3.4 动点问题中的相似三角形问题、相似三角形的判定与性质综合问题 专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

动点问题中的相似三角形问题、相似三角形的判定与性质综合问题 专项训练 动点问题中的相似三角形问题、相似三角形的判定与性质综合问题 专项训练 考点目录 动点问题中的相似三角形问题 相似三角形的判定与性质综合问题 考点一 动点问题中的相似三角形问题 例1．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：设运动时，以，，为顶点的三角形与相似，则，，． ①当点与点对应时，有， ，， ， ， ． ②当点与点对应时，有， ，， ， ， ． 当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是或． 例2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 例3．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 例4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 【答案】或2 【分析】设经过秒两三角形相似，分别表示出、的长度，再分①与边是对应边，②与边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边、的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 【详解】解：设经过秒后和相似． 则，， ，， ， ①与边是对应边，则， 即， 解得， ②与边是对应边，则， 即， 解得． 综上所述，经过秒或2秒后和相似． 故答案为：或2． 例5．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 变式1．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 变式2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的性质，分两种情况利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：设点的运动时间为秒， 由题意可得，， ∵是的中点， ∴， 当时， , ∴，解得， 当时， , ∴，解得， 综上可知，点的运动时间为或， 故答案为：或 变式4．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过_______秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或． 变式5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，．动点N从点C出发，以每秒的速度沿向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连接，设移动时间为t（单位：秒）． (1)当的面积为时，求t的值． (2)若以B，M，N为顶点的三角形与相似，求t的值． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）如图，过点M作于点D．根据勾股定理求出．证明，根据相似三角形的性质求出，再根据列方程求解即可． （2）分两种情况讨论：①当时，，②当时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点M作于点D． 在中，，，， 根据勾股定理，得． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． ∵， 解得：， ∴t的值为3． （2）解：分两种情况讨论： ①当时，， 此时，即， 解得：； ②当时，， 此时，即， 解得：． 综上所述，t的值为或． 考点二 相似三角形的判定与性质综合问题 例1．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 例2．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，点B、D、E在一条直线上，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，的周长等于8，求的周长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，得到，据此可证明； （2）由相似三角形的性质得到，则可证明，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长与的周长的比， ∵， ∴的周长与的周长的比， ∵的周长等于8， ∴的周长为． 例3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，点在上，，且． (1)求证：； (2)连接，若，，则的长为___________． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）先证明，再由即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，即，则可证明，得到，据此结合已知条件可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， 由（1）得， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 变式1．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴． 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，根据等式的性质和等量代换即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 变式2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，由折叠可知，从而说明，即可得证； （2）设，则，即，根据相似三角形相似比相等，分别表示，的长，再由列方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 根据折叠可知，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 经检验，是所列方程的根， 即的长为． 变式3．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． (1)求证：． (2)若，点E是边的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $动点问题中的相似三角形问题、相似三角形的判定与性质综合问题 专项训练 动点问题中的相似三角形问题、相似三角形的判定与性质综合问题 专项训练 考点目录 动点问题中的相似三角形问题 相似三角形的判定与性质综合问题 考点一 动点问题中的相似三角形问题 例1．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 例2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 例3．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 例4．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 例5．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 变式1．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 变式2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 变式3．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，是的中点，动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动到点停止．若以，，为顶点的三角形与相似，则点的运动时间为______秒． 变式4．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过_______秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 变式5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，．动点N从点C出发，以每秒的速度沿向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连接，设移动时间为t（单位：秒）． (1)当的面积为时，求t的值． (2)若以B，M，N为顶点的三角形与相似，求t的值． 考点二 相似三角形的判定与性质综合问题 例1．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 例2．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，点B、D、E在一条直线上，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，的周长等于8，求的周长． 例3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，点在上，，且． (1)求证：； (2)连接，若，，则的长为___________． 变式1．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 变式2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 变式3．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． (1)求证：． (2)若，点E是边的中点，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $