培优专题 第三章 相似三角形的实际应用专项训练（涉及两次相似的测高专题）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

相似三角形的实际应用 1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度． 2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度．如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，；根据光的反射定律，，．求此公益广告牌的高度． 3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 4．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）汉武帝雕像是汉城湖的标志．某数学小组在数学实践活动中尝试测量汉武帝雕像的高度（如图），小林通过调整自己的位置，站在地面上的点处，使得自己在太阳光下影子的末端与雕像影子的末端在点处重合；小丽在雕像和自己所站位置之间的点处放置平面镜，她不断调整自己的位置，当站在点处时恰好在平面镜里看到雕像基座点的像，小组成员经测量得小林身高米，影长米，米，小丽眼睛到地面的距离米，小丽与小林之间的距离米，通过查找资料得知雕像基座的高度为7米（米）．已知，，，点、、在同一条直线上，点、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该小组计算汉武帝雕像的高度．（平面镜的大小厚度均忽略不计） 5．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告． 项目主题 利用相似三角形测高 活动过程 1．设计说明： ①是简易工具房前的一面围墙； ②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且． 2．数据测量：米，米，米，米． 3．计算…… 反思交流 ．．．．．． 请根据表中提供的信息，求围墙的高度． 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）数学“思维冲浪”小组本着“数学源于生活”的理念，组织了一次特别的实践活动——测量校园旗杆的高度．实践过程如下表： 主题 测量旗杆的高度 测量方案及示意图 步骤1：把一根长米的标杆垂直立于地面点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米，米． 根据上表的信息，求旗杆的高度．（结果保留整数）． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）关中八大景之一的“雁塔晨钟”，吸引了很多来西安旅游的人，它是由荐福寺内的小雁塔和钟楼内的古钟共同构成．为了测出小雁塔的高度，九年级学生小爱设计出了下面的测量方法：已知塔前有一棵4米高的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面境中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求塔高．（结果精确到） 8．（2025·陕西西安·模拟预测）司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度为，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿方向后退，当退行到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得为，小华的身高为（忽略头顶到眼睛的距离）．已知，，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像的高度．（结果保留整数） 9．（2025·陕西延安·二模）皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动． 课题 测量皇帝手植柏的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上； 步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上． 测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度． 10．（2025·陕西西安·三模）小明在学习完“利用相似三角形测量旗杆的高度”这节课后，他跟同学来到操场计划用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场上安装“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的D处竖立了长为3米的标杆（米），此时小明站在距离D处3.6米的点F处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部A点，随后小明站到D处恰好通过N处放置的平面镜看到旗杆的顶部A点，经过测量得知米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即米），同时F、D、N、B四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆的高度． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）永宁门吊桥是西安城墙永宁门的重要组成部分，也是西安城墙十八座城门中仅存的一座吊桥，距今已有多年的历史．数学兴趣小组的同学们想要测量永宁门吊桥门楼如图①的高度，设计了如下的测量方案：如图②，先在吊桥前面空地上选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，在同一条直线上．另选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，三点也在同一条直线上．测得两次测量标杆之间的距离是米，两个标杆的高度均为米，且，，，，在同一条直线上．请根据同学们测量的数据，求永宁门吊桥门楼的高度． 12．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 13．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 14．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 15．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下： 如图2，首先，小芳在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为；然后，小明在处竖立了一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和旗杆顶点在一条直线上，此时测得的长为，的长为，已知，，，点，，，，在一条直线上． (1)_____________； (2)请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 16．（26-27九年级上·北京·阶段检测）根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 17．（26-27九年级上·甘肃·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 18．（26-27九年级上·全国·单元复习）在一次课外活动中，小泽和小方想利用一些测量工具和所学的几何知识测量某山上宝塔的塔高，由于观测点与宝塔底部之间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量．如图所示，首先，在阳光下，小方在某一时刻测得站立在E处的小泽的影长，在同一时刻宝塔顶端A的影子落在地面上的点C处，此时测得，小泽在E处竖起一根标杆，测得标杆的高，此时，宝塔的顶端A、标杆的顶端G及点F在同一条直线上．已知，，点在同一水平线上，小泽的身高，求宝塔的塔高． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）我国魏晋时期著名数学家刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下： 如图，要测量海岛上一座山峰A的高度，立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，点D、B、H成一线．从退行123步到点F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从退行127步到点G，从点G看点A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度及点H、B间的距离．（古制中，1步尺，1里丈尺步．结果用里和步来表示） 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 21．