AB AF .AC AD' .△ABF∽△ACD: (2)50 【分析】(1)根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可： (2)根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：：△ABFAACD, S&ABE -- 答案第4页（共2页） ,△ACD的面积为8， _25x8=50 .S.F4S4c04 9.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠D=90°、 .∠EAD+∠BAF=90°， .BF⊥AE, .∠AFB=90°=∠D,∠ABF+∠BAF=90°， .∠ABF=∠EAD, ∴.△ABF∽△EAD. (②Fs3v0 5 【分析】(1)根据矩形的性质、直角三角形的性质求出∠AFB=90°=∠D,∠ABF=∠EAD,根据“两 角对应相等的两个三角形相似”即可得解； 2)由矩形的性质得B=CD=2C=D=3,DE=)CDI,根据勾股定理求出4E=0,再根据 2 相似三角形的性质求解即可， 【详解】(1)略 (2)解：：四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=3,点E是边CD的中点， AB-CD=2.BC=AD=3.DE-7CD=1, 4E-VAD+DE=0 .△ABF∽△EAD, BF AB :.AD AE BE 2 .310 .BF=30 5 10.(1) 答案第5页（共2页） 证明：，△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC=AB=2 ∴.∠D+∠BAD=∠ABC=60°，∠E+∠EAC=∠ACB=60°， '∠BAD=∠E, .∠D=∠EAC, .△ABDn△ECA: 3v今 【分析】(1)由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得∠D=∠EAC,再结合∠BAD=∠E,即可证 明结论； (2)由△ABD∽△ECA可求得BD,再证明△ADB∽△EDA,即可求得AD. 【详解】(1)证明：略； (2)解：△ABD∽△ECA, BD AB 2 ·ACCE4 ∴.BD=1, .'DE=BD+BC+CE=7. ∠BAD=∠E,∠D=∠D, ∴.△ADB∽AEDA, AD BD DE AD' 即AD=DE.BD=7, :0=6 11.(1)9 (2)10 【分析】(I)先由EF‖AB推出线段比例关系，进而得到相似比求出DE; (2)利用相似三角形周长比等于相似比算出大三角形周长，再通过线段和差求出BD+CE 【详解】(1)解：EF AB, 答案第6页（共2页） CFCE2 BFAE3· CF BD BFAD· CEBD2 AE AD 3 AE AD3 ACAB5· :∠A=∠A, .△ADE∽△ABC, DE3 BC5· BC=15, DE=9: (2)解：△ADE∽△ABC, CAABC =5（相似三角形周长之比等于相似比). C△ADE=24 3 .C△4Bc=24÷2=40 5 :BC=15, .AB+AC=25. ∴.BD+CE=25-(24-9)=10 12.(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， AD∥BC. ∴∠EAF=∠ACB ∠ACB=∠ABE, .∠EAF=∠ABE, ∠AEF=∠AEB, △FEA∽△AEB」 (2)3 【分析】(I)利用平行四边形的性质得到ADI‖BC,进而可证∠EAF=∠ABE,再根据∠AEF=∠AEB即 答案第7页（共2页） 可得证； AE EF (2)设BF=x:则BE=x+1,根据相似三角形的性质可得BE=AE,据此列方程即可得解. 【详解】(1)略 (2)解：设BF=x,则BE=x+1, △FEA∽△AEB. AE EF BE=AE 21 x+12: .x=3, ..BF=3 13.(I)证明：，△ABC为等边三角形， .∠B=∠C=60° ∴.∠BAD+∠ADB=180-∠B=120°， .∠ADB+∠EDC=120°， ∴.∠BAD=∠EDC. ∴.△ABDADCE: (2)16 【分析】(I)由等边三角形的性质可得∠B=∠C=6O°，再证明出∠BAD=∠EDC,即可得证； (2)由等边三角形的性质可得AB=BC,由(I)可得△ABD∽aDCE,再由相似三角形的性质计算即可 得出结果。 【详解】(1)略： (2)解：△ABC为等边三角形， ∴.AB=BC 由(I)可得△ABDADCE, BD AB :CE CD' .AB=BC=BD+CD=4+CD 44+CD .3CD’ .CD=12 .AB=BC=4+CD=16 答案第8页（共2页） 14.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC. ∴.△AEGACDG,△ADG∽ACFG, DG CG GF CG GE AG'DG AG' DG GF ·GEDG’ ∴DG=GF.GE； (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .ABI‖CD .△CDF∽△BEF, BF BE CF CD DG CG GF CG 【分析】(1)证明A4EG∽aCDG,△ADGACFG得到GE=AG'DGAG,据此可证明 DG2=GF.GE BF BE (2)证明△CDF∽△BEF,即可证明CF=CD· 【详解】(1)略 (2)略 15.(1)证明：CD=CE, .∠CDE=∠CED 又∠CEA+∠CED=180°，∠ADB+∠CDE=180°， .∠ADB=∠CEA, 又∠DAC=∠B, .△ACE△BAD: 19 (23 【分析】(1)先证明∠AEC=∠BDA,再结合∠DAC=∠B即可证明△ACE∽△BAD: (2)根据相似三角形的性质求解即可. 答案第9页（共2页） 【详解】(1)略 (2)解：.△ACE△BAD. AECE .BD AD, 37 .4AD? 解得AD=28 , D=AD-AE-30-3=19 3 16.(1)证明：：∠BCE=∠ACD ∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE, 即∠ACB=∠DCE, CA CD 又CBCE' CA CB CD CE' △ABCADEC: (2)10 CA CD CA CB 【分析】(I)由∠BCE=∠ACD,可得出∠ACB=∠DCE,结合CB=CE得出CDCE,可证出 △ABC∽△DEC: SAABC 16 (2)由△ABC∽△DEC,利用相似三角形的性质可得出SADc 25, 结合BC=8,可求出EC 的长. 【详解】(1)略 (2)解：△ABC∽aDEC, BC216 SADEC Ec=25, BC 4 BC=8. 答案第10页（共2页) 8、4 EC 5 ∴.EC=10 17.(1)24 ②185 .x9-x 【分析】(1)设DE=CE=x,则AB=AC-CE=9-x,证明△4DE∽△4BC得到18=9，解方程 即可得到答案； (2)过点E作EH⊥CF于点H,则∠CHE=90°，求出∠CEH=30°，求出EH的长即可得到答案. 【详解】(I)解：：四边形DECF是菱形， ∴.DE=CE=CF=DF,DE∥CF: 设DE=CE=x,则AE=AC-CE=9-x, .DE∥CF, .△ADEn△ABC, DE AEx9-x BC=AC,即18=9， 解得x=6, ..DE =CE=CF=DF=6. ∴菱形DECF的周长=DE+CE+CF+DF=24; (2)解：如图所示，过点E作EH⊥CF于点H,则∠CHE=90°， B FH ·∠C=60°， .∠CEH=90°-∠C=30°. CH-CE=3. 2 :EH=VCE2 -CH=3 .S菱形Dscr=CF·EH=18V3 18.(I)证明：：AB=AC, 答案第11页（共2页) ∴.∠ABC=∠ACB」 .∠ABD=∠ACE, ∠D=∠CAE, ∴△ABD∽△ECA: (2)9 【分析】(I)根据等边对等角可知∠ABD=∠ACE,进而即可证明 (2)根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：：△ABD∽△ECA, BD AC ·ABCE AC=6,CE=4, BD 6 .64 .BD=9 19.(1)证明：在等边△ABC中， ∴.∠B=∠C=60° :∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC,且∠ADE=6O°， .60°+∠BAD=60°+∠EDC, .∠BAD=∠EDC. :∠B=∠C=60°， .△ABDADCE: 14 (2)3 【分析】(I)因为∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC,且∠B=∠ADE=6O°，推出∠BAD=∠EDC, 再根据等边三角形中∠B=∠C=60°，得出结论： (2)根据相似三角形的性质以及判定即可求出答案. 【详解】(1)略： (2)解：△ABDADCE, BDAB .CE CD, .BD=2.BC=AB=AC=6. 答案第12页（共2页) .CD=4, 26 .CE4, CE=4 3 六AE=AC-CE=14 3 20.(1)证明：DE∥BC, ∴.∠B=∠ADE,∠C=∠AED. ∴.△ADE∽△ABC: 5 (②DB=6 【分析】(I)根据平行线的性质得到∠B=∠ADE,∠C=∠AED,据此可证明△ADE∽△ABC: (2)根据相似三角形的性质列出比例式求解即可， 【详解】(1)略 (2)解：△ADE∽△ABC, DEAE .BC AC, .AE=5,AC=6,BC=7. DE 5 .76 DE=35 6 21.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ADIl BC .∠E=∠CBF,∠EDF=∠C .△DEF∽△CBF: (2)21 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； (1)由题意易得AD‖BC,然后根据相似三角形的判定进行求解即可： 答案第13页（共2页） EF 2 SADEE (2)由题意易得EB5,ADEF∽AAEB,则有S,MBB EB 25,然后问题可求解. 【详解】(1)略 EF 2 (2)解：FB3' EF 2 小EB5 在平行四边形ABCD中，AB‖CD, .△DEFr△AEB, SADEE EF 4 .S.AEB 、EB 25, :△DEF的面积为4， 25S.w=25 :.S,m= S四边形ADFB=SAB-S.DHr=21 22.(1)证明：.AC平分∠DAB, .∠CAD=∠BAC. AC2=AB.AD. AC AD ·ABAC, ∴.△ADC∽△ACB CE AD (2) ,理由如下： .△ADC∽△ACB,且∠ADC=90°， ∠ACB=∠ADC=90°，即△ABC为直角三角形，AB为斜边， ,E为AB的中点， G5=号B=B .∠ECA=∠EAC=∠CAD. .CEll AD 答案第14页（共2页) 15 3)8 【分析】(1)根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相 似”，证明结论即可； (2)结合相似三角形的性质易得∠ACB=∠ADC=90°，即△ABC为直角三角形，再根据“直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半”可得CE=AE,进而可得∠ECA=∠EAC=∠CAD,即可证明结论： (3)首先根据题查可得E=仙子 CF 7 2,再证明&CEFVAADF,进而证明AF8,设CF=7a, AC AF=8a,则AC=15a,然后计算4F的值即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：AD=4,AB=7, 7 .·∠ECA=∠DAC,∠CFE=∠AFD, ∴.△CEF∽AADF」 7 CF=CE-2_7 AF AD 4 8 设CF=7a,AF=8a,则AC=CF+AF=15a, AC_15a_15 .AF8a8· 23.(I)证明：，四边形ABCD是平行四边形，点E在AD的延长线上， .DElIBC. ∴.△DEF∽ACFB (2)21 【分析】(1)根据平行四边形的性质可知DEBC,即可证得结论， (2)根据平行四边形的性质可证得△DEF∽aAEB,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结 EF 2 合FB3可求得S。B,进而根据面积和差关系即可求得答案. 【详解】(1)略 (2)解：，四边形ABCD是平行四边形，点E在AD的延长线上， 答案第15页（共2页） .DFI‖AB ∴.△DEFAEB, SADEE EF2 S EB, EF 2 EF 2 :ADEF的面积为4，FB3,即EB5, 4= .SAAEB 4×25 S4EB=- =25 4 :四边形ADFB的面积 =S.4EB-S.DEF =25-4=21 24.(1)证明：AD⊥DC, .∠D=90°， ADI BC .∠C=180°-∠D=90°， AE DE 在Rt△ADE和Rt△ECB中，'BE=BC, .RtAADE∽RtAECB; (②)证明：如图，延长AE交BC的延长线于点F, A D .AD‖BC .∠D=∠ECF,∠DAE=∠F. E是CD的中点， .'DE=CE, ,△ADE≌△FCE(AAS) .AE=FE, 答案第16页（共2页) 由(I)知，△ADE∽△ECB, .∠AED=∠EBC, 又.∠AED=∠FEC, .LEBC=∠FEC, .'∠EBC+∠BEC=90° .∠FEC+∠BEC=90°，即∠BEF=90°， ∴.BE⊥AF, ∴.BE是AF的垂直平分线， ∴.BA=BF, .∠BAE=∠F, ∴.