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 22．（2026·河南商丘·一模）焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动． 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上； 步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上． 测量数据 小亮的眼睛到地面的距离．，，．已知，，，点B，D，G，F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 相似三角形的实际应用 1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度． 2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度．如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，；根据光的反射定律，，．求此公益广告牌的高度． 3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 4．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）汉武帝雕像是汉城湖的标志．某数学小组在数学实践活动中尝试测量汉武帝雕像的高度（如图），小林通过调整自己的位置，站在地面上的点处，使得自己在太阳光下影子的末端与雕像影子的末端在点处重合；小丽在雕像和自己所站位置之间的点处放置平面镜，她不断调整自己的位置，当站在点处时恰好在平面镜里看到雕像基座点的像，小组成员经测量得小林身高米，影长米，米，小丽眼睛到地面的距离米，小丽与小林之间的距离米，通过查找资料得知雕像基座的高度为7米（米）．已知，，，点、、在同一条直线上，点、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该小组计算汉武帝雕像的高度．（平面镜的大小厚度均忽略不计） 5．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告． 项目主题 利用相似三角形测高 活动过程 1．设计说明： ①是简易工具房前的一面围墙； ②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且． 2．数据测量：米，米，米，米． 3．计算…… 反思交流 ．．．．．． 请根据表中提供的信息，求围墙的高度． 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）数学“思维冲浪”小组本着“数学源于生活”的理念，组织了一次特别的实践活动——测量校园旗杆的高度．实践过程如下表： 主题 测量旗杆的高度 测量方案及示意图 步骤1：把一根长米的标杆垂直立于地面点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，旗杆尖点和标杆顶端确定的直线交水平线于点，测得米，米． 根据上表的信息，求旗杆的高度．（结果保留整数）． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期中）关中八大景之一的“雁塔晨钟”，吸引了很多来西安旅游的人，它是由荐福寺内的小雁塔和钟楼内的古钟共同构成．为了测出小雁塔的高度，九年级学生小爱设计出了下面的测量方法：已知塔前有一棵4米高的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面境中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求塔高．（结果精确到） 8．（2025·陕西西安·模拟预测）司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度为，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿方向后退，当退行到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得为，小华的身高为（忽略头顶到眼睛的距离）．已知，，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像的高度．（结果保留整数） 9．（2025·陕西延安·二模）皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动． 课题 测量皇帝手植柏的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上； 步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上． 测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度． 10．（2025·陕西西安·三模）小明在学习完“利用相似三角形测量旗杆的高度”这节课后，他跟同学来到操场计划用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场上安装“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的D处竖立了长为3米的标杆（米），此时小明站在距离D处3.6米的点F处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部A点，随后小明站到D处恰好通过N处放置的平面镜看到旗杆的顶部A点，经过测量得知米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即米），同时F、D、N、B四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆的高度． 11．（2025·陕西西安·模拟预测）永宁门吊桥是西安城墙永宁门的重要组成部分，也是西安城墙十八座城门中仅存的一座吊桥，距今已有多年的历史．数学兴趣小组的同学们想要测量永宁门吊桥门楼如图①的高度，设计了如下的测量方案：如图②，先在吊桥前面空地上选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，在同一条直线上．另选一点，垂直地面竖立标杆，后退米到处，此时，，三点也在同一条直线上．测得两次测量标杆之间的距离是米，两个标杆的高度均为米，且，，，，在同一条直线上．请根据同学们测量的数据，求永宁门吊桥门楼的高度． 12．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 13．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 14．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 15．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下： 如图2，首先，小芳在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离为；然后，小明在处竖立了一根高的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和旗杆顶点在一条直线上，此时测得的长为，的长为，已知，，，点，，，，在一条直线上． (1)_____________； (2)请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 16．（26-27九年级上·北京·阶段检测）根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 17．（26-27九年级上·甘肃·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 18．（26-27九年级上·全国·单元复习）在一次课外活动中，小泽和小方想利用一些测量工具和所学的几何知识测量某山上宝塔的塔高，由于观测点与宝塔底部之间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量．如图所示，首先，在阳光下，小方在某一时刻测得站立在E处的小泽的影长，在同一时刻宝塔顶端A的影子落在地面上的点C处，此时测得，小泽在E处竖起一根标杆，测得标杆的高，此时，宝塔的顶端A、标杆的顶端G及点F在同一条直线上．已知，，点在同一水平线上，小泽的身高，求宝塔的塔高． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）我国魏晋时期著名数学家刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下： 如图，要测量海岛上一座山峰A的高度，立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，点D、B、H成一线．