∠DAE=∠BAE, .AE平分∠BAD. 【分析】(1)利用直角三角形相似的判定定理证明即可； (2)延长AE交BC的延长线于点F,可 △MADB≌△FCB(AAS),得到AE=FE,再证明BE是MF的 垂直平分线，得到∠BAE=∠F,进而即可求证. 【详解】(1)略 (2)略 25.(I)证明：：四边形EFGH是矩形， .EHIIFG 又点F,G在BC上， .EH∥BC, .△AEH∽△ABC, AE AH ·ABAC’ ,AE·AC=AH·AB」 4 (②)EH的长为5 【分析】(1)根据矩形性质得到对应边平行，由平行线得到两组同位角相等，从而证明△AEH∽△ABC」 由相似三角形对应边成比例得到所求线段的关系，交叉相乘即可证明结论 (2)根据矩形性质得到对应边平行和直角，令AD与EH交点为R,结合EH=2EF得到RD与EH的关 答案第17页（共2页） AR EH 系式，由(1)中得到的相似三角形对应边成比例得到ADBC,代入RD与EH的关系式得到关于EH 的方程，求解方程即可。 【详解】(1)略 (2)解：如图，令AD交EH于点R, R H B F D G C :矩形EFGH的边FG在BC上， ..EHII FG 又点F,G在BC上， .EH∥BC,∠EFC=90° ·EF⊥BC,RD⊥BC,EH=2EF, :RD=EF=号EH BC=8,AD=6, 4R=4D-RD=6-5EH 由(1)可知，△AEH∽△ABC, 6-EH EH :4R=g,即0 AD BC 6、 8 解得EH=4824 105 24 EH的长为5· 26.(I)证明：AB=AC,D为BC中点， .AD⊥BC ∴.∠ADB=90° CE⊥AB, .∠BEC=90°， 答案第18页（共2页) ∴.∠BEC=∠ADB, ∠B=∠B, ∴.△ABD∽aCBE. 417 (2)17 【分析】(I)根据等腰三角形的性质，结合题意，证明∠BEC=∠ADB,利用公共角证明即可； BE BC (2)根据三角形相似，得BD=AB,根据勾股定理AB=2√7，代入比例式求解即可. 【详解】(1)证明见详解。 (2)解：由(1)得△ABDACBE, BE BC ·BD-AB· :D为BC中点，BC=4, :BD=IBC-2. 2 在RtAABD中，AD=8, AB=VAD2+BD=V82+2=217 BE 4 .2-217 BE= 17. 27.(I)证明：DE∥AC,DF∥AB .AEDF为平行四边形， :DF∥AB,AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FDA,∠EAD=∠FAD, ∴.∠FDA=∠FAD ∴.AF=FD」 AEDF为平行四边形， 四边形AEDF是菱形. 24 (25 答案第19页（共2页) 【分析】(1)利用对边互相平行的四边形是平行四边形证明AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质 和角平分线的定义，通过等量代换推出∠FDA=∠FAD,利用等角对等边以及邻边相等的平行四边形是菱 形即可证明AEDF是菱形 (2)根据平行线的性质证明△BED∽△BAC,通过相似三角形的线段比相等即可求出菱形的边长. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可知，四边形AEDF是菱形， .AE =ED, AB=12,AC=8 设AE=ED=x,则BE=AB-AE=12-x, DEI AC .∠BED=∠BAC, :∠EBD=∠ABC, ∴.△BED∽△BAC, .BE ED BAAC· :12-x-x 128, x=24 5， 24 :菱形的边长是5· 28.(1)证明：.AC平分∠BAD, ∴.∠DAC=∠BAC, .AC2=AB·AD, AC AD AB AC .△ABC∽aACD: (2)∠BCD=150° AC AD 【分析】(1)由4AC平分∠BAD:可得∠DAC=∠BAC,由AC2=AB·AD,可得ABAC,即可证得 结论： (2)由△ABC∽△ACD,可得∠DCA=∠B,则∠BCD=∠B+∠ACB,再由三角形内角和定理即可求解. 答案第20页（共2页) 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可知，△ABCAACD, ∴.∠DCA=∠B .∠BCD=∠DCA+∠ACB=∠B+∠ACB. .∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠BAC=30° ∴.∠BCD=∠B+∠ACB=180°-∠BAC=180°-30°=150°. 答案第21页（共2页）