从退行123步到点F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从退行127步到点G，从点G看点A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度及点H、B间的距离．（古制中，1步尺，1里丈尺步．结果用里和步来表示） 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 21．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 22．（2026·河南商丘·一模）焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动． 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上； 步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上． 测量数据 小亮的眼睛到地面的距离．，，．已知，，，点B，D，G，F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【分析】设，，由题意得出，推出，，由相似三角形的性质列式计算即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴路灯离地面的高度为． 2．米 【分析】根据垂直的意义得到，结合得到，再证和，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为米． 3．大树的高度为米 【分析】设米，则米．通过和的性质求得x的值，然后可求得大树的高． 【详解】解：由题意得，，，，则 ． 设米，则米． 由题意，得，， ， ． 同理，， ． ， ，即． 解得， 经检验是原方程的解， 即， ， ． 解得． 经检验是原方程的解． 答：大树的高度为米 4．米 【分析】证明，得出，求出米，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据光的反射定律可知：， ∴， ∴， ∴， 解得：米， ∴ （米）， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 答：汉武帝雕像的高度米． 5．围墙的高为米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答的关键． 证明，，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴围墙的高为米． 6．旗杆的高度约为9米 【分析】本题考查相似三角形的应用，结合题意和示意图分析出比例线段是解题关键． 根据示意图可得，，，利用相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，解得， ∴，解得， ∴旗杆的高度约为9米． 7．塔高约为米． 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据题意得到，利用相似三角形的性质得出，再证明，利用相似三角形的性质，即可得出． 【详解】解：由题知， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：（米）， ， ， ， ， ， 米， （米）， ， 解得：（米）， 答：塔高约为米． 8．司马迁雕像的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为， ∴， 答：司马迁雕像的高度约为． 9．19米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，将实际问题转化成几何问题成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，再结合可证明可求得，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 又， ， ， ， ． ， ． 又， ， ， ， ． 答：皇帝手植柏的高度为19米． 10．12.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，连接并延长交于点H，易得四边形为矩形，四边形与四边形都为矩形，设，，证明，得到，证明，得到，解方程组求出的值，再利用线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：连接并延长交于点H ∵、、且， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形与四边形都为矩形， ∴，， 设，，则，， ∵在与中， ， ∴ ∴，即，整理得：， ∵根据平面镜反射原理可推得， ∵在与中， ， ∴， ∴，即，整理得：， 联立得：，解之得： ∴米； 答：旗杆的高为12.6米． 11．米 【分析】本题考查解相似三角形的应用．证明，得出，即，同理可得，得出，即，进而即可求得 【详解】解：由题可知，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 同理，得． ∴，即． 解得米，米． 答：永宁门吊桥门楼的高度为米． 12．锦江亭的高度为 【分析】由可得，从而证得，，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，得到，即可用含的式子表示的长，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，即， 解得， 锦江亭的高度为． 13．该古建筑的高度为 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为． 14．(1)③ (2)解：选择甲同学的方案： 过点E作于点H，交于点G， 根据题意，得， 四边形是矩形，四边形是矩形 ，米，， 四边形是矩形， 米，米， 米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）， ∴（米）． 选择乙同学的方案： 过点E作于点M，交于点N， 根据题意，得， 四边形是矩形 米，米，， ， 根据题意，得米，米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【分析】（1）根据相似三角形的知识，发现两种方案都是可以的： （2）选择一种方案，利用相似三角形的知识给出解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用三角形相似即可求值； （2）根据题意可证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 根据反射定律可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，，，， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高度为． 16． 【分析】先根据光的反射定律，得出，再证明，结合两个三角形相似的性质，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：由光的反射定律可知，入射角等于反射角， ∴的余角等于的余角，即， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，解得； 同理，由光的反射定律可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ， ∴，解得， ∴． 17． 【分析】先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 18．宝塔的塔高为 【分析】由同一时刻同一地点太阳光平行得结合两个直角证，设，通过相似所列比例式用表示出，再表示出，然后证明，通过对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：同一时刻同一地点太阳光平行，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：宝塔的塔高为． 19．步，步． 【分析】根据求解过程可知，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例；先证明得到，再证明得到，进而推出，代值计算求出（步），再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴（步）， 又∵， ∴（步）． 20．塔的高度为37米 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 21．旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 22．19米 【分析】根据垂直的定义可得，再结合可证明，可求得，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：焦裕禄纪念碑的高度AB为19米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $